Zadania z szeregów Fouriera i algebry operatorów

Szeregi Fouriera

1. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
. Posługując się otrzymanym rozwinięciem, znaleźć sumę szeregu Leibniza
.

2. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
na przedziale <-π,π> (lub
na przedziale <0,π> według cosinusów). Co otrzymujemy dla x=π/2? Napisać równość Parsevala.

Odp.

3. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
. Napisać równość Parsevala.

4. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
na (-π,π). Odp.:
.

5. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
(a - niecałkowite) na przedziale (-π,π).

Odp.:

6. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
(a - niecałkowite) na przedziale <-π,π>. Pokazać za pomocą otrzymanego rozkładu, że dla dowolnego x∈R, x≠mπ:

a)
(wsk.: przyjąć w otrzymanym rozkładzie, że x=0);

b)
(wsk.: przyjąć w otrzymanym rozkładzie, że x=π).

Odp. do pierwszej części:

7. Rozwinąć (bezpośrednio) w szereg Fouriera funkcję
na przedziale <-π,π>. Napisać dla niej równość Parsevala. (Por. z zad. 20.)

8. Rozwinąć (bezpośrednio) w szereg Fouriera funkcję
na przedziale <-π,π>. Napisać dla niej równość Parsevala. (Por. z zad. 21.)

9. Funkcję f(x)=0 dla -π≤x<0, f(x)=sin x dla 0≤x≤-π rozłożyć w szereg Fouriera na <-π,π>.

10. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję okresową f(x)=arc sin (cos x).

11. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję okresową f(x)=arc sin (sin x).

12. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję okresową
. Odp.:

13. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
na przedziale <-π,π> .

Odp.:

14. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
na przedziale (0,π) według sinusów.

Odp.:

15. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
na przedziale <0,2π> .

13A, 14A, 15A. Korzystając z rozwinięć otrzymanych w zadaniach 13-15, znaleźć sumy szeregów

16. Rozwinąć w szereg Fouriera według kosinusów funkcję
(anulowano - por. zad. 2).

17. Korzystając z wyników zadań 13-16 udowodnić, że

18. Rozwinąć w szereg Fouriera według kosinusów funkcję
.

19. Rozwinąć w szereg Fouriera (według sinusów) funkcję
w przedziale (-π,π).

Odp.:

20. Wykorzystując rozwinięcie z zad. 19, wykazać, że

.

(por. zad. 7).

21. Wykorzystując rozwinięcie z zad.19, wykazać, że

(por. zad. 8).

22. Wykazać, że jeżeli funkcja f całkowalna na <-π,π> spełnia warunek f(x+π) = f(x), to w jej rozwinięciu Fouriera a_2n-1=b_2n-1=0, n∈N. Przy dodatkowym założeniu, że funkcja f jest równa sumie swojego szeregu Fouriera, zachodzi twierdzenie odwrotne.

23. Wykazać, że jeżeli funkcja f całkowalna na <-π,π> spełnia warunek f(x+π) = -f(x), to w jej rozwinięciu Fouriera a₀ = 0, a_2n = b_2n = 0, n∈N. Przy dodatkowym założeniu, że funkcja f jest równa sumie swojego szeregu Fouriera, zachodzi twierdzenie odwrotne.

24. Anulowano.

25. Jak należy przedłużyć funkcję całkowalną w <0,π/2> na przedział <-π,π>, aby jej szereg Fouriera miał postać a)
; b)
; c)

d)
.

26. Niech funkcja f będzie całkowalna na <-π,π> i niech

,

gdzie
- odpowiedni współczynnik w rozwinięciu Fouriera funkcji f. Wykazać, że funkcja F jest ciągła na <-π,π>, F(-π)=F(π) i że szereg Fouriera funkcji F (przedłużonej okresowo na całą prostą) jest formalną całką szeregu Fouriera funkcji
w przedziale od 0 do x, tzn.

;

jest tu odpowiednikiem wyrazu
, gdzie a_n, b_n są odpowiednimi współczynnikami Fouriera dla funkcji f, tzn.

27. Wychodząc z rozkładu
, otrzymać przez całkowanie wyraz po wyrazie (zob. poprzednie zadanie) rozkład funkcji
w szereg Fouriera.

Odp.:
;
;

.

28. Wykorzystując równość Parsevala dla funkcji
, znaleźć sumy szeregów

29. Znając współczynniki Fouriera
funkcji całkowalnej f o okresie 2π, wyliczyć współczynniki Fouriera funkcji g(x)=f(x+h).

30. Znając współczynniki Fouriera
funkcji całkowalnej f o okresie 2π, wyliczyć współczynniki Fouriera funkcji Stiekłowa

.

31. (B. trudne) Dowieść, że dla x z przedziału <0,π>,

.

Wsk. Rozwijając w szereg Fouriera funkcję f znajdującą się po prawej stronie równości i całkując dwukrotnie przez części zauważyć, że f'(0)=f'(π)=0.

32. Niech funkcja f będzie określona równościami:

Rozwinąć ją w szereg cosinusów. Odp.:
.

33. Wykazać, że jeśli dana w przedziale <0,2π> funkcja f(x) spełnia warunek

a) f(2π-x) = f(x) b) f(2π-x) = -f(x), to w pierwszym przypadku b_n=0, a w drugim a_n=0 dla każdego n.

34. Ograniczając się do funkcji danych w przedziale <0,π> dowieść, że warunek

a) f(π-x) = f(x) pociąga za sobą a_2n-1 = 0 przy rozwinięciu względem cosinusów, zaś b_2n = 0 przy rozwinięciu względem sinusów (dla dowolnego n);

b) f(π-x) = -f(x) pociąga za sobą a_2n = 0 przy rozwinięciu względem cosinusów, zaś b_2n-1 = 0 przy rozwinięciu względem sinusów (dla dowolnego n).

35. Całkując wyraz po wyrazie rozkład
, otrzymać wzór

.

Strona 1 z 4

---