Wprowadzenie teoretyczne.
Ćwiczenie było przeprowadzone w oparciu o właściwości siatki dyfrakcyjnej. Siatka dyfrakcyjna działa na zasadzie n interferujących źródeł fal. Liczbą n jest ilość rys naciętych na szkle. Podczas przechodzenia przez siatkę wiązki światła fale ulegają zjawisku dyfrakcji. Dzieje się to tak jak na pojedynczej szczelinie (w przybliżeniu można powiedzieć iż szczelina staje się źródłem fali kulistej powstałej z ugięcia światła) z tą jednak różnicą iż zachodzi w tym przypadku interferencja. Parametrem siatki jest jej stała oznaczana literą d i stanowi ona odległość pomiędzy pojedynczymi szczelinami. Podczas interferencji następują maxima i minima interferencyjne. Maksima objawiają się jasnymi prążkami o kolorze odpowiadającym długości danej fali. Spektrometr jest to urządzenie umożliwiające na obserwację tego zjawiska a jednoczesny pomiar kąta ugięcia danej fali (kąt odchylenia prążka). Spektrometr jest złożony z : kolimatora - urządzenia tworzącego szczelinę która rzuca cienką (szczelina podlega regulacji ) wiązkę światła na siatkę dyfrakcyjną ; stolik na którym znajduje się siatka dyfrakcyjna (powinien być wypoziomowany przed ćwiczeniem ) wraz z kątomierzem i noniuszami; lunetę która zbiera obraz wzmocnień.
Ostrość lunety powinien należy ustawić dobierając sobie jakiś daleki przedmiot tak aby była ona ustawiona na przyjęcie wiązki promieni prawie równoległych. W celu ułatwienia wykonania pomiaru w okularze znajdują się dwie wzajemnie-prostopadłe nitki pajęcze. Przystawiając do kolimatora źródło światła powinniśmy uzyskać (w zależności od rodzaju światła) obraz różnej barwy prążków interferencyjnych.
Następnie obierając jeden z nich należy ustawić nici pajęcze na szerokości prążka i odczytać wartość kąta na kątomierzu i dwóch noniuszach.
Wiedząc iż fala zostaje ugięta pod pewnym kątem oznaczanym jako oraz że różnica pomiędzy odległości pomiędzy szczelinami wynosi d łatwo można wyprowadzić wzór na sin .
sin = m / d
gdzie m jest rzędem widma (m= ,2,...,n). Pomnożenie tego wzoru przez d daje nam zależność na wzmocnienie fali.
d sin = m
Podczas obserwacji można jednak zauważyć iż w miarę wzrost rzędu widma prążki są coraz słabiej widziane. Jest to spowodowane dyfrakcją pojedynczej szczeliny. Gdyby rozważać natężenie światła przenoszone przez falę to ma ono postać
2 2
I = I. sin (N/2) / sin (/2)
gdzie
= 2d sin /
Lecz gdy rozważyć dyfrakcję na pojedynczej szczelinie to wzór nieco się komplikuje gdyż dochodzi następujący człon
2 2
I = I. sin ( /2 ) / ( /2 )
dyf
który powoduje stopniowe zmniejszanie się jasności prążków.
Ponadto każda siatka posiada tzw. zdolność rozdzielczą. Jest to liczba niemianowana określana wzorem
R = /
gdzie
= -
Wielkość ta wprowadzona jest w celu określenia czułości danego spektrometru i siatki.
Przebieg i wyniki ćwiczenia.
Ćwiczenie można podzielić nad dwie zasadnicze części:
- wyznaczanie stałe siatki d w oparciu o wzór na warunek wzmocnienia. Mając daną długość fali światła sodowego należy zmierzyć kąty ugięcia dla prążków kolejnych rzędów a następnie obliczyć stałą siatki w oparciu o pomiar.
