Wykład 5

Zasady zmienności w dynamice punktu materialnego.

Zasady pędu, energii kinetycznej i krętu są związane z II prawem dynamiki Newtona.

5.1 Pęd punktu materialnego (ilość ruchu PM):

Moduł wektora pędu:

Jednostka pędu:

Związek wektora pędu punktu materialnego z siłą działającą na ten punkt i z II prawem dynamiki Newtona:

Różniczkowa zasada zmiany wektora pędu: Pochodna po czasie wektora pędu PM jest równa wektorowi siły działającej na ten punkt.

Różniczkową zasadę pędu możemy również przedstawić:

- impuls siły lub popęd (t₁*t₂)

Całkowita zasada zmiany pędu: Zmiana wektora pędu w skończonym przedziale czasu (t₂-t₁) jest równa impulsowi wektora siły w tym przedziale.

W szczególności, jeśli

Zasada zachowania pędu punktu materialnego:

Jeżeli wypadkowy wektor sił działających na PM jest równy zeru to wektor pędu jest stały.

Uwaga: w praktyce może mieć miejsce sytuacja, np.:

Wówczas

5.2 Praca i moc siły, energia kinetyczna punktu materialnego:

Praca siły:

Praca sił
na drodze A₁A₂:

[N*m]

1[N]*1[m]=1[J]

Moc siły:

Pracę wykonaną przez siłę w ciągu jednostki czasu nazywamy mocą tej siły. Moc oznaczamy przez N.

Energia kinetyczna i zasada równoważności pracy i energii kinetycznej:

Energia kinetyczna punktu materialnego:

Zasada równoważności:

Zmiana energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równa sumie prac, które wykonały w tym samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt.

Zasada zachowania energii mechanicznej punktu materialnego:

Zasada zachowania jest szczególnym przypadkiem zasady równoważności pracy i energii kinetycznej punktu materialnego.

Załóżmy, że w pewnym obszarze przestrzeni
działa pole sił:

Jeśli w każdym punkcie przestrzeni

to takie pole nazywamy jednorodnym.

Jeśli:
to takie pole nazywamy potencjalnym.

V=V(x,y,z) - jest potencjałem pola sił lub energią potencjalną PM.

Wtedy pracę L w potencjalnym polu sił przedstawimy:

Wniosek: Praca w potencjalnym polu sił nie zależy od drogi lecz tylko od położenia początkowego i końcowego.

Zasada zachowania energii mechanicznej punktu materialnego:

Po przedstawieniu powyższego wzoru na pracę L do prawej strony wzoru wyrażającego zasadę równoważności pracy i energii kinetycznej otrzymamy:

E_m =E + V - nazywamy energią mechaniczną.

5.3 Kręt (moment pędu) punktu materialnego:

Zasada zmiany krętu punktu materialnego:

Zasada zachowania krętu punktu materialnego: Jeśli
dla t
0 to mamy

5.4 Podstawy teorii momentów bezwładności:

Środek masy i środek ciężkości układu punktów materialnych i ciała sztywnego:

Założenia:

Weźmy pod uwagę układ n punktów materialnych o masach m_i (i = 1,....,n)

Położenie tych punktów w stosunku do punktu odniesienia O określone jest wektorami ri

Wprowadźmy umownie punkt C, którego położenie określone jest związkiem:

masa punktu C:

Punkt C nazywamy środkiem masy układu punktów materialnych.

Środek masy układu punktów materialnych w układzie Oxyz:

Pojęcie środka masy ma charakter ogólny i może być zastosowane do dowolnego układu punktów materialnych, niezależnie od tego czy układ jest sztywny czy nie, czy jest w ruchu czy w spoczynku oraz czy znajduje się w polu sił.

Środek masy ciała sztywnego ciągłego:

Gęstość ciała sztywnego ciągłego:

Gęstość ciała sztywnego dowolnego:

Gęstość ciała sztywnego jednorodnego

Gęstość ciała sztywnego dwuwymiarowego: (powłoki, cienkie płyty).

Gęstość ciała sztywnego jednowymiarowego (pręty, liny, belki)

Środek ciężkości:

Na obiekty znajdujące się w polu przyciągania Ziemi, działają siły ciążenia. Siły te zastępujemy wypadkową siłą ciężkości. Przy założeniu, że rozmiary obiektu są małe w porównaniu do rozmiarów Ziemi można siły ciężkości uznać za równoległe i wyznaczyć środek równoległych sił ciężkości. Punkt taki nazywamy środkiem ciężkości obiektu (UPM lub CS).

Środek ciężkości układu punktów materialnych: Ciężar właściwy CS:

Środek masy ciała sztywnego jednorodnego:

Wzory na środek masy CS upraszczają się gdy mamy do czynienia z ciałem jednorodnym tzn. takim, w którym masa jest rozłożona równomiernie w całej jego objętości.

Podsumowanie:

Ze wzorów na środek masy wynika, że jego położenie w jednorodnym ciele sztywnym zależy tylko od jego geometrii.

Ogólne własności jednorodnego ciała sztywnego:

Jeżeli ciało ma płaszczyznę symetrii to środek masy leży na tej płaszczyźnie.

Jeżeli ciało ma oś symetrii to środek masy leży na tej osi.

Jeżeli ciało ma środek symetrii to środek masy leży w tym środku.

5.5 Momenty statyczne:

Momentem statycznym układu punktów materialnych względem płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas każdego punktu przez ich odległości od tej płaszczyzny.

Np. względem płaszczyzny Oxy:

Momenty statyczne a środek masy:

Współrzędne środka masy można określić za pomocą momentów statycznych względem płaszczyzn układu Oxyz:

5.6 Momenty bezwładności:

A i [ xi, yi, zi ]

Momenty bezwładności względem płaszczyzn Oxyz:

Dla UPM:

Dla CS:

Momenty bezwładności względem osi Oxyz:

Dla UPM:

Dla CS:

Moment bezwładności względem bieguna 0:

Dla UPM:

Dla CS:

Ważne zależności:

Momenty dewiacyjne (mieszane) w układzie Oxyz:

Dla UPM:

Dla CS:

Macierz bezwładności (tensor bezwładności):

I =

I - opisuje własności bezwładnościowe CS lub UPM.

Moment bezwładności względem dowolnej osi l:

l - dowolna prosta przechodząca przez początek układu 0

Po przekształceniach momentu bezwładności względem osi l wynosi:

Osie główne centralne i momenty bezwładności względem nich:

Lokując początek układu współrzędnych w środku masy ciała mamy centralny układ osi Cxyz.

Jeżeli tak zorientujemy w przestrzeni osie układu Cxyz, że Dxy=Dxz=Dyz=0, to takie osie nazywamy głównymi centralnymi.

Układ takich osi oznaczamy: C123.

Momenty bezwładności względem osi głównych centralnych oznaczamy odpowiednio: I₁, I₂, I₃ i nazywamy głównymi centralnymi momentami bezwładności ciała sztywnego.

Moment bezwładności względem dowolnej osi l, wyrażony w układzie głównym centralnym C123 ma postać:

Momenty bezwładności względem osi równoległych:

Twierdzenie Steinera:

Moment bezwładności ciała sztywnego względem dowolnej osi l₁ jest równy sumie momentu bezwładności względem osi do niej równoległej l przechodzącej przez środek masy tego ciała oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami.

---