Przepływy międzygałęziowe jest to sposób ilościowego badania procesu tworzenia i podziału produktu społecznego ze szczególnym uwzględnieniem związków, jakie występują między gałęziami produkcji w pośrednich stadiach wytwarzania.

Za autora metody uważa się powszechnie W. Leontiewa. Metoda przepływów międzygałęziowych stosowana w niektórych okresach opiera się na założeniu, że wielkość nakładu jest proporcjonalna do wielkości produkcji, oraz na dwóch stwierdzeniach natury bilansowej:

- w danym okresie produkcja globalna każdego produktu dzieli się na zużycie produkcyjne wszystkich gałęzi oraz na produkcję końcową, którą można z kolei podzielić, zależnie od potrzeby na: eksport pomniejszony o import, spożycie indywidualne, zbiorowe, inwestycyjne, kapitalne remonty i zmiany w zapasach we wszystkich gałęziach oraz na inwestycje i kapitalne remonty nieprodukcyjne. Pozwala to ustalić związek między produkcją globalną a produkcją końcową każdego produktu w postaci układu liniowych równań ilości.

- cena produkcji jest sumą jednostkowych kosztów rzeczowych oraz jednostkowej wartości dodanej, wyrażającej jednostkową płacę, odpis amortyzacyjny oraz nadwyżkę. Pozwala to ustalić związek między ceną a wartością dodaną każdego produktu w postaci układu liniowych równań cen.

Zakładamy, że cała gospodarka narodowa została podzielona na n gałęzi produkcyjnych. Oznaczamy przez Y_i ( i =1, 2,..., n ) wielkość produkcji globalnej (mierzonej wartościowo) i-tej gałęzi w okresie T. Funkcjonowanie gospodarki narodowej wymaga przepływów dóbr pomiędzy poszczególnymi gałęziami tejże gospodarki. Oznaczamy więc przez y_ij ( i =1, 2,..., n, j =1, 2,..., n ) tę część produkcji globalnej i-tej gałęzi, która jest zużywana (przepływa) dla potrzeb produkcyjnych gałęzi o numerze j. Różnicę między produkcją globalną danej gałęzi a jej przepływami do wszystkich innych gałęzi stanowi produkt końcowy danej gałęzi. Oznaczamy go dla i-tej gałęzi przez y_i. Mamy zatem układ równań:

_n

Y_i = ∑ y_ij + y_i ( i = 1, 2,..., n )

^j=1

Układ ten nazywamy układem równań bilansowych.

Poniżej przedstawiona jest tablica przepływów międzygałęziowych:

Numer gałęzi	Przepływ yij z gałęzi i do gałęzi j	Produkt końcowy yi	Produkcja globalna Yi
i ^j	1 2 ... n
1 2 ... n	y11 y12 ... y1n y21 y22 ... y2n ... ... ... ... yn1 yn2 ... ynn	y1 y2 ... yn	Y1 Y2 ... Yn

Współczynniki

A_ij = ^yij (i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., n )

^Yj

Nazywamy współczynnikami kosztów. Sens tych współczynników mówi nam że: aby w gałęzi o numerze j uzyskać produkcję globalną wartości jednej jednostki pieniężnej należy zużyć produkt gałęzi i wartości a_ij jednostek pieniężnych. Macierz A = [ a_ij ] nazywamy macierzą współczynników kosztów.

Korzystając z wprowadzonej macierzy kosztów A układ

_n

Y_i = ∑ y_ij + y_i ( i = 1, 2,..., n )

^j=1

możemy napisać w postaci

Y = AY + y

lub w postaci modułu Leontiewa

( I - A ) Y = y

gdzie Y jest n wymiarowym wektorem produkcji globalnych y - n wymiarowym wektorem produktów końcowych, a macierz I - A jest macierzą stopnia n, zwaną macierzą Leontiewa.

Wzór ( I - A ) Y = y pozwala wyznaczyć wektor produktów końcowych y odpowiadający z góry danemu wektorowi produkcji globalnych Y. Jeżeli chcemy wyznaczyć wektor produkcji globalnych Y odpowiadający z góry danemu wektorowi produktów końcowych y, korzystamy ze wzoru

( I - A )^-1 y = Y

Macierz ( I - A )^-1 zawsze istnieje ponieważ macierz Leontiewa I - A jest nieosobliwa, elementy tej macierzy oznaczamy A_ij.

