Dynamika bryły

Dynamikę bryły będziemy traktować przypadek graniczny układu sztywno ze sobą powiązanych nieskończenie wielu punktów materialnych. Zakładamy, że bryła tworzy dostatecznie regularny obszar w 3 wymiarowej przestrzeni Euklidesa. Procedura przejścia granicznego polega na podziale obszaru bryły na małe obszary, a następnie zagęszczaniu podziału zgodnie z koncepcją definicji całki Riemanna. Prowadzi ona do zastąpienia sum po zbiorze punktów materialnych układu odpowiednimi całkami po obszarze zajętym przez bryłę.

Środek masy bryły

Założymy, że gęstość masy bryły
jest funkcją całkowalną. W wyniku przejścia granicznego otrzymujemy następujący wzór na wektor położenia środka masy bryły

gdzie
jest łączną masą rozpatrywanej bryły.

Pęd bryły

Procedura przejścia granicznego daje następujące wyniki

- pęd bryły,

- zasada zachowania pędu bryły

gdzie

- jest wektorem głównym układu sił zewnętrznych działających na bryłę.

Środek masy zachowuje się, więc jak zwykły punkt materialny o masie M pod działaniem łącznej siły zewnętrznej.

Energia kinetyczna bryły

Procedura przejścia granicznego daje następujące wyniki

- energia kinetyczna,

- zasada zachowania energii kinetycznej.

Twierdzenie: Jeżeli A jest punktem bryły to

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a

jest nazywane momentem bezwładności bryły względem osi równoległej do
i przechodzącej przez punkt A.

Zauważmy, że moment osiowy bezwładności bryły jest całką z kwadratu odległości od tej osi.

Zauważmy, że wybierając A=C otrzymujemy następujące wyrażenia na energię kinetyczną bryły

co można rozumieć jako przedstawienie energii bryły w postaci sumy energii ruchu środka masy bryły i energii wirowania bryły wokół środka masy.

Zauważmy, że w przypadku ruchu kulistego bryły wokół punktu A energia kinetyczna bryły wyraża się wzorem

.

W rozpatrywanym przypadku szczególnym energia kinetyczna bryły jest, więc energią wirowania bryły wokół punktu podparcia bryły.

Dowód: Niech A będzie dowolnie wybranym punktem bryły. Z kinematyki bryły wiadomo, że prędkość dowolnego punktu bryły można wyrazić wzorem

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a
jest wektorem położenia tego punktu względem A. Podstawiając otrzymane wyrażenie do wzoru

otrzymujemy
gdzie

,
,

.

Proste przekształcenia polegające na zastosowaniu wzoru
oraz wyciąganiu poza całkę wielkości stałych prowadzą do następujących wzorów:

,

,

Ostatecznie

￿

Zasada zachowania energii kinetycznej bryły: Jeżeli A jest punktem bryły to

gdzie:

jest wektorem głównym układu sił zewnętrznych działających na bryłę, a

jest momentem głównym względem punktu A układu sił zewnętrznych działających na bryłę.

Dowód: Korzystamy z wniosku

,

tożsamości wektorowej
oraz zależności
otrzymując

￿

W przypadku działania stałej grawitacji
można zdefiniować energię potencjalną bryły wzorem

Wtedy
.

Tensor momentów bezwładności bryły

Niech
będzie lokalnym układem współrzędnych zaczepionym w punkcie
. Składowe tensora momentów bezwładności bryły w rozpatrywanym układzie współrzędnych zdefiniujemy w postaci następującej macierzy

gdzie

,

,
,

,

Elementy na głównej przekątnej nazywamy momentami osiowymi a pozostałe dewiacyjnymi.

Jeżeli
jest wektorem jednostkowym to moment bezwładności względem osi równoległej do
i przechodzącej przez początek układu współrzędnych wynosi (w zapisie macierzowym)

.

Wzory Steinera: Niech
będzie układem centralnym a
dowolnym do niego równoległym. Wtedy

,
,

,
,

,
.

Podstawowymi niezmiennikami tensora momentów bezwładności nazywamy wyrażenia

,
,

.

Głównymi momentami bezwładności bryły (względem punktu
) nazywamy pierwiastki tzw. równania charakterystycznego tensora momentów bezwładności

.

Dowodzi się, że równanie charakterystyczne tensora momentów bezwładności ma zawsze trzy, być może wielokrotne, dodatnie pierwiastki oznaczane jako
.

