Zas.wzajemności prac Bettiego:praca sił pierwszego stanu obciążeń na przemieszczeniach uogólnionych wywołana przez drugi stan jest równa pracy sił drugiego stanu obciążeń na przemieszczeniach uogólnionych wywołanych przez stan1.Castigliano-pochodna cząstkowa energii sprężystej ukł.wzgl.siły uogólnionej is równa współrzędnej uogólnionej odpowiadającej tej sile:δV/δPi=fi;Teoria Eulera-założenia:pręt is początkwo prosty;materiał pręta jednorodny i izotropowy;pręt ma stały przekrój poprzeczny;naprężenia w pręcie są mniejsze od σprop.Siła rośnie b.wolno od małej wartości początkowej.(postacie wyboczen)(P/E⋅J)^(1/2)=nΠ/L|P=n2π2EJ/L2| Pkr=π2EJ/Ls2|P=E(nπ/l)^2 podstawimy n i wychodzą PkrPrawo Hooke'a:Δl=P⋅l/E⋅A; Wydłużenie Δl pręta pryzmatycznego is wprost proporcjonalne do siły rozciągającej P i do długości początkowej l pręta,odwrotnie prop.do polaA przekroju poprzecznego.E-moduł sprężystości wzdłużnej(Younga).σ=P/A-naprężenia rozciągająceE=Δl/l-wydłużenie względne lub jednostkowe.Prawo Hooke'a w innej postaci: ε=σ/E lub σ=Eε,E-stała materiałowaTw.Koeniga-w dowolnym ruchu ciała sztywnego jego energia kinet.is równa sumie energi kinet.ruchu postępowego środka masy i en.kinet.chwilowego ruchu obrotowego wzgl.tego środkaTw.o wzajemności przemieszczeń Maxwella→f1”=f2':siła uogólnionaP przyłożna na kierunku1 wywoła na kier.2 przemieszczenie f2'równe przemieszcz.f1”,jakie na kier.1 wywoła siłaP przyłozona na kier2.Menabrei twierdz-pochodna cząstkowa energi sprężystej ukł.wzgl.reakcji statycznie niewyznaczalnej równa is zero:δV/δX=0(zas.najmniejszej pracyM)Teoria Rankine'a-hipoteza największych naprężen normalnych.σ1>σ2>σ3,σ1=σpl=σred;o wytężeniu materiału decyduje max.naprężenie normalneWzór Steinera: Jz=Jzc+F*a2 lub Jz=Jzc+A*a2|Mom.bezwładn.wzgl.osi is równy sumie mom.bezwładn.wzgl.równoległej osi centralnej i iloczynu pola F figury(A)i kwadratu odl.między tymi osiami|||||||Belki-elem.relatywnie długie i smukłe ukłdem sił przeciwdziałających do tej osi prostopadłych.belka dwupodporowa,obciążenie-siły skupione,obciążenie-mom.skupiony(M).Ciało doskon.sztywne-ciało,które ulega odkształceniu pod działaniem dowolnie dużych sił.Odległości wzajemne pktów tego ciała,niezależne od układu sił działających na ciało.Deplanacja - wypaczenie przekroju (niekołowych przekrojów poprzecznych)Doświadczalne reguły tarcia(Coulomba):*Gran.siła tarcia is wprost proporcjon.do nacisku normalnego T=μ*N,μ-współcz.tarcia poślizgowego.*T nie zależy od wielkości powierzchni styku,ale pow.styku nie może być zbyt mała,ani zbyt duża.*μ zależy od materiałów stykających się ciał i styku ich pow.T≤μN ciało pozostaje w spoczynku T=N*tgϕ|T=μN tarcie całkowicie rozwinięte μ=tgϕ|T=μ'N ciało ślizgające się|μ' - współ.tarcia kinet|Drgania główne:drgania przy których wszystkie pkty ukł.jednocześnie przechodzą przez położenie równowagi stałej i jednocz.osiągają położenie krańcowe.Graniczna siła tarcia(całkowicie rozwinięta s.t)-siła, przy której zachodzi jeszcze równowaga.Kąt tarcia - graniczny kąt ϕ, jaki tworzy reakcja |R w przypadku tarcia całkowicie rozwiniętego.K.t może służyć jako charakterystyka własności ciernych ciał.|Jeżeli |P wypadkowa wszystkich sił
czynnych is odchylona od normalnej o kąt α to ciało będzie pozostawało w spoczynku,α≤ϕ
