Zapisywanie i odczytywanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia, w których występują liczby i litery połączone znakami działań i nawiasami nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.

Np.

Uwaga: wyrażenie 3 · x oznacza to samo co 3x (kropkę jako znak mnożenia opuszczamy);

5 · (m + n) oznacza to samo co 5(m + n).

Nazwa wyrażenia algebraicznego pochodzi od ostatniego działania, które należy wykonać zgodnie z kolejnością działań.

Przypomnienie: najpierw wykonujemy działania w nawiasach, potem potęgowanie i pierwiastkowanie, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Uwaga: w kółeczkach zaznaczono w jakiej kolejności będziemy wykonywać działania, jeśli za zmienne (litery) podstawimy liczby.

Zadanie 1

Ułóż i zapisz wyrażenia:

a) suma kwadratu liczby x i podwojonej liczby y.

Rozwiązanie:

Zapiszmy kolejno treść zadania w postaci wyrażeń algebraicznych:

x² - kwadrat liczby x

2 · y - podwojona liczba y (podwoić tzn. pomnożyć przez 2)

2 · y = 2y (kropkę jako znak mnożenia pomijamy)

Teraz tworzymy sumę tych liczb, tzn. ostatnim działaniem do wykonania powinno być dodawanie, czyli:

x² + 2y

b) różnica sześcianu liczby a i potrojonej liczby b

Rozwiązanie:

Podobnie jak w punkcie a) zapiszmy treść zadania:

a³ - sześcian liczby a

3b - potrojona liczba b (potroić tzn. pomnożyć przez 3)

Utwórzmy różnicę (czyli odejmowanie) tych wyrażeń:

a³ - 3b

c) iloczyn liczb -2, a i b

Rozwiązanie:

iloczyn, czyli mnożenie, wystarczy pomnożyć:

-2 · a · b, pamiętając, że kropkę jako znak mnożenia pomijamy:

-2ab

d) iloraz kwadratu liczby a przez 3

Rozwiązanie:

e) różnicę kwadratów liczb a i b

Rozwiązanie:

a² - kwadrat liczby a

b² - kwadrat liczby b

różnica, czyli odejmowanie, więc zapisujemy:

a² - b²

Zadanie 2

Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych:

a) pole i obwód trójkąta równobocznego o boku a i wysokości h;

b) pole i obwód kwadratu o boku a

Zadanie 3

Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego:

a) liczbę o 5 większą od x

b) liczbę 5 razy większą od x

c) liczbę o 2 mniejszą od y

d) liczbę 2 razy mniejszą od y

e) połowę liczby a

f) liczbę k pomniejszoną o 10

g) liczbę 4 razy mniejszą od kwadratu liczby n

Rozwiązanie:

a) do liczby x należy dodać 5, czyli

x + 5

b) liczba 5 razy większa oznacza mnożenie przez 5:

5x

c) y - 2 - liczba o 2 mniejsza od y

d) liczba 2 razy mniejsza oznacza dzielnie tej liczby przez 2, a zatem:

Zadanie 4 - Ważne zadanie

Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego:

a) liczbę dwucyfrową, której cyfrą dziesiątek jest x, a cyfrą jedności y;

b) liczbę trzycyfrową, której cyfrą setek jest a, cyfrą dziesiątek b, a cyfrą jedności c;

c) liczbę dwucyfrową, której cyfrą dziesiątek jest x, a cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry dziesiątek.

Rozwiązanie:

Zauważ, że liczbę dwucyfrową np. 35 można zapisać:

a) Jeżeli oznaczymy:

x - cyfra dziesiątek

y - cyfra jedności

to liczbę dwucyfrową zapiszemy:

Warto zapamiętać!

10x + y - to ogólny wzór na liczbę dwucyfrową

b) Liczbę trzycyfrową np. 562 można zapisać:

U nas w zadaniu oznaczmy:

a - cyfra setek

b - cyfra dziesiątek

c - cyfra jedności

więc liczbę trzycyfrową zapiszemy:

Warto zapamiętać!

Ogólny wzór na liczbę trzycyfrową 100a + 10b + c

c) x - cyfra dziesiątek

x + 3 - cyfra jedności (o 3 większa od cyfry dziesiątek), więc liczba dwucyfrowa ma postać:

Zadanie 5

Kasia ma m lat, a Ania jest od niej o 20 lat młodsza. Zapisz wyrażeniem ile lat będą miały razem za 7 lat.

Rozwiązanie:

Oznaczamy:

m - wiek Kasi obecnie

m - 20 - wiek Ani obecnie

Zadanie 6

Długość prostokąta wynosi (2x + 1) cm, a szerokość (x + 8) cm. Zapisz:

a) obwód tego prostokąta

b) pole tego prostokąta

Rozwiązanie:

Do rozwiązania zadania potrzebne Ci będą wzory:

Zadanie 7

Zmieszano 2 kg cukierków po x zł i 3 kg cukierków w cenie y zł za kilogram. Jaka jest cena 1 kg tej mieszanki?