Główne momenty bezwładności można obliczać ze wzorów Cardano:

gdzie
jest jakimkolwiek pierwiastkiem równania

,

natomiast

,
,
,
.

Dowodzi się, że
jest ujemna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki są jednokrotne. Ponadto dla istnienia pierwiastków wielokrotnych potrzeba i wystarcza, aby
a przypadek dodatniej
jest niemożliwy.

Promieniami bezwładności nazywamy wyrażenia

.

Oś przechodzącą przez punkt
i równoległą do niezerowego wektora
spełniającego warunek
nazywamy główną osią bezwładności odpowiadającą momentowi głównemu
.

Oś prostopadła do płaszczyzny symetrii bryły jest główną osią bezwładności (względem punktu leżącego na tej płaszczyźnie).

Oś symetrii osiowej bryły jest główną osią bezwładności (względem punktu leżącego na tej osi).

Jeżeli moment główny
jest jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego to odpowiada mu dokładnie jedna główna oś bezwładności (z dokładnością do zwrotu).

Jeżeli moment główny
jest dwukrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego to zbiór odpowiadających mu głównych osi bezwładności tworzy płaszczyznę.

Jeżeli moment główny
jest potrójnym pierwiastkiem równania charakterystycznego to każda oś jest główną osią bezwładności.

Przypadki szczególne pierwiastków równania charakterystycznego:

1. Równanie charakterystyczne posiada trzy pojedyncze pierwiastki. Wtedy każdemu momentowi głównemu odpowiada - z dokładnością do zwrotu - jedna główna oś bezwładności będąc prostopadłą do pozostałych. Składowe tensora naprężenia w układzie głównych osi bezwładności przyjmują postać

.

2. Równanie charakterystyczne posiada jeden pierwiastek pojedynczy
i jeden podwójny
. Pierwiastkowi pojedynczemu odpowiada wtedy oś bezwładności prostopadła do płaszczyzny głównych osi bezwładności odpowiadających pierwiastkowi podwójnemu. Składowe tensora naprężenia w układzie głównych osi bezwładności przyjmują postać

.

Przypadek taki występuje dla jednorodnego walca kołowego.

3. Równanie charakterystyczne posiada jeden pierwiastek potrójny
.

Wtedy każda oś jest główną osią bezwładności.

Składowe tensora naprężenia w układzie głównych / dowolnych osi bezwładności przyjmują postać

.

Przypadek taki występuje dla jednorodnej kuli.

Kręt bryły

Procedura przejścia granicznego daje następujące wyniki

- kręt bryły względem zera globalnego układu współrzędnych.

- zasada zachowania krętu.

Twierdzenie: Jeżeli A jest punktem bryły to

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a
tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A.

Zauważmy, że wybierając A=C otrzymujemy następujące wyrażenia na kręt bryły (względem zera globalnego układu współrzędnych)

co można rozumieć jako przedstawienie krętu bryły w postaci sumy krętu środka masy bryły i krętu wirowania bryły wokół środka masy.

Zauważmy, że w przypadku ruchu kulistego bryły wokół punktu A kręt bryły wyraża się wzorem

.

W rozpatrywanym przypadku szczególnym kręt bryły jest więc krętem wirowania bryły wokół punktu podparcia bryły.

Dowód: Niech A będzie dowolnie wybranym punktem bryły. Z kinematyki bryły wiadomo, że prędkość dowolnego punktu bryły można wyrazić wzorem

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a
jest wektorem położenia tego punktu względem A. Podstawiając otrzymane wyrażenie do wzoru

i korzystając z tożsamości
otrzymujemy

.

a następnie

gdzie

.

Na podstawie tożsamości
mamy

co rozpisane na poszczególne składowe daje

,

,

bądź zapisane w konwencji rachunku macierzowego

￿

Zasada zachowania krętu bryły: Jeżeli A jest punktem bryły to

gdzie:

jest momentem głównym względem punktu A układu sił zewnętrznych działających na bryłę a
jest tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A.

Zauważmy, że wybierając A=C otrzymujemy

co można rozumieć jako zasadę zachowania krętu bryły względem środka masy.

Zauważmy, że w przypadku ruchu kulistego bryły wokół punktu A
.

Dowód: Ze wzoru

wynika

co podstawione do

daje

Po uporządkowaniu mamy

￿

---