1

Teoria relacji

Terminologia teorii relacji (relatio - stosunek)

X, Y, Z - zbiory

x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z

- para uporządkowana <x, y> o pierwszym elemencie x i drugim elemencie y

<x, y> = (ex definitione) {{x}, {x, y}}

Właściwości:

1) <y, x> ≠ <x, y>, bo {{x}, {x, y}} ≠ {{y}, {y, x}}

2) (<x, y> = <z, u>) ≡ (x = z ∧ y = u)

Pary uporządkowane są identyczne wtedy i tylko wtedy, gdy ich pierwsze elementy są ze sobą identyczne i ich drugie elementy są ze sobą identyczne.

3) (<x, y> ≠ <z, u>) ≡ (x ≠ z ∨ y ≠ u)

Dwie pary uporządkowane są różne wtedy i tylko wtedy, gdy ich pierwsze elementy są od siebie różne lub ich drugie elementy są od siebie różne.

- trójka uporządkowana: {<x, y, z>: x ∈ R ∧ y ∈ Y ∧ z ∈ Z}

- układ uporządkowany o n - elementach

X x Y- iloczyn kartezjański zbiorów X i Y to zbiór wszystkich uporządkowanych par <x, y>, gdzie x ∈ X,

y ∈ Y

Określenie iloczynu kartezjańskiego zbiorów za pomocą operatora abstrakcji:

X x Y = {<x, y>: x ∈ X ∧ y ∈ Y}

Przykłady

R - zbiór liczb rzeczywistych; a ∈ R

R x R

1) płaszczyzna - {<a, b>: a ∈ R ∧ b ∈ R}

2) liczba zespolona (urojona): a+ bi, gdzie i = √ -1

R x R - zbiór liczb zespolonych: {<a, b>: a ∈ R ∧ b ∈ R}

R x R x R - przestrzeń euklidesowa 3 - wymiarowa: {<x, y, z>: x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R}

R x R x R - przestrzeń euklidesowa 4 - wymiarowa: {<x, y, z, v >: x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ v ∈ R}

X - dziedzina funkcji; Y - przeciwdziedzina funkcji

f - funkcja (matematyczna); f: X _> Y

∀y∈Y ∃ x∈X; y = f (x)

Zapis funkcji przy pomocy iloczynu kartezjańskiego:

pary uporządkowane: <x, f (x) >

f = {<x, f (x)>}; <x, f (x)>∈ f ≡ y = f (x); f ⊂ X x Y = {<x, f (x) >: x ∈ X ∧ f (x) ∈Y}

Relacja dwuczłonowa to zbiór (klasa) pewnych par uporządkowanych.

Relacja trójczłonowa to zbiór (klasa) pewnych trójek uporządkowanych.

Ogólnie relacja n-członowa to zbiór (klasa) pewnych układów uporządkowanych o n -elementowych.

R, S, T - relacja

Zapis relacji dwuczłonowej: <x, y> ∈ R; R (x, y); xRy; czytamy: x pozostaje w relacji R do y

<x, y> ∈ R ≡ xRy;

Relacja dwuczłonowa to funktor zdaniotwórczy o dwóch argumentach nazwowych, o indeksie: z/n, n.

Ważny jest kierunek relacji; w relacji członem wyróżnionym jest pierwszy człon.

Przykład relacji dwuczłonowej:

R - bycie czyimś mężem; xRy - x jest mężem y

Funkcja matematyczna jest relacją dwuczłonową zachodzącą między elementami dziedziny funkcji a elementami przeciwdziedziny funkcji.

Przykład relacja trójczłonowej S - x leży między x a z; Warszawa leży między Krakowem a Gdańskiem.

Przykład relacja czwórczłonowej T - x jest poręczycielem (żyrantem) y wobec z na kredyt v.

D(R) - dziedzina relacji R (lewa dziedzina relacji R) to zbiór wszystkich i tylko tych przedmiotów, które do jakiegoś przedmiotu pozostają w relacji R

x∈D(R) ≡ ∃y xRy ; x należy do dziedziny relacji R wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki y, że x pozostaje w relacji R do y.

PD(R) - przeciwdziedzina relacji R (prawa dziedzina relacji R) to zbiór wszystkich i tylko tych przedmiotów, do których jakiś przedmiot pozostaje w relacji R

y∈PD(R) ≡ ∃x xRy; y należy do przeciwdziedziny relacji R wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki x, że x pozostaje w relacji R do y.

C(R) - pole relacji R (campus - pole) to suma mnogościowa dziedziny i przeciwdziedziny relacji R

C(R) = D(R) ∪ PD(R)

Pole relacji R jest zbiorem wszystkich i tylko tych przedmiotów, między którymi ta relacja zachodzi.

Przykład: Polem relacji bycia czyimś mężem jest zbiór tych i tylko tych osób, które pozostają w związku małżeńskim.