PRZYKŁAD

Jest to przykład oparty na gałęziach przemysłu zajmujących się wyrobem metali, produkcją maszyn i urządzeń, wydobyciem węgla kamiennego oraz produkcją tkanin. Korzystam z danych liczbowych dotyczących roku 1999 zawartych w „Roczniku Statystycznym 1999”. Oznaczam przez Y_i ( i = 1, 2, 3, 4 ) wielkość produkcji globalnej ( w milionach złotych ) i-tej gałęzi w okresie T. Funkcjonowanie przemysłu wymaga przepływu dóbr pomiędzy poszczególnymi gałęziami tego przemysłu. Oznaczam przez y_ij ( i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4 ) tę część produkcji globalnej i-tej gałęzi, która jest zużywana ( przepływa ) dla potrzeb produkcyjnych gałęzi o numerze j. Różnicą pomiędzy produkcją globalną danej gałęzi, a jej przepływami do wszystkich innych gałęzi stanowi produkt końcowy danej gałęzi. Oznaczam go dla i-tej gałęzi przez y_i. Mam więc układ równań w postaci:

_n

Y_i = ∑ y_ij + y_i ( i = 1, 2, 3, 4 )

^j=1

Ten układ to układ równań bilansowych.

Poniżej przedstawiam tablicę przepływów międzygałęziowych.

Gałęzie produkcyjne	Przepływy				Produkt końcowy	Produkcja globalna
i ^j	1	2	3	4	yi	Yi
1 Produkcja metali	4270,34	5963,01	1771,45	3241,84	6105,06	21351,7
2 Produkcja maszyn i urządzeń	4270,34	1987,67	5314,35	810,46	7493,88	19876,7
3 Górnictwo węgla kamiennego	2135,17	3975,34	4428,625	1620,92	5554,445	17714,5
4 Produkcja tkanin	1067,585	993,835	354,29	2026,15	3662,74	8104,6

Zgodnie z ideą budowy tablicy przepływów liczba 4270,34 oznacza, że w roku 1999 zużycie produkcyjne przez przemysł metalurgiczny części swojej produkcji na swoje wewnętrzne potrzeby wynosiło 4270,34 mln. zł. Liczba stojąca na przecięciu wiersza „produkcja metali” i kolumny „produkcja maszyn i urządzeń” czyli liczba 5963,01 oznacza, że na produkcję maszyn i urządzeń została zużyta ilość produktów produkowanych przez przemysł metalurgiczny o wartości 5963,01 mln. zł.

Współczynniki

a_ij = ^yij ( i = 1, 2. 3. 4; j = 1, 2, 3, 4 )

^Yj

Nazywamy współczynnikami kosztów. Ich sens jest następujący: na to aby w gałęzi o numerze i zyskać produkcję globalną wartości jednej jednostki pieniężnej należy zużyć produkt gałęzi i wartości a_ij jednostek pieniężnych. Macierz A=[a_ij] nazywamy macierzą współczynników kosztów.

Tworzę macierz A=[a_ij] korzystając z powyższego wzoru.

a₁₁ = ^y11 = ^4270,34 = 0,2

^{Y1 21351,7}

a₁₂ = ^y12 = ^5963,01 = 0,3

^{Y2 19876,7}

a₁₃ = ^y13 = ^1771,45 = 0,1

^{Y3 17714,5}

a₁₄ = ^y14 = ^3241,84 = 0,4

^{Y4 8104,6}

a₂₁ = ^y21 = ^4270,34 = 0,2

^{Y1 21351,7}

a₂₂ = ^y22 = ^1987,67 = 0,1

^{Y2 19876,7}

a₂₃ = ^y23 = ^5314,35 = 0,3

^{Y3 17714,5}

a₂₄ = ^y24 = ^810,46 = 0,1

^{Y4 8104,6}

a₃₁ = ^y31 = ^2135,17 = 0,1

^{Y1 21351,7}

a₃₂ = ^y32 = ^3975,34 = 0,2

^{Y2 19876,7}

a₃₃ = ^y33 = ^4428,625 = 0,25

^{Y3 17714,5}

a₃₄ = ^y34 = ^1620,92 = 0,2

^{Y4 8104,6}

a₄₁ = ^y41 = ^1067,585 = 0,05

^{Y1 21351,7}

a₄₂ = ^y42 = ^993,835 = 0,05

^{Y2 19876,7}

a₄₃ = ^y43 = ^354,29 = 0,02

^{Y3 17714,5}

a₄₄ = ^y44 = ^2026,15 = 0,25

^{Y4 8104,6}

Po wyliczeniu wszystkich współczynników kosztów przedstawiam je w postaci macierzy A