- wyznaczenie długości fal mając daną do dyspozycji wyliczoną wcześniej stałą siatki.
wyznaczanie stałej siatki mając dane światła padające
Podczas pomiarów kąta ugięcia otrzymaliśmy następujące wyniki :
Na wprost W prawo W lewo
Rząd ugięcia |
A |
B |
A |
B |
A |
B |
p |
l |
śr |
Pierwszy |
0° |
180 |
35250 |
173° |
650 |
187 |
705 |
655 |
7 |
drugi |
0° |
180 |
34550 |
166 |
14 |
19410 |
1405 |
1405 |
1405 |
trzeci |
0° |
180 |
33850 |
159 |
2150 |
202 |
2105 |
2155 |
2130 |
gdzie :
- A,B - oznaczenia noniuszy (noniusz A i noniusz B)
- Na wprost itd. - położenie lunetki względem kolimatora
- p,l - średnia wartość kąta przy wychyleniu lunetki w prawo/lewo
- śr - średnia wartość wzięta z wszystkich 4 pomiarów
Biorąc pod uwagę iż odczyt m+1 rzędu daje dokładność większą od odczytu m-1 rzędu bierzemy pod uwagę w obliczeniach rząd najwyższy ( w tym przypadku m = 3 ). Światłem określonym jest światło sodowe ( = 589 ).
m = 3 = 589 nm
d = m * / sin śr
d = 3 * 589 / sin 2130 d = 4821 nm
Jest to oczywiście wynik nie obarczony błędem. Rachunek błędu zostanie przeprowadzony w dalszej części sprawozdania.
b) Wyznaczanie długości fali mając wyznaczoną d siatki
Podczas pomiaru ugięcia kąta otrzymaliśmy następujące wyniki
Rodzaj światła |
A
|
B |
A |
B |
A |
B |
P |
l |
śr |
Żółty |
0 |
180 |
353 |
173 |
650 |
187 |
7 |
655 |
657 |
Czerwony I |
0 |
180 |
35240 |
17250 |
710 |
18710 |
715 |
710 |
712 |
Czerwony II |
0 |
180 |
35220 |
17220 |
730 |
18740 |
740 |
735 |
737 |
( Oznaczenia podobnie jak w tabeli pierwszej ).
Dysponując powyższymi wynikami oraz wyliczoną stałą siatki dyfrakcyjnej należy wyznaczyć z wzoru długość fal poszczególnych składowych () dla każdego rodzaju światła.
m = 1 d = 4821 nm
= d sin śr
Światło :
- żółty śr = 657 = 583,4 nm
- czerwony I śr = 712
= 604,2 nm
- czerwony II śr = 737
= 638,4 nm
Oczywiście wszystkie podane powyżej wyniki nie uwzględniają błędu pomiarowego.
Rachunek błędu pomiarowego
1) Określenie błędu przy wyznaczaniu stałej siatki dyfrakcyjnej d
Stałą siatki wyznaczyliśmy na podstawie wyników pomiaru trzeciego rzędu widma.Stała siatki została określona wzorem
d = m / sin
Wartość błędu można otrzymać za pomocą metody różniczki zupełnej, to znaczy zróżniczkować podaną wyżej funkcję po d, co można zilustrować zależnością:
d = dd / d
Różniczkowanie znacznie ułatwi podstawienie :
x = sin d = dd x / dx
Po zróżniczkowaniu otrzymujemy wzór:
2 2
d = ( m / x ) x d = ( m / sin śr ) x
Natomiast x możemy wyliczyć z następującego wzoru:
2
x = 3 * (xi - xo) / (n - 1)
Ponieważ wszystkie niezbędne zależności zostały określone można przystąpić do obliczeń :
m = 3 = 589 śr = 2130 (wyliczone przy wyznaczaniu d )
x1 = sin 1 = sin 2150 = 0.371
x2 = sin 22 = 0.374
x3 = sin 2110 = 0.36
x4 = sin 21 = 0.358
xo = sin 2130 = 0.366
2 -4 -2
(xi - xo ) = 1.98 10 x = 2.3 10
2 -2
d = ( 3 * 589 / sin 2130 ) 2.3 10 = 302 nm
Mając określoną wielkość błędu możemy podać pełny wynik z określonym przedziałem w którym może się znajdować rzeczywista wartość d siatki :
d = 4821 302 nm
2) Określenie wartości błędu popełnionego podczas wyznaczania poszczególnych fal.