R* - konwers relacji R, inaczej relacja odwrotna do relacji R to relacja zdefiniowana następująco:

yR*x ≡ xRy

Zachodzi: <y, x> ∈R* ≡ <x, y> ∈R

Para uporządkowana <y, x> należy do relacji R* wtedy i tylko wtedy, gdy para uporządkowana <x, y> należy do relacji R. Inaczej, konwers relacji R jest relacją, która zachodzi między tymi samymi przedmiotami, co relacja R, ale w kierunku odwrotnym.

Przykład: Konwersem relacji bycia czyimś mężem jest relacja bycia czyjąś żoną. Konwersem relacji bycia czyimś rodzicem jest relacja bycia czyimś dzieckiem.

Właściwości konwersu relacji:

1) D(R*) = PD(R)

Dziedzina konwersu relacji R równa jest przeciwdziedzinie relacji R.

2) (R*)* = R

Konwers konwersu relacji R jest równy relacji R.

Rodzaje relacji

A ⊂ D(R)

refl (A) - relacje zwrotne (refleksywne) w zbiorze A

irr(A) - relacje przeciwzwrotne (iirefleksywne) w zbiorze A

Relacja R jest zwrotna (refleksywna) w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A pozostaje w tej relacji R ze sobą.

R ∈ refl (A) ≡ ∀x ∈A; xRx

Relacjami zwrotnymi są np. relacje: bycia równym wiekiem w zbiorze A - ludzi, każdy człowiek ma ten sam wiek, co on sam; relacja słabej nierówności (mniejszy lub równy) w zbiorze liczb; relacja podobieństwa w zbiorze przedmiotów.

Relacja R jest przeciwzwrotna (irrefleksywna) w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy żaden element zbioru A nie pozostaje ze sobą w relacji R.

R ∈ irr(A) ≡ ∀x ∈A; ∼xRx

Relacjami przeciwzwrotnymi są np. relacje: bycia czyimś dzieckiem w zbiorze A - ludzi bo żaden człowiek nie jest swoim dzieckiem; relacja ostrej nierówności (bycia mniejszym lub bycia większym) w zbiorze liczb; żadna liczba nie jest większa ( > ) od siebie samej.

sym (A) - relacje symetryczne w zbiorze A

as (A) - relacje asymetryczne w zbiorze A

Relacja R jest relacją symetryczną w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy:

R ∈ sym(A) ≡ ∀x,y∈A; xRy → yRx

Relacja R symetryczna w zbiorze A to taka relacja, która gdy zachodzi między dowolnymi dwoma elementami zbioru A w jednym kierunku, to zachodzi również między tymi elementami w kierunku odwrotnym.

Przykłady relacji symetrycznych: bycie czyimś krewnym, bycie bliźniakiem w zbiorze ludzi; stosunki krzyżowania/wykluczania się zakresów w zbiorze nazw; relacja prostopadłości między odcinkami.

Relacja R jest relacją asymetryczną (przeciwsymetryczą) w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy:

R ∈as(A) ≡ ∀x,y∈A; xRy → ∼yRx

Relacja asymetryczna w zbiorze A to taka relacja, która gdy zachodzi między dowolnymi dwoma elementami zbioru A w jednym kierunku, to nie zachodzi między tymi elementami w kierunku odwrotnym.

Przykłady relacji asymetrycznych: stosunek bycia ojcem, bycie starszym zbiorze ludzi; stosunek ostrej inkluzji między zbiorami; podrzędność/nadrzędność zakresów nazw.

Uwaga! Dla relacja asymetrycznej nie zachodzi implikacja odwrotna do implikacji w jej definiensie: to znaczy z tego, że zachodzi ∼yRx nie wynika, że zachodzi xRy.

Przykład:

R - < ;

x = 10;

y = 2x 5

Zachodzi ∼yRx, tj. ∼(10 < 2x 5), ale nie zachodzi xRy: 2x 5 < 10

..................................................................................................................................

trans (A) - relacje przechodnie (tranzytywne) w zbiorze A

altrans (A) - relacje słabo przechodnie (aliotranzytywne) w zbiorze A

intr (A) - relacje przeciwprzechodnie (intranzytywne) w zbiorze A

Relacja R jest relacją przechodnią (tranzytywną) w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy:

R ∈trans (A) ≡ ∀x,y,z ∈A; xRy ∧ yRz → xRz

Relacja przechodnia to taka relacja, że jeśli zachodzi między pierwszym przedmiotem a drugim i między drugim a trzecim, to zachodzi również między pierwszym przedmiotem a trzecim.

Przykłady relacji przechodnich: bycie starszym w zbiorze ludzi; relacja słabej/mocnej nierówności (≤, <) w zbiorze liczb naturalnych; relacja implikacji (→; p → q) w teorii zdań; relacja inkluzji (⊂; A ⊂ B) w teorii mnogości.