0,2 0,3 0,1 0,4

A = 0,2 0,1 0,3 0,1

0,1 0,2 0,25 0,2

0,05 0,05 0,02 0,25

Następnie tworzę macierz Leontiewa poprzez odjęcie macierzy współczynników kosztów od macierzy jednostkowej

L = I - A

1 0 0 0 0,2 0,3 0,1 0,4

L = 0 1 0 0 − 0,2 0,1 0,3 0,1

0 0 1 0 0,1 0,2 0,25 0,2

0 0 0 1 0,05 0,05 0,02 0,25

0,8 − 0,3 − 0,1 − 0,4

L = − 0,2 0,9 − 0,3 − 0,1

− 0,1 − 0,2 0,75 − 0,2

− 0,05 − 0,05 − 0,02 0,75

Mnożąc macierz L przez wektor produkcji globalnych Y otrzymuję wektor produktów końcowych y

L * Y = y

0,8 − 0,3 − 0,1 − 0,4 21351,7 6105,06

− 0,2 0,9 − 0,3 − 0,1 * 19876,7 = 7493,88

− 0,1 − 0,2 0,75 − 0,2 17714,5 5554,445

− 0,05 −0,05 −0,02 0,75 8104,6 3662,74

pomocniczo

y₁ = 17081,36 - 5963,01 - 1771,45 - 3241,84 = 6105,06

y₂ = − 4270,34 + 17889,03 - 5314,35 - 810,46 = 7493,88

y₃ = − 2135,17 − 3975,34 + 13285,875 − 1620,92 = 5554,445

y₄ = − 1067,585 − 993,835 − 354,29 + 6078,45 = 3662,74

Równanie bilansowe L * Y = y można wykorzystać w celu wyznaczenia wielkości produktów końcowych w następnych okresach, przy zmianie produkcji globalnych poszczególnych gałęzi np. jeśli przewiduje się, że produkcja globalna poszczególnych gałęzi wzrośnie o 5% wtedy:

Y₁ = 21351,7 * 1,05 = 22419,285

Y₂ = 19876,7 * 1,05 = 20870,535

Y₃ = 17714,5 * 1,05 = 18600,225

Y₄ = 8104,6 * 1,05 = 8509,83

Wtedy wielkość produktów końcowych poszczególnych gałęzi obliczamy:

L * Y = y

0,8 − 0,3 − 0,1 − 0,4 22419,285 6410,314

− 0,2 0,9 − 0,3 − 0,1 * 20870,535 = 7868,574

− 0,1 − 0,2 0,75 − 0,2 18600,225 5832,16725

− 0,05 − 0,05 − 0,02 0,75 8509,83 3845,877

pomocniczo

y₁ = 17935,428 − 6261,1605 − 1860,0225 − 3403,932 = 6410,314

y₂ = − 4483,857 + 18783,481 − 5580,0675 − 850,983 = 7868,574

y₃ = − 2241,9285 − 4174,107 + 13950,16875 − 1701,966 = 5832,16725

y₄ = − 1120,96425 − 1043,52675 − 372,0045 + 6382,3725 = 3845,877

Otrzymany wynik jest to produkt końcowy w następnym okresie dla poszczególnych gałęzi.

Wykorzystując model Leontiewa można również wyznaczyć wektor produkcji globalnych korzystając ze wzoru:

Y = ( I - A )^-1 * y

W tym celu buduję macierz odwrotną do macierzy I - A. Macierz I - A zwana macierzą Leontiewa, jest zawsze nieosobliwa dlatego mogę zbudować macierz odwrotną.

