Pomiar prędkości grawitacyjnych fal wodnych(224)

OPIS TEORETYCZNY

Szczegółowy opis mechanicznych fal rozchodzących się w wodzie jest zagadnieniem dość złożonym, dlatego ograniczę się tylko do najprostszych fal. Zajmę się mianowicie sinusoidalnymi, poprzecznymi falami płaskimi na powierzchni wody. Jeśli dodatkowo pominie się siły lepkości wody, pozostaną do rozpatrzenia jedynie siła grawitacji i siła napięcia powierzchniowego. Pełnią one rolę sił sprężystych t.j. przywracających do położenia równowagi powierzchnię cieczy odchyloną od poziomu przez biegnacą falę. Dla fal dłuższych rolę dominującą mają siły grawitacji (tzw fale grawitacyjne), dla krótszych, siły napięcia powierzchniowego (tzw fale kapilarne).
Sposób rozchodzenia się tych fal zależy również od głebokości wody. Należy rozpatrzyć tu trzy przypadki :

• fale grawitacyjne ( "długie" ),

• fale kapilarne ( "krótkie"),

• fale grawitacyjno-kapilarne (pośredniej długości).

Analizując ruch cząsteczek wody biorących udział w przenoszeniu fali, dochodzimy do wniosku, że każda z nich porusza się po okręgu o pewnym promieniu "r" ( będącym równocześnie amplitudą fali) w płaszczyźnie pionowej .





Szczegółowe rachunki prowadzą do związku dyspersyjnego, który dla fal grawitacyjno-kapilarnych przyjmuje postać :



Na prędkość fazową fali otrzymamy zaś wzór :



W wyrażeniach tych pierwszy człon pod pierwiastkiem opisuje wpływ sił napiecia powierzchniowego, drugi zaś wpływ sił grawitacji. Dlatego dla fal, "czysto" grawitacyjnych możemy ograniczyć się tylko do postaci :



A dla fal "czysto" kapilarnych :



Z wzorów tych wynika, iż prędkość fali silnie zależy od jej długości. Dla fal grawitacyjnych rośnie wraz z długością, dla kapilarnych maleje. Obrazuje to wykres :




Z ogólnego związku dyspersyjnego łatwo znaleźć minimalną prędkość fali wodnej i odpowiadającą jej długość fali.



Dotychczasowe rozważania nie uwzględniały głebokości wody, w której rozchodzi się fala. Taki ogólny związek dyspersyjny ma postać
<BR.

Dla dużych głębokości tangens hiperboliczny th(kH) jest bliski jednosci, jednak dla płytkiej wody odgrywa już niepomijalną rolę. Możemy przyjąć wtedy, th(kH)=kH. Zatem


A dla fal "czysto" grawitacyjnych :


W naszym ćwiczeniu będziemy badać fale, które nie są czysto sinusoidalne, zmodyfikujemy więc nasz wzór do postaci następującej :

v=B^.g^1/2.h^A

gdzie v to prędkość, zaś A i B to stałe, przy czym B powinno wynosić okolo 1 natomiast A okolo 0,5 (tak jak we wzorze podstawowym , w ktorym v=(g^.h)^1/2 ).

CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie zależności prędkości grawitacyjnych fal wodnych na płytkiej wodzie od głębokości zbiornika i porównanie jej z teoretyczną zależnością dla tych fal.

METODA POMIAROWA

Do pomiaru używamy prostopadłościennego naczynia o znanych wymiarach. Prędkość fali wyznaczamy z równania v=l/t, gdzie l jest długością zbiornika wody (lub jego wielokrotnością) a t czasem, w którym fala przebyła drogę l. Głębokość wody wyznaczamy z zależności h=V/S, gdzie V to objętość wlanej do naczynia wody, zaś S to powierzchnia naczynia. (W naszym przypadku l=1265 mm, a S=28,583 dm²)

PRZEBIEG POMIARÓW

1. Dokładnie wypoziomować naczynie

2. Wlać 3 litry zabarwionej wody

3. Unieść nieznacznie jeden z końców zbiornika (ok. 1 cm ) i szybko go opuścić

4. Gdy front powstałej fali przebiegnie dwie długości zbiornika (aby wytłumieniu uległy boczne fale) zmierzyć czas przebycia przez fale 2-3-krotnej długości naczynia.

5. Powtórzyć pomiar 5-krotnie

6. Dolewać po 1 litrze wody i powtarzać czynności z punktów 3-5 (10 różnych głębokości).

OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW

Wyniki umieścić w tabeli pomiarowej :


Aby osiągnąć cel ćwiczenia należy znaleźć współczynniki A i B z równania

v=B^.g^1/2.h^A

W tym celu należy :

• Narysować wykres zależnosci log(v) od log(h)

• Metodą najmniejszych kwadratów wyznaczyć równanie prostej y=ax+b, najlepiej pasującej do wyników pomiarowych (w tym przypadku a=A, b=(1/2)^.log(g)+log(B), x=log(h), y=log(v) - sprawdzić, logarytmując wzór na v)

• Obliczyć odchylenia standardowe dla a i b

• Wyznaczyć A i B z równań A=a, B=10^b.(g^-1/2

• Obliczyć odchylenia standardowe dla A i dla B.

UWAGA
logarytmując rownanie na prędkość otrzymamy:
log(v) = log(B) + 1/2log(g) + A^.log(h)
Zatem wykres log(v) = f(log(h)) powinien być prostą i wyglądać mniej więcej tak jak na rysunku:

---