Relacja R jest relacją nieprzechodnią w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest relacją przechodnią, tj. gdy relacja R spełnia następujący warunek:

∃ x,y,z ∈A; xRy ∧ yRz ∧ ∼xRz

Powyższą definicję otrzymujemy przez zanegowanie definicji relacji przechodniej (tranzytywnej), zastosowanie pierwsze prawa de Morgana dla rachunku predykatów: ∼∀v E ≡ ∃v ∼E, zastosowanie do prawej strony definicji jednego z praw negowania implikacji:

[∼(p _>q) ] ≡ (p ∧ ∼q) oraz reguły podstawiania (RP), co jako proste ćwiczenie zostawiam studentce/owi.

Przykłady: relacja bycia czyimś bratem w zbiorze ludzi jest relacją nieprzechodnią. Dla x,y z , gdzie x jest bratem y i y jest bratem z, przy czym x = z mamy ∼xRz, gdyż nikt nie jest swoim bratem.

Relacja R jest relacją słabo przechodnią (aliotranzytywną) w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy:

R ∈ altrans (A) ≡ ∀x,y,z ∈A; xRy ∧ yRz → (x=z ∨ xRz)

Warunek definicyjny można też zapisać:

R ∈ altrans (A) ≡ ∀x,y,z ∈A; (xRy ∧ yRz ∧ x ≠ z) → xRz

Relacja jest relacją słabo przechodnią wtedy i tylko wtedy, gdy zachodząc między pierwszym przedmiotem a drugim i między drugim a trzecim, zachodzi też - przy założeniu, że pierwszy przedmiot jest różny od trzeciego - między pierwszym przedmiotem a trzecim.

Przykłady relacji słabo przechodniej: bycie czyimś bratem w zbiorze ludzi; jeśli x jest bratem y i y jest bratem z to albo x jest identyczne z (przypadek dwóch braci; dlatego relacja: bycie czyimś bratem jest relacją nieprzechodnią, gdyż nie jest się swoim bratem) albo x jest bratem z (przypadek trzech braci).

Relacja R jest relacją przeciwprzechodnią (intranzytywną) w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy:

R ∈ intr (A) ≡ ∀x,y,z ∈A; xRy ∧ yRz → ∼xRz

Relacja przeciwprzechodnia to taka relacja, że zachodząc między pierwszym przedmiotem a drugim i między drugim a trzecim, nigdy nie zachodzi między pierwszym przedmiotem a trzecim.

Przykłady relacji przeciwprzechodniej: bycie ojcem w zbiorze ludzi; jeśli x jest ojcem y i y jest ojcem z to x nie jest ojcem z (jest jego dziadkiem).

Inny przykład: relacja prostopadłości w zbiorze odcinków (prostych), jeśli prosta a jest prostopadła do prostej b, a prosta b jest prostopadła do prostej c, to prosta a nigdy nie jest prostopadła do prostej c (lecz jest do niej równoległa).

....................................................................................................................

aeq (A) - relacje równoważności (w zbiorze A)

R jest relacją równoważności (w zbiorze A) jeśli w tym zbiorze jest zarazem relacją 1) zwrotną, 2) symetryczną i 3) przechodnią.

R ∈aeq (A) ≡ R ∈relf (A) ∧ R ∈ sym (A ∧ R ∈ trans (A)

w zapisie uwzględniającym symbolikę samych relacji:

R ∈aeq ≡ R ∈relf ∧ R ∈ sym ∧ R ∈ trans

Przykłady relacji równoważności: równoważność zdań w rachunku zdań (k. r. z.); przystawanie/podobieństwo trójkątów, równoległość w zbiorze linii prostych

2 Przykłady wyrażeń zdaniowych rachunku predykatów

Funktory jednoargumentowe

X - zakres zmiennej x; x ∈X

1) ∀x A(x)

A(x) - x jest śmiertelny, X - ludzie; Każdy człowiek jest śmiertelny.

A(x) - x jest omylny, X - ludzie; Wszyscy są omylni.

2) ∼∀x A(x)

A(x) - x jest szczery, X - ludzie; Nie każdy jest szczery.

A(x) - x jest odważny; X - ludzie; Nieprawda, że wszyscy ludzie są odważni.

3) ∀x ∼A(x)

A(x) - x jest doskonały, X - ludzie; Nikt nie jest doskonały.

A(x) - x jest altruistą, X - ludzie; Nie ma altruistów.

4) ∃x A(x)

A(x) - x jest hojny, X - ludzie; Niektórzy ludzie są hojni.

A(x) - x jest optymistą; X - ludzie; Istnieją optymiści.

5) ∼∃x A(x)

A(x) - x jest doskonały, X - ludzie; Nie istnieje nikt, kto jest doskonały.

A(x) - x jest altruistą, X - ludzie; Nie istnieje nikt, kto jest altruistą.

6) ∃x ∼A(x)

A(x) - x jest bezinteresowny, X - ludzie; Są tacy, którzy nie są bezinteresowni.

A(x) - x jest odważny; X - ludzie; Niektórzy nie są odważni.