Wyznaczam wyznacznik macierzy I - A

0,8 − 0,3 − 0,1 − 0,4 1 − 0,375 − 0,125 − 0,5

− 0,2 0,9 − 0,3 − 0,1 = 0,8 − 0,2 0,9 − 0,3 − 0,1 =

− 0,1 − 0,2 0,75 − 0,2 − 0,1 − 0,2 0,75 − 0,2

− 0,05 − 0,05 − 0,02 0,75 − 0,05 − 0,05 − 0,02 0,75

1 − 0,375 − 0,125 − 0,5

= 0,8 0 0,825 − 0,325 − 0,2 =

0 − 0,2375 0,7375 − 0,25

0 − 0,06875 − 0,02625 0,725

= 0,8 * ( 1* D₁₁ + 0 * D₂₁ + 0 * D₃₁ + 0 * D₄₁ ) =

0,825 - 0,325 - 0,2

= 0,8 * 1 * (− 1 )² − 0,2375 0,7375 − 0,25 =

− 0,06875 − 0,02625 0,725

= 0,8 ( 0,4411 - 0,0012 - 0,0055 - 0,0101 - 0,056 - 0,0054 ) = 0,8 * 0,3629 = 0,29032

Stąd det ( I - A ) = 0,29032 ≠ 0

Następnie tworzę macierz D_ij, której elementami są dopełnienia algebraiczne elementów macierzy I - A.

