r=sqrt(a^2+bi^2) r cosΦ=a/r sinΦ=b/r Φ z=r(cosΦ+isinΦ), wykresy, sin 0, cos 1. liczę: r, cosΦ, sinΦ, Φ, z=r (cosΦx+isinΦ/x), ćwiartki, z=r^9(cos9Π/x+isin9Π/x)- mnożę,skracam, calosci. 1 r-nie

Znajdź punkt symetryczny do P(3,1,2) względem prostej L(3+t,1-t,2t): U=(1,-1,2)-wektor

|| czy (3,1,2) ∈L? || 3+t=3 -> t=0; 1-t=1 -> t=0; 2t=2 -> t=1

|| P nie należy do L || PP' prostopadłe do L

|| P' ∈ L stąd P'=(3+t,1-t,2t)

|| PP'=(t,-t,-2-2t) -> (3+t,1-t,2t)-(3,1,2)<->P'-P

|| U*PP'=(t,t,-4+4t)|| t+t-4+4t -> t=2/3 -podstawiam pod P'

|| P'=(11/3,1/3,4/3)

|| 3+x''/2=11/3->x''=13/3;1+y''/2=1/3 ->y''=1/3; z''=2/3=P”

Znajdź punkt symetryczny do P(1,2,7) względem płaszczyzny x+y-z=2: v=(1,1,-1)

|| (1,2,7)+t(1,1,-1) - równanie prostej

|| PP'=(1+t,2+t,7-t)=P' dla pewnego t ∈R--|

|| 1+t+2+t-7+t=2 -> t=2 - z płaszczyzny |

|| P'=(3,4,5) - podstawiam -------------------|

|| (x''+1)/2=3->x''=5; (y''+2)/2=4->y''=6; (z''+7)/2=5-> z''=3

|| 1,2,7 z punktu P ; po `=` z P' P''=(5,6,3)

Znajdź rzut (P') prostopadły punktu P(2,5,4)

na prostą L=(0,1,1)+t(1,1,0) U(1,1,0) <-wektor:

| L=(t,1+t,1) - równanie prostej

| PP'=(t,1+t,1)-(2,5,4)=(-2+t,-4+t,-3) <- L-P

| (L-P)*U= (-2+t,-4+t,-3)*(1,1,0)=(-2+t,-4+t,0)

| [(-2+t)+(-4+t)+0]=-6+2t -> t=3 ` , +'

| P'=(3,4,1) <-> (t,1+t,1) za t=3

Znajdź rzut P' prostopadły punktu P=(3,4,-1)

na płaszczyznę: x+y-z=2: L- prosta prostopadla

|| V=(1,1,-1) - wektor z plaszczyzny

|| L: (3,4,-1)+t(1,1,-1)=(3+t,4+t,-1-t) - pkt P+tV

|| (3+t)+(4+t)-(-1-t)=2 -> t= -2 ; 3,4,-1 - z P, ` , +'

|| `t' podstawiam pod równanie `L' || P'=(1,2,1)

Wyznaczyc pkt symetryczny do A(5,6,-5) względem płaszczyzny wyznaczonej przez punkty A, B, C. U-wektor

1. Zamieniam (x,y,z) z punktów na (a,b,c) i pisze równan.

a+b+c=d (+ lub -) i wyliczam a,b,c,.

2. Podstawiam pod: ax+by+cz=d <- a,b,c

axd+bdy+cdz=d | /d - to równanie płaszczyzny

ax+by+cz=1 ; wyliczam z tego wektor z `abc' końcowego

A+t(U)-rownanie prostej (a+t;b+t,c+t)

3. Licze A' ; X z wektora * a+t z równania prostej, ->y,z

A'=x(a+t)+y(b+t)+z(c+t)= d <- z równania płaszczyzny

Wyliczam `t' i podstawiam je pod równanie prostej (a+t;b+t,c+t)=(x,y,z)=A' ;

4. (x”+X z A)/2=X z A' , y” i z” -> (x”,y”,z”)=A”

Macierze: x->x^n 0->0 1->nx^n-1

Jak jest w zaleznosci od parametru `a' rozwiązać układ rownan to robimy macierz i liczymy:

1. Wyznacznik W i `a' rozbijam ze wzoru skróconego mnożenia i wyliczamy. 2. W ≠ 0 gdy w ≠ 0 3. W(x), W(y), W(z) -> x,y,z x=(W(x)/W)

4. W ­­≠ 0 i podstawiam np. a = -1 pod wzór z polecenia i licze na macierzach, aż wyjdzie 01λΠ/10λΠ

01-zmienne bazowe λΠ-parametr∈R - podstawiam to co wyszlo. y=xλ-yΠ=wyrazy wolne; i podstawiam np. a=1. To pierwsze nie ma rozwiązań a drugie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

---