3 Tak rozumianymi tautologiami są wszystkie prawa klasycznego rachunku zdań i rachunku kwantyfikatorów.

Definicja tautologii w klasycznym rachunku zdań przedstawia się następująco: Wyrażenie W jest tautologią klasycznego rachunku zdań, wtedy i tylko wtedy, gdy przy każdym podstawieniu stałych za zmienne przechodzi w zdanie prawdziwe.

Definicja tautologii w rachunku kwantyfikatorów przedstawia się następująco: Zdanie z zawierające predykaty P1, P2, … , Pn, jest tautologią rachunku kwantyfikatorów wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwe w każdej niepustej dziedzinie przy dowolnym rozumieniu symboli P1, P2, … , Pn, jako wyrażeń odnoszących się do pewnych własności lub relacji priori danej dziedziny.

Definicja tautologii w rachunku kwantyfikatorów przy użyciu interpretacji: Formuła zdaniowa A języka L jest tautologią wtw formuła zdaniowa A jest prawdziwa przy każdej interpretacji języka L.

5 # Konfirmacja hipotez

H - hipoteza

E - empiryczne konsekwencje hipotezy

Problem metodologiczny: jakiw wnioski dla rozważanej hipotezy wynikają z:

1) pozytywnych wyników testów empirycznych

2) negatywnych wyników takich testów

Ad 1) Logiczny schemat obalenia hipotezy (w oparciu o modus tollendo tollens)

H → E

∼ E

_______

∼ H

Ad 2) Rozważamy sytuację: wszystkie przeprowadzone eksperymenty dają wynik pozytywny. Co z tego wynika? Wszystkie te testy nie potwierdzają prawdziwości hipotezy. Z logicznego punktu widzenia może być tak, że prawdziwe następstwa (wyniki testów) mogą wynikać z fałszywej przesłanki (hipoteza):

E → (∼ H → E)

Na podstawie prawa k. r. z.: q → (p → q) - charakterystyka prawdy.

Nie możemy tu wnioskować bezpośrednio: E → H, ani: [(H → E) ∧ E] → H; bo wyrażenia zdaniowe: p → q; i [( p → q) ∧ q] → p, respective, nie są prawami klasycznego rachunku zdań.

Schemat wnioskowania konfirmującego:

E₁, E₂, … E_n

H → (E₁ ∧ E₂ ∧ … ∧ E_n)

E₁, E₂, … E_n

p _____________

H

Wniosek (H) nie wynika logicznie z przesłanek, lecz jest przez nie uprawdopodobniony:

Zachodzi: k ≤ p(H/ E₁, E₂, … E_n), gdzie k jest bliskie 1, (k ≈ 1)

Rozwinięta wersja schemat obalenia hipotezy

H - hipoteza

ZD - założenia dodatkowe (background knowledge) przyjętej hipotezy

ZD = Z₁ ∧ Z₂ ∧ … ∧ Z_k

E - wspólna konsekwencja empiryczna H oraz ZD

∼E - wynik eksperymentu

(VIII. 1) (H ∧ ZD) → E

(H ∧ ZD) → E

∼ E

(VIII. 2) _______

∼ (H ∧ ZD)

∼ (H ∧ ZD) ≡ ∼ H ∨ ∼ ZD ≡ ∼Z₁ ∨ ∼ Z₂ … ∨ ∼ Z _k

# Poznawcze funkcje praw nauki

¤ Wyjaśnianie

Etymologia:

łac. explanatio, onis f. - wyjaœnianie

explanandum (gerundivum)

explanans (part. praes. act.)

Explanans - zbiór przesłanek rozumowania wyjaśniającego

4 Explanandum - konkluzja, wniosek tego rozumowania

Schemat Hempla-Oppenheima

Explanandum:

E

Explanans:

L1, L2, … Ln - prawa nauki

C1, C2, … Ck - fakty związane z E; potwierdzające je lub mu towarzyszące (współwystępujące z nim)

(III. 1) L1, L2, … Ln

C1, C2, … Ck

E

6

¤ Wyjaśnianie

Etymologia:

łac. explanatio, onis f. - wyjaœnianie

explanandum (gerundivum)

explanans (part. praes. act.)

Explanans - zbiór przesłanek rozumowania wyjaśniającego

Explanandum - konkluzja, wniosek tego rozumowania

Schemat Hempla-Oppenheima

Explanandum:

E

Explanans:

L1, L2, … Ln - prawa nauki

C1, C2, … Ck - fakty związane z E; potwierdzające je lub mu towarzyszące (współwystępujące z nim)

(III. 1) L1, L2, … Ln

C1, C2, … Ck

E

Przykład:

Explanandum (E) - prawo swobodnego spadania ciał Galileusza: wszystkie ciała spadają ze stałym przyspieszeniem g.

Explanans:

L1 - prawo powszechnej grawitacji

L2 - drugie prawo dynamiki Newtona

L1 ∧ L2

E

Sprawdzanie jest to jedna z najbardziej podstawowych odmian rozumowania obok wnioskowania, dowodzenia i wyjaśniania.