Mom.bezwł Jz figury płaskiej względem osi z to suma iloczynów elementarnych pól dA tego pola i kwadratów odległości pól od osi z.|Jz=ၺ{A}dA*y2,Moment bezwładności względem osi jest równy
sumie bezwładności względem równoległej osi centralnej oraz iloczynu pola F figury i kwadratu odległości między tymi osiami Jz=Jzc+Fa2.Mom.bezwł.odśrodkowy(dewiacyjny):Jzy=ၺyთzთdA tj.suma iloczynów elementarnych pól dA i odległości środków ciężkości tych pól od osi współrz.y,z. Izy może przybierać wartości;'+',`0','-'.Wzór Steinera dla odśrodkowych mom.bezwł:Jyz=Jyczc+aთbთA|Odśrodkowy mom.bezwładności Jyz figury wzgl.osi równoległych is równy sumie odśrodkowego mom. bezwładn.Jyczc względem osi ?? i iloczynu polaA figury i odl.a i b między osiami.Mom.elementarny siły ၳ dA wzgl.osi Yprzy założeniu ၳ>0-ၳ*zdA=E(z2/g)dA|Mg=E*Jy/ၤ lub 1/ၤ=Mg/(E*Jx)|E*Jy=sztywność na zginanie|ၳ=-Mg*z/Jy,Mom.główny-ukł.sił wzgl.pktP is wektor przesuwny,równy sumie geometr.mom.wszystkich sił ukł.wzgl.tego pkt(P-środek redukcji)Mom.gnący-w danym przekroju belki,to suma mom.sił zewn.działających na część belki odciętą tym przekrojem.Mom siły względem osi is miarą obrotowego działania F wzgl.tej osi.Tw:mom.s.w.o. równy is rzutowi na tę oś momu danej siły względem dowolnego pktu leżącego na tej osi.InaczejMom.siły|F wzgl.prostej l nazywamy mom.rzutu siłyF na dowolną płaszczyznę prostopadłą do tej prostej wzgl-ędem pktu przebicia tej płaszczyzny przez prostą l.Moment siłyF wzgl.pktu O-wektor|Mo związany z pktem O,prostopadłym do płaszcz.określonej przez |F i pkt O.Jest określony przez iloczyn wektorowy wektora promienia wodzącego|rAi siły|F.||Mo(|F)=|rA⋅|F= [i,j,k;rAx,rAy,rAz;Fx,Fy,Fz]=(Fz⋅y-Fy⋅z)⋅i+ +(Fx⋅z-Fz⋅x)⋅j+(Fy⋅x-Fx⋅y)⋅k=Mx⋅i+My⋅j+Mz⋅k|Mx,My,Mz-miary rzutów wektora momu na osie ukł współrz.|Mx=Fz⋅rAy-Fy⋅rAz|My=Fx⋅rAz-Fz⋅rAx|Mz=Fy⋅rAx-Fx⋅rAy|Naprężenia(klasyfikacja)-zewn:czynne(ciężary);bierne(reakcje więzów);wewn:wzajemne oddział.cząstek należacych do tego samego ciałaNaprężenie ā w danym pkcie P przekroju danego ciała stałego to granica do której dąży iloraz siły wewn.ΔFi przez elementarne pole ΔAi tego przekroju,gdy to pole dąży do zera: a=lim (ΔAi→0)ΔFi/ΔAi [N/m2=Pa]; ā-wektor skierowany zgodnie z kier.siłΔFiNaprężenia(napięcia)stanw pkcie P-zbiór wszystkich możliwych ā dla różnych przekrojów prowadzonych przez P.Naprężenia dopuszczalne(współcz.bezpieczeństwa)Niedopuszczalne w prawi-dłowo zaprojektowanej konstrukcji jako niebezpieczne są naprężenia RE lub RM;σ=P/A<=kr|kr-na rozciąganie|kc-na ściskanie|kr=Rm/nm lub kr=Re/ne|nm>1 współcz.bezpieczeństwa odniesiony do wytrzymałości na rozciąganie Rm|ne>1współcz.bezpi.odniesiony do granicy plastyczności Re,Dobór n zależy od:jednorodności materiału;naprężeń wstępnych;sposobu przełożenia obciążeń(statyczne,dynamiczne,zmieniające się);czasu i warunków pracy;dokładności metod obliczeniowych;koncentracji naprężeń,Naprężenia główne:σmax=(σx+σy)/2+r|σmin=(σx+σy)/2-r|r={[(σx+σy)/2]^2+τ^2}^(1/2)|Wnioski W przekroju,w którym działają ekstremalne naprężenia normalne napr.styczne są zerowe(τ=0)Istnieją tylko 2takie przekroje wzgl.siebie prostopadłe-przekroje główne.Napr. normalne działają w przekrojach głównych.gdy σ1>σ2 to zawsze σ2<=σα<=σ1,Kierunek działania max. naprężeń normalnych nazywamy kierunkami głównymi.Max naprężenia styczneτ'=(σx+σy)/2⋅sin2θ+τcos2θ|τmax=+-r=+-{[(σx+σy)/2]^2+τ^2}^(1/2)|