Rozwiązanie:

x - cena 1 kg cukierków I rodzaju

2x - wartość 2 kg cukierków I rodzaju

y - cena 1 kg cukierków II rodzaju

3y - wartość 3 kg cukierków II rodzaju

2x + 3y - wartość całej mieszanki

2 kg + 3 kg = 5 kg - waga całej mieszanki

więc 1 kg tej mieszanki kosztuje:

(2x + 3y) : 5

Odp.:

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

W miejsce niewiadomych w wyrażeniu algebraicznym można podstawić liczby. Otrzymujemy wtedy wartości liczbowe wyrażenia algebraicznego.

np. (3a - 2) · b

dla a = 1, b = 2

wartość wyrażenia jest równa (wstawiam 1 w miejsce a i 2 w miejsce b):

(3 · 1 - 2) · 2 = (3 - 2) · 2 = 1 · 2 = 2

dla a = 3, b = -5 wartość wyrażenia jest równa:

(3 · 3 - 2) · (-5) = (9 - 2) · (-5) = 7 · (-5) = - 35

Zadanie 1

Oblicz wartość liczbową wyrażenia:

Rozwiązanie:

b) -5xy + 2x dla x = -2, y = 3

Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

d) 6 (x + y)² dla x = 2,5, y = 1,5

Rozwiązanie:

e) 3x + 5y - 12 dla x = 5, y = -2

Rozwiązanie:

f) a² - 3a + 1 dla a = -4

Rozwiązanie:

g) -4x - 6y² + 11 dla x = -2, y = -1

Mnożenie przez nawias - wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Algebra - teoria

Mnożenie przez nawias

Mnożąc liczbę czy też zmienną przez nawias korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania):

Wyłączanie przed nawias

Z sumy (różnicy) liczb, możemy wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias:

Wyłączanie przed nawias jest działaniem odwrotnym do opisanego powyżej mnożenia przed nawias.

Uwaga! Dobrą praktyką po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias, jest sprawdzenie poprawności wykonanej operacji poprzez przemnożenie wyłączonego czynnika przez nawias i porównanie z pierwotnym wyrażeniem:

Poniższy wyrażenie:

obliczono dwoma sposobami:

a)

b)

W punkcie a) wyrażenie obliczono zachowując kolejność działań.
W punkcie b) wyłączono wspólny czynnik (liczbę 3) przed nawias a następnie najpierw obliczono wartość wyrażenia w nawiasie.

W podobny sposób oblicz dwoma sposobami następujące wyrażenia:

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Przykład 1

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

Ważne

Zauważ, że wyłączając wspólny czynnik przed nawias zamieniasz sumę na iloczyn:

Zapamiętaj!

Wyłączanie czynnika przed nawias jest jednym ze sposobów zamiany sumy na iloczyn.

Inne sposoby poznasz później.

Zadanie 1

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias (lub zamień sumę na iloczyn)

Zadanie 2

Wyłącz wspólny czynnik poza nawias (lub zamień sumę na iloczyn):

Ćwiczenie nr 1, Znoszenie prostych niewymierności

Ćwiczenie nr 2, Niewymierność w mianowniku

1. 
   
   

2. 
   
   

3. 
   
   

4. 
   
   

Ćwiczenie nr 3, Znoszenie niewymierności

Ćwiczenie nr 4, Upraszczanie wyrażeń algebraicznych

1. 
   
   

2. 
   
   

3. 
   
   

4. 
   
   

Ćwiczenie nr 5, Redukcja wyrazów podobnych

Ćwiczenie nr 6, Upraszczanie wyrażeń algebraicznych

1. 
   
   
    

2. 
   
   
    

3. 
   Sposób I
   
   
   Sposób II
   
   
    

4. 
   
   
    

Ćwiczenie nr 7, Upraszczanie wyrażeń algebraicznych

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 8, Mnożenie przez nawias

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 9, Wyłączanie przed nawias

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 10, Wzory skróconego mnożenia - rozwijanie

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 11, Zwijanie wzorów skróconego mnożenia

Wykorzystując ze wzorów skróconego mnożenia, "zwiń" poniższe wyrażenia algebraiczne zapisując je w postaci iloczynowej lub potęgowej:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 12, Rozwijanie wzorów skróconego mnożenia

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia rozwiń poniższe wyrażenia algebraiczne

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 13, Zwijanie wzorów skróconego mnożenia

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 14, Zwijanie wzorów skróconego mnożenia

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 15, Zwijanie wzorów skróconego mnożenia

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia oraz zasad wyłączania wyrażeń przed nawias, "zwiń" poniższe wyrażenia algebraiczne, zapisując je w postaci iloczynowej lub potęgowej:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 16, Mnożenie przez nawias

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 17, Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 18, Mnożenie nawiasów

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 19, Mnożenie nawiasów

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Ćwiczenie nr 20, Postać iloczynowa

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

---