Sprawdzanie - definiując za Ajdukiewiczem pojęcie - jakiegoś zdania, np. zdania „a jest b” polega na rozwiązaniu zadania, które znajduje swe słowne sformułowanie w tzw. pytaniu rozstrzygnięcia „czy a jest b?”. Rozwiązaniem jest udzielenie jednej z dwóch właściwych odpowiedzi: „a jest b” albo „a nie jest b” na podstawie stwierdzenia prawdziwości lub fałszywości pewnych następstw wyprowadzonych ze zdania „a jest b”. W związku z powyższym procedura sprawdzania nie wyznacza jednoznacznie postaci konkluzji, wyprowadzenie której zakończy proces sprawdzania.

W procesie sprawdzania wyróżnić można następujące fazy: (a) postawienie pytania rozstrzygnięcia: „czy a jest b?”; (b) wyprowadzenie ze zdania „a jest b” jakichś następstw; (c) uznanie lub odrzucenie tych następstw.

Wnioskowanie (inferencja), prowadzące do uznania lub odrzucenia tych następstw i w sumie do uznania lub odrzucenia zdania sprawdzanego, przebiega jedną z dwóch dróg: (1) od odrzucenia następstw do odrzucenia racji - droga dedukcyjna; (2) od uznania następstw do uznania racji - droga dedukcyjna albo redukcyjna: (2.1.) dedukcyjna gdy następstwa są równoważne ze zdaniem sprawdzanym; (2.2.) redukcyjna gdy następstwa nie są równoważne ze zdaniem sprawdzanym.

Tak rozumiane sprawdzanie występuje w dwóch odmianach:

1. sprawdzanie pozytywne, które również występuje w dwóch odmianach:

1. weryfikacji

2. acjakonfirmacji

2. sprawdzanie negatywne, które też występuje w dwóch odmianach: dyskonfirmacji;, falsyfikacji, koroboracją

Dowodzenie jest to jedna z najbardziej znanych odmian rozumowania obok wnioskowania, sprawdzania i wyjaśniania.

Dowodzenie definiuje Ajdukiewicz jako proces myślowy polegający na rozwiązywaniu zadania, które domaga się, by pewne zdanie całkowicie dane w samym zadaniu wywnioskować ze zdań innych, już uprzednio uznanych. Inaczej to wyrażając powiedzieć można, że dowodzenie jest to zadanie zawarte w zdaniu rozkazującym o postaci : „wykaż, że a jest b!”. Rozwiązanie tego zadania wymaga m.in. inferencji (wnioskowania), która jest składową dowodzenia.

Wyjaśnianie - zwane również tłumaczeniem, jest zadaniem myślowym, które polega na wskazaniu racji dla stwierdzonego przez nas zdania. Innymi słowy, wyjaśnienie polega na odpowiedzi na pytanie "dlaczego tak jest jak stwierdziliśmy?" (w odróżnieniu od rozumowania typu dowodzenie, gdzie orzekamy o wartości logicznej stwierdzenia, odpowiadając np. na pytanie "czy to, co stwierdziliśmy jest prawdą?"). Zatem można powiedzieć, że wyjaśnianie jest szukaniem związków między stwierdzonymi faktami(uznanymi za prawdziwe), bez potrzeby dowodzenia ich wartości logicznych.

W przypadku, gdy nie potrafimy wyjaśnić obserwowanych faktów za pomocą wcześniejszych obserwacji uznanych za prawdziwe, wówczas tworzy się tzw. hipotezę wyjaśniającą. Hipoteza wyjaśniająca (H) jest stwierdzeniem dołączanym do zbioru stwierdzeń prawdziwych, którymi dotychczas dysponowaliśmy W (czyli do naszej wiedzy). Hipoteza nie ma jednakże ustalonej wartości logicznej. Dołączenie hipotezy H do zbioru W ma na celu sprawdzenie, czy za pomocą takiego połączenia H+W da się wyjaśnić jakiś obserwowany przez nas fakt. Hipotezę należy jednak sprawdzić. Wielokrotne zaobserwowanie, że przyjęta hipoteza jest wyjaśnieniem również dla innych, niż wyjściowy, zaobserowowanych faktów, przy jednoczesnym braku zjawisk, które przeczyłyby jej, sugeruje nam, że hipoteza ta z dużym prawdopodobieństwem jest prawdziwa (choć pewności nigdy nie ma).

Przy stawianiu hipotez wyjaśniających może pojawić się problem istnienia kilku hipotez wykluczających się wzajemnie, lecz będących, w połączeniu z dotychczasową wiedzą, wyjaśnieniami dla zaobserwowanego przez nas faktu. Takie hipotezy nazywa się konkurencyjnymi. Przy wyborze jednej z hipotez kierować się należy, tym, aby przyjęta hipoteza dawała uzasadnienie dla jak największej i jak najbardziej różnorodnej ilości obserowanych faktów. Gdy w dotychczasowej wiedzy nie znajdujemy faktów, które mogłyby obalić jedną z konkurencyjnych hipotez, wówczas należy przeprowazdić experimentum crucis(eksperyment rozstrzygający), tzn. taki, którego wynik potwierdziłby jedną z hipotez, a resztę obalił. Hipotezę potwierdzoną uznajemy wówczas za prawdziwą.