Naprężenia krytyczneၳkr=(E*J*ၰ2/ALs2)Ls2-długość wyboczenia|ၳkr=E*(ၰ/ၬ)^2;ၳkr=f(ၬ) tzw. hiperbola Eulera|ၬgr=ၰ(E/Rpr)^(1/2)|ၬ=ls/i|i-najmni.promień bezwładności przekroju.Naprężenia przy
czystym zginaniu-założenia:belka początkwo prosta,promień krzywizny duży w porównaniu z wymiarami poprzecznymi belki;materiał belki is jednoznaczny, sprężysty,obowiązuje prawo Hooke'a;materiał ma taki sam E dla rozciągania i ściskania, ၥ=(s'-s)/s, ၥ=-s/ၤ;naprężenia są równomierne,nie przekraczają granicy proporcjonalności;przekroje poprzeczne płaskie przed i po odkształceniu też płaskie i prostopadłe do zakrzywionej po odkształceniu osi belki;każde z włókien podłużnych może swobodnie wydłużać się lub skracać swoją długość;Naprężenia termiczneΔlt=Δt⋅l⋅α|Δt-przyrost temperatury [°K]|l-dług.początkowa[m]|α-współ.rozszerzalności liniowej|Naprężenie zredukowane -zastępcze naprężenie rozciągające,powdujące takie samo niebezpieczństwo zniszczenia materiału co i dany złożony stan naprężeń.Odkształcenia względem włókien są proporcjonalne do ich odl.od warstwy obojętnej.dla z>0,ၥ<0(powyżej warstwy obojętnej)|dla z<0,ၥ>0(poniżej w.o)|wykorzystując pra'o Hooke'a:ၳ=E*ၥ=-Ez/ၤ|Osie gł'e przekroju-to osie y,z jeśli Jyz=0Oś obojętna-centralna przekroju prostopadłego do płaszczyzny zgięcia.Pręt krótki-zniszczenie w skutek naprężeń ściskających=napr.plastycznym(Ppl)|(PKRR)=(ၳpl*A)/[1+(c/n1)*(L/i)2]|c=ၳpl/Eၰ2|n1-stała zależna od rodzaju podpa-rcia.Przedm.materialny-to model ciała materialnego,którego wymiary przy rozpatrywaniu danego zagadnienia mechaniki możemy zaniedbać w porówn.z in.wymiarami występującymi w danym zagadnieniu.Można go więc traktować jako pkt.geometryczny,w którym skupia się ciałoPunkt materialny-model ciała materialnego,którego wymiary można przy rozpatrywaniu zagadnienia zaniedbać w porównaniu z innymi materiałami. Statyka-zajmje się równowagą ciał materialnych poddanych działniu sił.Przypadek równowagi ciała is ich spoczynek.Zadanie-ustalenie warunków równowagi sił.Siła-wyraz i miara mechaniczn.odziaływania ciał.Pod mechaniczn odziaływaniem ciał rozumiemy takie oddział,które prowadzi do zmi.ruchu 1ciał wzgl.drugich,odkształcenia tych ciał.Siły mogą być wywierane w bezpośrednim zetknięciu ciał,na odległość.S.is wielokrotnością wektorową,ma wartość,zwrot,kier.S.wewn-siły między ciałami wewn.ukł ciał.S.zewn-s.między ciałami ukł,a nienależącymi do ukł.S.masowe-proporcjonlne do masy ciała,mają char.grawitacyjny lub bezwładn.S.kontaktowe-pktowe,liniowe,powierzchn.S.czyn-stanowiące obciążenia.S.bierne-zwane reakcjami, zależne od sił czynnych, bo stanowią z nimi ukł sił w równowadze.S.normalnaN(tnącaT)-w danym przekroju poprzecznym belki to rzut na kierunek normalnej(płaszcz.tego przekroju)wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.Para s-ukł.dwóch sił równol.o równych wartościach i przeciwnych zwrotch;h-ramię pary sił, Właściwści:nie ma wypadkowej,wywołuje obrót ciała sztywngo.Suma momtów s.tworzcych parę wzgl.dowolnego obranego pktu:Mo(F)+Mo(-F)=r×F=|M||M-mom.pary sił,prostop.do płasz.sił.Wartość liczbowa: |M|=|r×F|=|r|⋅|F|⋅sinϕ=F⋅h|h=r⋅sinϕ-ramię pary sił| Mom.pary sił nie zależy od obrotu bieguna.Przedstawiamy go za pomocą wektora swobodnego,przyłozonego w dowolnym pkcie przestrzeni.Równoległe przeniesienie s:Wniosek:Siłę|F przyłożoną do pktuA ciała sztywnego możemy zastąpić równą jej s.przyłożoną do pktP tego ciała,dodając jednoczśni parę sił o mom=mom.danej siły wzgl.pktP.Różniczkowe równanie linii ugięcia belki: d^2y/dx^2=Mg(x)/(E*Jz).Ukł s:*dowolny przestrzeny ukł sił:
środkowy lub centralny(przecinaja się w 1pkt);równoległy;*dowolny płaski:środk;równolgły,Przy badaniu u.s.najistotnjsze:*Wyznaczenie najprostszego, równoważnego ukł.sił, którym dany ukł da się zastąpić.[redukcjaUkłSił-2ukł.sił są równoważne sobie jeśli działając oddzielnie na to samo ciało wywołuje ten sam skutek.*Określenie warunków koniecznych i dostatecznych,który ukł sił musi spełniać,by był w równowadze.Równoważny ukł sił składa się z 2 ukłów:*sił F1,..,Fn tworzących tzw.ukł środkowy równoważny 1sile |S=|F'1+|F'2+...+|F'n=|F1+|F2+...+|Fn;S-wektor główny.*n=para sił,które możemy zastąpić 1parą sił o mom.|Mo równym sumie geometrycznej mometów par składowych.|Mo=|Mo(|F1)+Mo(F2)+..+Mo(Fn);|Mo-mom.główny.Ogólne warunki =wagi :|S=Σ{i=1,n}|Fi=0,Mo=Σ{i=1,n}Mo*|Fi=0,W ogólnym przypadku sił działających na ciała o sztywne,równowaga możliwa is,gdy suma geometryczna tych sił is równa zeru i gdy suma geom.ich mom.wzgl.dowolnego pktu O is równa O|Analiza warunku równo-wagi:Rzuty wektorów |S i|Mo na osie muszą być zerowe.Sx=Σ{i=1,n}Fix=0|Sy=ΣFiy=0|Sz=ΣFiz=0|Mox=ΣMix=0|Moy=ΣMiy=0|Moz=ΣMiz=0|Siła tnąca-w przekroju belki is algebraiczną sumą wszyst.sił leżących po jednej stronie przekroju.Siła wzdłużnaN=0,N=ၺ {A}ၳdA,N=(-E/q)*ၺ{A}dA=0|ၺzdA=0 mom.styczny przekroju względem osi y,zerowy,gdy oś is centralna.Siła tarciaT-przeciwdziała poślizgowi,zmi.się wartość od 0 do pewnej wartości granicznej.Stożek tarcia kołowy-gdy tarcie izotropowe;niekołwy-anizotr-opowe. SiłaR nie może wychylać się poza stożek.Tarcie poślizgowe-gdy do ciała o ciężarze G spoczywającego na poziomej płasz.przyłoży się siłę poziomą|P.Powierzchnie nie są idealnie gładkie.Ciało zacznie się ślizgać,gdy |P przekroczy pewną wartość grani-czną.Gdy P≠0 i P<μN to ciała nie ślizgaja się,is toczenie.Równowaga zachowana gdy:Ph≤fN(f-współcz.t)T.statyczne-ciało pozostaje w spoczynku;siła tarcia równoważy składową styczną obciążenia,jej zwrot is przeciwny do zwrotu wektora możliwego przesu-nięcia,wartość zależy od wielkości aktualnego obciążenia i spełnia zależność 0≤T≤Tgr=fSN;T.kinetycz-ciało w ruchu;siła t.k.przyjmuje stałą wartość T=TGR=fKN;fK-współcz.tarcia,zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości.;Jego wartość zależy od rodzaju powierzchni tnących;nie zależy:*wielkości pow.tnących,*wartości siły nacisku,*prędkości poślizguTarcie toczne-do ciężkiego walca spoczywającego na płaszczyźnie położono poziomą siłę P.Warunki równowagi:ΣMb=0|Q⋅f-p⋅h=0-równowaga zachodzi gdy P⋅h<=f⋅N bo Q=N|P=Q⋅f/h;f-współ.tarcia tocznego|Dla każdej wartości P≠0 i h≠0 ukł sil nie może być w równowadze, bo ΣMk=0, gdy P<μN,; walec nie ślizga się, wystąpi ruch→toczenie się.W wyniku odkształcenia ciał występuje opór przeciw toczeniu.Jest przeniesienie pktu zaczepienia reakcji o pewną odl.od pktuA w kier.możliwego toczenia się.Ukł statyczny niewyznaczalny:l.niewiad>l.równ równow.3r.równ,4 niewidoczne reakcje,Ukł statyczny wyznaczalny:liczba niewiadomych<równań równowagi3 równ. równow,3 niewidoczne reakcje,Umocnienie plastyczne-podwyższenie własności wytrzymałościowych materiału,wynikające z wywołania w próbce odkształcen trwałych.