0,9 − 0,3 − 0,1

D₁₁ = (− 1 )² * − 0,2 0,75 − 0,2 = 0,50625 - 0,0004 - 0,003 - 0,00375 - 0,045 -

− 0,05 − 0,02 0,75

− 0,0036 = 0,4505

− 0,2 − 0,3 − 0,1

D₁₂ = (− 1 )³ * − 0,1 0,75 − 0,2 = − ( − 0,1125 − 0,0002 − 0,003 − 0,00375 −

− 0,05 − 0,02 0,75

− 0,0225 + 0,0008 ) = 0,14115

− 0,2 0,9 − 0,1

D₁₃ = (− 1 )⁴ * − 0,1 − 0,2 − 0,2 = 0,03 - 0,0005 + 0,009 + 0,001 + 0,002 +

− 0,05 − 0,05 0,75

+ 0,0675 = 0,109

− 0,2 0,9 − 0,3

D₁₄ = (− 1 )⁵ * − 0,1 − 0,2 0,75 = − (− 0,0008 - 0,0015 - 0,03375 +0,003 -

− 0,05 − 0,05 − 0,02

− 0,0018 - 0,0075 ) = 0,04235

− 0,3 − 0,1 − 0,4

D₂₁ = (− 1 )³ * − 0,2 0,75 − 0,2 = − (− 0,16875 - 0,0016 - 0,001 - 0,015 -

− 0,05 − 0,02 0,75

− 0,015 +0,0012 ) = 0,20015

0,8 − 0,1 − 0,4

D₂₂ = (− 1 )⁴ * − 0,1 0,75 − 0,2 = 0,45 - 0,0008 - 0,001 - 0,015 - 0,0075 -

− 0,05 − 0,02 0,75

− 0,0032 = 0,4225

0,8 − 0,3 − 0,4

D₂₃ = (− 1 )⁵ * − 0,1 − 0,2 − 0,2 = − (− 0,12 - 0,002 - 0,003 + 0,004 -

− 0,05 − 0,05 0,75

− 0,0225 - 0,008 ) = 0,1515

0,8 − 0,3 − 0,1

D₂₄ = (− 1 )⁶ * − 0,1 − 0,2 0,75 = 0,0032 - 0,0005 + 0,01125 + 0,001 +

− 0,05 − 0,05 − 0,02

+ 0,0006 + 0,03 = 0,04555

− 0,3 − 0,1 − 0,4

D₃₁ = (− 1 )⁴ * 0,9 − 0,3 − 0,1 = 0,0675 + 0,0072 - 0,0005 + 0,006 +

− 0,05 − 0,02 0,75

+ 0,0675 + 0,0006 = 0,1483

0,8 − 0,1 − 0,4

D₃₂ = (− 1 )⁵ * − 0,2 − 0,3 − 0,1 = − (− 0,18 - 0,0016 - 0,0005 + 0,006 -

− 0,05 − 0,02 0,75

− 0,015 - 0,0016 ) = 0,1927

0,8 − 0,3 − 0,4

D₃₃ = (− 1 )⁶ * − 0,2 0,9 − 0,1 = 0,54 - 0,004 - 0,0015 - 0,018 - 0,004 -

− 0,05 − 0,05 0,75

− 0,045 = 0,4675

0,8 − 0,3 − 0,1

D₃₄ = (− 1 )⁷ * − 0,2 0,9 − 0,3 = − (− 0,0144 - 0,001 - 0,0045 - 0,0045 +

− 0,05 − 0,05 − 0,02

+ 0,0012 - 0,012 ) = 0,0352

− 0,3 − 0,1 − 0,4

D₄₁ = (− 1 )⁵ * 0,9 − 0,3 − 0,1 = − (− 0,018 − 0,27 - 0,002 + 0,24 -

− 0,2 0,75 − 0,2

− 0,0225 - 0,018 ) = 0,3065

0,8 − 0,1 − 0,4

D₄₂ = (− 1 )⁶ * − 0,2 − 0,3 − 0,1 = 0,048 + 0,06 - 0,001 + 0,012 + 0,06 +

− 0,1 0,75 − 0,2

+ 0,004 = 0,183

0,8 − 0,3 − 0,4

D₄₃ = (− 1 )⁷ * − 0,2 0,9 − 0,1 = − (− 0,144 - 0,016 - 0,003 - 0,036 +

− 0,1 − 0,2 − 0,2

+ 0,012 - 0,016 ) = 0,203

0,8 − 0,3 − 0,1

D₄₄ = (− 1 )⁸ * − 0,2 0,9 − 0,3 = 0,54 - 0,004 - 0,009 - 0,009 - 0,048 -

− 0,1 − 0,2 0,75

− 0,045 = 0,425

Stąd macierz dopełnień ma postać:

0,4505 0,14115 0,109 0,04235

0,20015 0,4225 0,1515 0,04555

0,1483 0,1927 0,4675 0,0352

0,3065 0,183 0,203 0,313

Otrzymaną macierz transponuję:

0,4505 0,20015 0,1483 0,3065

0,14115 0,4225 0,1927 0,183

0,109 0,1515 0,4675 0,203

0,04235 0,04555 0,0352 0,425

Macierz dopełnień transponowaną przedstawiam do wzoru na macierz odwrotną, który ma postać:

1

( I - A )^-1 = = D^T

det ( I - A )

0,4505 0,20015 0,1483 0,3065

( I - A )^-1 = 3,44 0,14115 0,4225 0,1927 0,183 =

0,109 0,1515 0,4675 0,203

0,04235 0,04555 0,0352 0,425

1,55 0,689 0,51 1,054

= 0,485 1,453 0,663 0,63

0,374 0,521 1,61 0,698

0,146 0,157 0,121 1,462

Mając macierz ( I - A )^-1 można ustalając produkty końcowe każdej gałęzi obliczyć poziomy produkcji globalnych, zapewniając otrzymanie żądanych produktów finalnych.

Przyjmując, że w okresie następnym przewidywane produkty końcowe wzrosną o 10% to:

y₁ = 6105,06 * 1,1 = 6715,566

y₂ = 7493,88 * 1,1 = 8243,268

y₃ = 5554,445 * 1,1 = 6109,8895

y₄ = 3662,74 * 1,1 = 4029,014

Wtedy wielkość produkcji globalnych obliczamy ze wzoru:

( I - A )^-1 * y = Y

1,55 0,689 0,51 1,054 6715,57 23451,36

0,485 1,453 0,663 0,63 * 8243,27 = 21823,66

0,374 0,521 1,61 0,698 6109,89 19455,53

0,146 0,157 0,121 1,462 4029,01 8904,37

Y₁ = 10409,13 + 5679,61 + 3116,04 + 4246,58 = 23451,36

Y₂ = 3257,05 + 11977,47 + 4050,86 + 2538,28 = 21823,66

Y₃ = 2511,62 + 4294,74 + 9836,92 + 2812,25 = 19455,53

Y₄ = 980,47 + 1294,19 + 739,3 + 5890,41 = 8904,37

5

---