Hipoteza wyjaśniająca nie może być formułowana ad hoc, czyli nie może być wyjaśniająca tylko dla jednego faktu, dla którego wyjaśnienia się poszukuje.

7 NAUKI PRZYRODNICZE I SPOŁECZNE

naturalizm i antynaturalizm - Rozróżnienie Diltheya: nauki przyrodnicze - nauki o kulturze - Naturalizm w filozofii nauk społecznych - Naturalizm Milla: intencje jako przyczyny działań - Antynaturalizm Collingwooda: intencje nie mogą być przyczynami działań - Teoria racjonalnego wyboru - Koncepcja Wincha: nauki
społeczne odkrywają reguły kulturowe - Czy istnieją prawa społecz­ne? - Teoria trzech światów Poppera jako próba syntezy naturalizmu i antynaturalizmu

8 Krytyka indukcjonizmu dokonana przez dedukcjonizm (antyindukcjonizm) opiera się przede wszystkim na fakcie, że nie skonstruowano dotychczas zadowalającej odpowiedzi na pytanie, jak mierzyć to prawdopodobieństwo.

Nie można mieć stuprocentowej pewności, że Słońce będzie zachodzić każdego dnia, na tej tylko podstawie, iż wielokrotnie widzieliśmy Słońce zachodzące każdego z dotychczasowych dni. (W istocie w Arktyce i na Antarktydzie są dni, kiedy Słońce nie zachodzi). Nie można mieć stuprocentowej pewności, że następny upuszczony kamień nie "upadnie" ku górze. Mimo to jednak, chociaż nie można uznać uogólnień uzyskanych dzięki prawidłowym wnioskowaniom indukcyjnym za całkowicie prawdziwe, są one prawdopodobnie prawdziwe. W świetle uzyskanych doświadczeń jest więc bardzo prawdopodobne, że Słońce zawsze będzie zachodzić w Sydney oraz że upuszczone kamienie będą spadały na dół, a nie w górę. Wiedza naukowa nie jest wiedzą udowodnioną, jest jedynie wiedzą prawdopodobnie prawdziwą. Im więcej obserwacji, składających się na przesłanki wnioskowań indukcyjnych, oraz im większa różnorodność okoliczności, w których obserwacje te są dokonywane, tym większe prawdopodobieństwo, że uzyskane uogólnienia będą prawdziwe.

 

9 Istota anarchizmu metodologicznego Paula Feyerabenda zamyka się w sformułowaniu wszystko wolno (ang. anything goes). Feyerabend postulował, żeby z badań naukowych usunąć wszelkie ograniczenia metodologiczne, co miało być najlepszą drogą prowadzącą do postępu nauki w ogóle. Przekonanie, że nauka rozwija się według stałych i powszechnych reguł zostaje uznane za nierealistyczne i zgubne - szkodliwe dla samej nauki, bo czyniące ją mniej elastyczną a bardziej dogmatyczną.

10 Justyfikacjonizm jest to jedno ze stanowisk badających sposób uzasadniania twierdzeń w nauce, obok logistycznego antyirracjonalizmu,falsyfikacjonizmu, koncepcji paradygmatycznego rozwoju wiedzy naukowej i anarchizmu metodologicznego.

11 idealizacja (p.łc. idealis `idealny' z łc. idea, z gr. idéa, `natura rzeczy, idea') 1. nadawanie czemuś cech idealnych, upiększanie stanu rzeczywistego;apoteozagloryfikacja2. nauk. stosowany często w rozważaniach naukowych zabieg polegający na teoretycznym opracowaniu i przedstawieniu stanu rzeczy, który w rzeczywistości nie istnieje, do którego jednak z pewnym prawdopodobieństwem można stosować pewne fakty czy zdarzenia.

faktualizacja (konkretyzacja) nie zawsze jest pożądana, konkretyzacja określenie w sposób dokładny, urzeczywistnienie, realizacja.

# Uzasadnianie

- Zasada racji dostatecznej

- Sposoby uzasadniania:

uzasadnianie bezpośrednie

uzasadnianie pośrednie

¤ Uzasadnianie bezpośrednie

- Spostrzeganie

- Obserwacja

- Eksperyment

¤ Uzasadnianie pośrednie

- Wnioskowanie

- entymematyczna przesłanka wnioskowania (gr. en thymo - zatrzymać w umyśle)

- Wnioskowanie a stosunek wynikania

przesłanka

Wnioskowanie:

wniosek

racja

Wynikanie:

następstwo

- Wnioskowanie dedukcyjne to takie, w którym z przyjętych przesłanek wniosek wynika logicznie.

- Dyrektywą inferencyjną wnioskowania dedukcyjnego jest odpowiedni schemat logiczny.