Warunki brzegowe - c1, c2, c3, c4:1. x=0, y=0;2. x=l, y=0;3. x=l/2, yAB=yBC;4. x=l/2, dyAB/dx=dyBC/dx;AB;E*Jzy=3/48*w*l^3*x-1/24*w*x+c1*x+c2;BC;E*Jzy=1/16*w*l^2*x^2-1/48*w*l*y+c3
*x+c4;Wektor główny-wektor swobodny,będący sumągeometr.wszystkich sił ukł.Więzy-ograniczenia ruchu ciała nakładane na nie przez in.ciała.Więzów siła reakcji-siły oddziaływ.więzów na podlegające im ciała.Współrzędna uogólniona f-przemi-eszczenie odpowiadajace sile uogólnionejP.Wyboczenie-wygięcie pręta spowodowane przekroczeniem przez siłe sciskającą wartości krytycznej.Wydłużenie względne-proporc.do naprężenia,które je spowodowałoε1=(d1-d)/d wydłużenie względne w kierunku poprzecznym(ma ujemną wartość).Między ε1 iε zachodzi związek ε1=-εν,ν-liczba Poissona,Wydłużeni jednostkowe:εt=αΔt,Wytężenie materiału-zmi.w st.fizycznym materiału spowodwane jego stanem naprężenia i odkształcenia,które prowadzą do odkształceń trwałych,a w miarę wzrostu obciążenia do zniszczenia spójności materiału.-stopień narażenia mat.na zniszczenia na skutek oddział.mech.Wytrzymałośc materiałów-nauka,która uwzględniając zdolność ciał stałych do odkształceń,zajmuje się badaniem i ustala-niem zależności odkształceń od sił zewnętrznych działających na dane ciało.Zasady statyki: Zas.równoległboku-dwie dowolne siły F1 i F2 zaczepione do 1 pktu zastępujemy siłą wypadkową R przyłożoną do tego pktu.To wektor będący przekątna równoległo-boku ABCD.Dwie siłyprzyłożone do ciała sztywnegorównoważą się,gdy działają wzdłuż 1prostej,są przeciwnie skierowane,mają te same wartości liczbowe.Ukł zerowy-dowolny ukł.równoważących się sił.Tw:Każdą siłę działającą na ciało sztywna można przesunąć dowolnie wzdłuż jej linii działania.Zas.zesztywnienia-równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała.Zas.działania i przeciwdz-każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeci-wnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie.Zas.oswobodzenia od węzłów-każde ciało nieswobodne można oswobodzić od więzów myślowo zastępując ich działanie odpowiednimi reakcjami. Dalej można rozpatrzyć ciało tak jak ciało swobodne podlegające działaniu sił czynnych oraz sił reakcji więzów.Zas. superpozycjiΔl=Δl'+Δl”|Δl=P1⋅l/EA+P2⋅l/EA,Zginanie czyste-w myślowym przekroju pręta istnieje tylko Mg,którego wektor is prostopadły do osi pręta(leży w płasz.przekroju).Zgin.poprzeczne-poza Mg w myślowym przekroju is siła poprzeczna Tprostopadła do osi,leżąca w płasz.przekroju.Zginanie proste - zgięcie belki zachodzi w płaszczyźnie działania momentu zginającego, tylko wtedy gdy ta płaszczyzna przechodzi przez główną centralną oś przekroju.Zginanie przekroju - gdy płaszczyzna i działanie momentu nie pokrywa się z główną centralną osią przekroju.θ - kąt ugięcia zawarty między osią belki, a styczną do linii ugięcia w danym punkcie (θ<0,θ1>0).Zgin.ukośne-płasz.działania mom.Mg nie pokrywa się z żadną z 2óch osi lub płasz.przekroju.Dwa zgięcia proste:My=Mg⋅cosα, Mz=Mg⋅sinα,Zmęczeniemateriałów:obniżanie się wytrzymałości przy naprężeniach zmienych