Światłem użytym w tej części doświadczenia było światło neonowe. Długość fal wyznaczaliśmy na podstawie pomiaru odchylenia o kąt pierwszego rzędu widma według następującej zależności :
= d sin śr / m
Aby otrzymać wartość popełnionego błędu należy ponownie skorzystać z metody różniczki zupełnej, jednak tym razem należy uwzględnić błąd wyznaczenia d siatki. Można to osiągnąć przez potraktowanie d jako zmiennej. Wówczas otrzymujemy wzór :
= (d / dd) d + (d / d)
Po takim zróżniczkowaniu otrzymujemy następującą zależność:
= sin d + d cos
Wyrażenie obliczamy z wzoru podanego w pierwszym podpunkcie z tą różnicą że zamiast x wstawiamy a wynik powinien być wyrażony w radianach :
2
= 3 (i - o) / (n - 1)
W tej części musimy przeprowadzić obliczenia błędu oddzielnie dla każdego rodzaju światła :
- żółty
o = 657
1 = 650 2 = 7 3 = 7 4 = 7
-3
= 0,25 = 4,3 10 rad
= sin 657 * 302 + 4821 cos 657 *4,3 10 = 57,1 nm
( żółte ) = 583 57,1 nm
- czerwone I
o = 712
1 = 710 2 = 710 3 = 710 4 = 720
-3
= 0,26 = 4,5 10 rad
-3
= sin 712 * 302 + 4821 cos 712 * 4,5 10 = 59,3 nm
( czerwone I ) = 656,3 59,3 nm
- czerwone II
o = 737
1 = 730 2 = 740 3 = 740 4 = 740
-3
= 0,24 = 4,1 10 rad
-3
= sin 737 * 302 + 4821 cos 737 * 4,1 10 = 59,6 nm
( czerwone II ) = 638,4 59,6 nm
Określenie zdolności rozdzielczej siatki dyfrakcyjnej
W pierwszej części ćwiczenia posługiwaliśmy się światłem sodowym złożonym z dwóch fal o długościach :
1 = 589,6 nm
2 = 589,0 nm
Spektroskop w laboratorium nie rozróżniał tych dwóch widm ( nie można ich było oddzielić od siebie ) stąd można powiedzieć że siatka dyfrakcyjna miała rozdzielczość nie lepszą od takiej która by te widma oddzieliła.Zdolność rozdzielczą wyliczamy ze wzoru:
R = /
dla sodu = 589 a = 0,6 nm
R = 589 / 0.6 R = 98166
Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej jest nie lepsza niż R = 981,6
Porównanie otrzymanych wyników z teorią
Kolor widma |
fali -teoretyczne |
fali - empiryczne |
żółty |
587,3 |
583,4 57,1 |
czerwony I |
656,3 |
604,2 59,3 |
czerwony II |
768,2 |
638,4 59,6 |
Wnioski:
Jak widać z tabeli, prawie wszystkie fali teoretyczne mieszczą się w granicach przedziałów określonych przez błąd. Szczególnie blisko wartości teoretycznych znajdują się fale o kolorze widma żółtym i zielonym ( taką dokładność można tłumaczyć tym iż są to dosyć jasne prążki ). Jedyny wyjątek stanowi wynik dotyczący długości fali której widmo określone zostało jako czerwony II.Wartość teoretyczna wychodzi dosyć daleko poza przedział błędu ( można to tłumaczyć tym iż prążek czerwony II został błędnie określony podczas pomiaru ).