Przykład dyrektywy inferencyjnej dla wnioskowania dedukcyjnego modus ponendo ponenes:

p → q

p

q

- Niezawodność wnioskowania dedukcyjnego:

- We wnioskowaniu dedukcyjnym proces wnioskowani przebiega zgodnie z kierunkiem wynikania: przesłanki wnioskowania są racją dla wynikania, a jego wniosek jest następstwem (dla wynikania).

Wnioskowanie dedukcyjne:

wnioskowanie: przesłanki ⇒ wniosek

wynikanie: racja ⇒ następstwo

- Wnioskowanie redukcyjne to takie, które przebiega od następstwa do racji. , tj. w kierunku odwrotnym do wynikania.

Wnioskowanie redukcyjne jest wnioskowaniem zawodnym, to znaczy prawdziwość przesłanek wnioskowania redukcyjnego nie daje pewności co do tego, czy jego wniosek jest prawdziwy.

Wnioskowanie redukcyjne:

wnioskowanie: przesłanki (=następstwo) ⇒ wniosek (racja)

wynikanie: racja ⇒ następstwo

Przykład:

p - przepaliła się żarówka

q - lampka na biurku zgasła

Wnioskowanie dedukcyjne:

Jeżeli żarówka się przepali (jedna z przesłanek wnioskowania, p), to lampka zgaśnie (wniosek, p).

p → q

p

Wynikanie:

q

Jest to wnioskowanie z przyczyny zaszłego zdarzenia o jego skutku.

Wnioskowanie redukcyjne:

Lampka na biurku zgasła (przesłanka wnioskowania, q), a więc przepaliła się żarówka (wniosek, p).

q

Wynikanie:

p

Jest to wnioskowanie ze stwierdzonego zdarzenia o jego przyczynie, która nie jest dostępna wprost.

We wnioskowaniu redukcyjnym, chociaż wiemy, że z jego przesłanki nie wynika wniosek, to przyjmujemy założenie, że jeśli zachodzi przesłanka, to jest wysoce prawdopodobne, że zachodzi wniosek.

¤ Indukcja

Logiczne schematy indukcji

1. Indukcja enumeracyjna

a) Indukcja enumeracyjna zupełna

D = {x_1, x_{2, …} x_n}

b (x₁)

b (x₂)

……

b (x_n)

________________

∀ x ∈D; b (x)

Indukcja enumeracyjna zupełna jest rozumowaniem niezawodnym.

Przykład:

D - zbiór planet Układu Słonecznego

b (x_1,) - Wenus obraca się wokół swojej osi

b (x_2, ) - Ziemia obraca się wokół swojej osi

……

b ( x_n) - Pluton obraca się wokół swojej osi

∀ x ∈D; b (x) - Każda planeta Układu Słonecznego obraca się wokół swojej osi

Jeżeli Wenus obraca się wokół swojej osi, Ziemia obraca się wokół swojej osi, …i Pluton obraca się wokół swojej osi, to każda planeta Układu Słonecznego obraca się wokół swojej osi.

b) Indukcja enumeracyjna niezupełna

{x_1, x_{2, …} x_n} ⊂ D ∧ {x_1, x_{2, …} x_n} ≠ D

b (x₁)

b (x₂)

……

b (x_n)

________________

∀ x ∈D; b (x)

Indukcja enumeracyjna niezupełna jest rozumowaniem zawodnym. Wniosek indukcji enumeracyjnej zachodzi (jest prawdziwy) z określonym prawdopodobieństwem < 1.

D - zbiór łabędzi

{x_1, x_{2, …} x_n} - zbiór łabędzi obserwowanych w Europie

Każdy z zaobserwowanych łabędzi jest biały.

__________________________________________

Wszystkie łabędzie (gatunek) są białe.

Prawdopodobieństwo wniosku rozumowania indukcyjnego (w przypadku indukcji enumeracyjnej niezupełnej) jest ujemnie skorelowanie z jego zasięgiem:im zasięg wniosku jest szerszy, tym jego prawdopodobieństwo jest niższe, i odwrotnie.

Stopień prawdopodobieństwa wniosku w indukcji enumeracyjnej niezupełnej zależy od:

a) liczby (iości przebadanych przypadków. Im więcej obiektów (elementów zbioru D) zostanie zaobserwowanych i w im większej ilości przypadków zostanie stwierdzone, że obiekty te posiadają cechę b, tym bardziej prawdopodobny jest wniosek, że każdy obiekt ze zbioru D ma cechę b.

b) tego, jak zróżnicowane między sobą (różnorodne) są przedmioty, które zostają przebadane.

c) tego, jak bardzo różnią się warunki determinujące przebadane przypadki.

Przykłady sytuacji epistemicznych, w których stosuje się indukcję enumeracyjną niezupełną:

a) fizyka generalnie

b) testowanie nowych leków

c) astrofizyka

d) biologia, np. teoria ewolucji Darwina wysunęła ogólny wniosek (dotyczący wszystkich gatunków istot żyjących na Ziemi) na podstawie wąskiej podstawy obserwacyjnej (zaobserwowanie zmian gatunkowych na Galapagos)

e) socjologia, orzekanie o różnych zjawiskach społecznych na podstawie tzw. próby reprezentacyjnej.

