30.01.2006 ECW Chemia, 3 semestr
Egzamin ze statystyki
Zestaw 1.
Zad 1 (14 pkt)
Teoria - Twierdzenia graniczne
Dana jest funkcja
a) dobrać stałą c, tak by funkcja ta była gęstością zmiennej losowej X
b) znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej
c) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję X
d) obliczyć
, gdzie Xi jest to ciąg zmiennych losowych (niezależnych, o jednakowym rozkładzie takim jak podany na początku zadania).
Zad 2. (15 pkt)
Teoria - Testowanie hipotez nieparametrycznych
Przeprowadzono n = 5 pomiarów pewnej wielkości o rozkładzie normalnym N(m;2).
X1 = 8,02 ; X2 == 8,01 ; X3 == 7,99 ; X4 = 8,03 ; X5 = 8,00 .
a) znaleźć przedział ufności dla wartości średniej , przyjmując poziom ufności 1-α = 0,99
b) na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę H0(σ2 = 0,6).
(Uwaga: na początku zadania założono, że odchylenie standardowe σ w populacji jest znane; z kolei w punkcie b należy przyjąć, że σ jest nieznane, bo w przeciwnym przypadku nie byłoby sensu testować hipotezy o wariancji.)
Zad 3. (7 pkt)
Przeprowadzono n = 6 pomiarów zmiennych X i Y:
X |
2 |
4 |
6 |
9 |
14 |
25 |
Y |
30 |
45 |
50 |
60 |
75 |
100 |
Na poziomie α = 0,10 sprawdzić hipotezę, że zmienne X, Y są nieskorelowane, tzn. H0(ρ =0).
30.01.2006 ECW Chemia 3 sem. 30.01.2006
Egzamin ze statystyki
Zestaw 2.
Zad 1. (14 pkt)
Teoria - Charakterystyki zmiennych losowych i ich własności
Zmienna losowa X ma rozkład:
x |
0 |
] |
2 |
3 |
4 |
P |
2/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
a) obliczyć jej wartość oczekiwaną i wariancję
b) obliczyć
,
gdzie Xi jest to ciąg zmiennych losowych (niezależnych, o jednakowym rozkładzie takim, jak podany na początku tego zadania). (Uwaga: w zasadzie przybliżenie związane z treścią centralnego twierdzenia granicznego można wykorzystywać, jeżeli n≥30; tutaj umawiamy się, że należy policzyć tak, jakby n było rzeczywiście ≥30.)
Podać sformułowanie twierdzenia, z którego się korzysta.
Zad 2.(15 pkt)
Teoria - Przedziały ufności dla wartości średniej i wariancji
Badając wytrzymałość elementu konstrukcyjnego, przeprowadzono n = 4 pomiary i otrzymano następujące wyniki:
X1= 104 ; X2= 105 ; X3= 101 ; X4 = 106.
a) Przyjmując współczynnik ufności 1-α = 0,96, zbudować przedział ufności dla wariancji i odchylenia standardowego wytrzymałości tego elementu - zakładając, że rozkład jest normalny.
b) Na poziomie istotności α = 0,05 ustalić liczebność próby przy dopuszczalnym błędzie d = 1,2.
Zad 3. (7 pkt)
Teoria - Regresja liniowa
Badając zależność między czasem podgrzewania substancji X a ilością końcową tej substancji Y dla próby n = 6 obserwacji uzyskano wyniki:
X |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
Y |
8 |
13 |
14 |
17 |
18 |
20 |
Oszacować funkcję regresji pomiędzy X,Y.
30.01.2006 ECW Chemia 3 sem. 30.01.2006
Egzamin ze statystyki
Zestaw 3.
Zad l. (14pkt)
Teoria - Zmienne losowe skokowe i ciągłe
Zmienna losowa X określona jest za pomocą funkcji
a) Czy jest to funkcja gęstości?
b) Obliczyć wartość oczekiwaną E(X) i wariancję V(X).
c) Obliczyć
, gdzie Xi jest ciągiem zmiennych losowych (niezależnych, o jednakowym rozkładzie takim, jak podany na początku tego zadania.
Podać sformułowanie twierdzenia, z którego się korzysta.
Zad2. (15pkt)
Teoria - Testowanie hipotez parametrycznych
Przeprowadzono n = 6 pomiarów czasu trwania reakcji o rozkładzie normalnym N (m, σ). Otrzymano następujące wyniki :
X1= 12,0 ; X2= 11,2 ; X3= 11,8 ; X4= 14 ; X5=11; X6=12.
a) Przyjmując współczynnik ufności 1-α = 0,99, zbudować przedział ufności dla wartości średniej czasu reakcji m.
b) Na poziomie α = 0,05, zweryfikować hipotezę H0(m = 11).
Zad 3. (7 pkt)
Teoria - Korelacja liniowa
Przeprowadzono n = 6 pomiarów zmiennych X i Y:
X |
] |
2 |
3 |
5 |
6 |
7 |
Y |
15 |
10 |
18 |
16 |
17 |
20 |
Obliczyć współczynnik korelacji.