- Transdukcja

Zalecenie metodologiczne przy stosowaniu indukcji enumeracyjnej niezupełnej: liczba przebadanych przypadków musi być wystarczająco duża, nie może być zbyt mała. W szczególności niepoprawne metodologiczne jest przeprowadzenie transdukcji, tj. uogólniającego wnioskowania na podstawie tylko jednego zaobserwowanego przypadku.

Transdukcja jest poprawnym wnioskowaniem tylko przy dokonaniu założenia o jednorodności, pod ropatrywanym we wnioskowaniu względem, całej klasy/ dziedziny przedmiotów (D).

na podstawie tylko jednego zaobserwowanego przypadku.

Logiczny schemat transdukcji

D jest jednorodne pod względem b, tzn. że bądź wszystkie obiekty należące do D mają cechę b, bądź wszystkie obiekty należące do D nie mają cechy b (mają cechę ∼b).

Założenie o jednorodności: ∀x∈D [b(x) ∨ ∼b(x)]

Wynik obserwacji: obiekt b(x₁) ma cechę b, tj. zachodzi b(x₁)

∀x∈D [b(x) ∨ ∼b(x)]

∃ x∈D; b(x) ∧ [b(x) = b(x₁)]

___________________________

∀x∈D b(x)

2. Indukcja eliminacyjna; kanony Milla

a) Kanon jedynej zgodności:

a, b, c, d - obserwowalne cechy badanego układu/ zjawiska

Oznaczenia:

a - zachodzi a

a ⁻ - nie zachodzi a

a, c, d, b

a, c ⁻, d, b

a, c, d ⁻, b

a, c ⁻, d ⁻, b

___________________

a jest przyczyną b

Jeżeli występowaniu zjawiska b stale towarzyszy, tj. poprzedza je lub współwystępuje z nim, zjawisko a, natomast zjawiska c,d itd. nie współwystępują z nim stale, to możemy wnosić, że a jest przyczyną b.

Przykład:

Przedmiotem badania jest testowanie w hodowli doświadczalnej nowej odmiany pszenicy.

Na jednym z poletek doświadczalnych stwierdzono zjawisko:

b - zasychanie niewyrośniętych roślin (pędów pszenicy).

Ponadto, dla potrzeb analizy przyjmujemy następujące oznaczenia:

a - niewłaściwe nasłonecznienie poletka doświadczalnego

c - niewłaściwa dla wzrostu temperatura

d - niewłaściwe nawożenie

e - niewłaściwy skład chemiczny gleby

b - pojawienie się szkodników roślin, np. turkuć podjadek!

a) Kanon jedynej różnicy:

a, b, c, d - obserwowalne cechy badanego układu/ zjawiska

a, c, d, b

a⁻, c, d, b⁻

___________________

a jest przyczyną b

Jeżeli zjawisko b występuje wtedy, gdy poprzedza je lub współwystępuje z nim, zjawisko a, natomiast nie zachodzi, gdy nie zachodzi zjawisko ani podczas gdy wszystkie inne zjawiska: c,d itd. nie zmieniają się, wnosimy, że a jest przyczyną b.

Krytyczna analiza obu kanonów …

c) Kanon zmian towarzyszących:

a, b, c, d - obserwowalne cechy badanego układu/ zjawiska

a_1, c, d, b₁

a_2, c, d, b₂

a_3, c, d, b₃

.....……………

a_n, c, d, b_n

_____________________________

Istnieje zależność między a i b

3) Wnioskowanie per analogiam

a)

D; {x_1, x_{2, …} x_n, x_n+1} ⊂ D

b (x₁)

b (x₂)

……

b (x_n)

_____________

b (x_n+1)

Jeśli przedmioty x_1, x_2,…, x_n mają cechę b, to możemy wnosić, że analogicznie do tego, także przedmiot x_n+1 ma cechę b.

b)

s, t - stale logiczne; s, t ∈ D

b_1, b_{2, …} b_n - predykaty opisujące przedmioty s i t; predykaty te stwierdzają mające faktycznie miejsce właściwości przedmiotów s i t

c - predykat opisujący przedmiot s i suponowany (wnioskowany) odnośnie przedmiotu t

[b₁ (s) ∧ b₂ (s) ∧ … ∧ b_n (s)] ∧ c(s)

b₁ (t) ∧ b₂ (t) ∧ … ∧ b_n (t)

_________________________________

c (t)

Jeśli przedmiot t jest podobny do przedmiotu s pod względem szeregu właściwości: b_1, b_{2, …} b_n, a ponadto przedmiot t posiada właściwość c, to mamy podstawę sądzić, że przedmiot t ma także właściwość c.

Schemat (a) wnioskuje per analogiam o przedmiotach, podczas gdy s Schemat (a) wnioskuje z analigii o właściwościach porównywanych przedmiotów.

6

---