Def. 5.1.1 (przestrzeń R3)

Przestrzenią R3 nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych;

.

Uwaga. Przestrzeń R3 będziemy interpretować geometrycznie na trzy sposoby, tzn. jako:

zbiór wszystkich punktów P = (x,y,z) w przestrzeni (rys. 5.1.1). W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy punktami i oznaczamy przez A, B, C, P, Q itd. Liczby x, y, z nazywamy wtedy współrzędnymi punktu P = (x,y,z).

zbiór wszystkich wektorów zaczepionych
w przestrzeni. Wektory te mają wspólny początek O = (0,0,0), a końce w punktach P = (x,y,z) (rys. 5.1.2). Wektor
nazywamy wektorem wodzącym punktu P. W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy wektorami i oznaczamy przez
itd. Wektory wodzące punktów będziemy oznaczali przez
itd. Liczby x, y, z nazywamy współrzędnymi wektora
.

zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez wektor swobody
(rys. 5.1.3) rozumiemy tutaj zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek, a zwrot oraz długość co wektor
. W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 także nazywamy wektorami.

Def. 5.1.2 (punkty współliniowe i współpłaszczyznowe)

Mówimy, że punkty A, B, C przestrzeni R3 są współliniowe, gdy istnieje prosta, do której należą te punkty

Mówimy, że punkty K, L, M, N przestrzeni R3 są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do której należą te punkty.

Def. 5.1.3 (wektory współliniowe i współpłaszczyznowe)

Mówimy, że wektory
są współliniowe, gdy istnieje prosta, w której zawarte są te wektory (rys. 5.1.6). Wektory współliniowe będziemy nazywać także wektorami równoległymi; piszemy wtedy
. Przyjmujemy, że wektor
jest równoległy do dowolnego wektora.

Mówimy, że wektory
są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, w której zawarte są te wektory. Przyjmujemy, że wektor
i dwa dowolne wektory są współpłaszczyznowe.

Def. 5.1.8 (układ współrzędnych w przestrzeni)

Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinające się w jednym punkcie 0, które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a płaszczyzny xOy, yOz, xOz płaszczyznami układu współrzędnych.

Def. 5.1.9 (orientacja układu współrzędnych w przestrzeni)

W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy, Oz układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego orientacje: układ prawoskrętny (rys. 5.1.8) i układ lewoskrętny (rys. 5.1.9).

Def. 5.1.11 (długość wektora)

Długość wektora
jest określona wzorem:

.

Fakt 5.1.12 (własności długości wektora)

Niech
będą wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Wtedy

1.
, przy czym

2.

3.

4.

Def. 5.2.1 (iloczyn skalarny)

Niech
będą dowolnymi wektorami w R3. Iloczyn skalarny wektorów
i
określamy wzorem:

,

gdzie ϕ jest miarą kąta między wektorami
i

Uwaga. Miara kąta między wektorami niezerowymi
i
wyraża się wzorem:

.

Rzut prostopadły wektora
na wektor
wyraża się wzorem:

.

Fakt 5.5.1 (równanie normalne płaszczyzny)

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodzącym
i prostopadłej do wektora
(rys. 5.5.1) ma postać:

,

gdzie
jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor
nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny.

W formie rozwiniętej równanie płaszczyzny π przyjmuje postać:

.

Powyższe zależności nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny.

Fakt 5.5.2 (równanie ogólne płaszczyzny)

Każde równanie postaci:

,

gdzie |A| + |B| + |C| > 0, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny
i przecina oś Oz w punkcie
, o ile C ≠ 0

Fakt 5.5.3 (równanie parametryczne płaszczyzny)

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodzącym
i rozpiętej na niewspółliniowych wektorach
i
(rys. 5.5.3) ma postać:

, gdzie s, t ∈ R

lub inaczej:

, gdzie s, t ∈ R.

W formie rozwiniętej równanie tej płaszczyzny przyjmuje postać:

, gdzie s, t ∈ R.

Powyższe zależności nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny.

Fakt 5.5.5 (równanie odcinkowe płaszczyzny)

Równanie płaszczyzny π odcinającej na osiach Ox, Oy, Oz układu współrzędnych odpowiednio odcinki (zorientowane) a, b, c ≠ 0 (rys. 5.5.5) ma postać:

.

Powyższą zależność nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.

Fakt 5.6.1 (równanie parametryczne prostej)

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodzącym
i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku
(rys. 5.6.1) ma postać:

, gdzie t ∈ R

lub inaczej:

, gdzie t ∈ R.

Powyższą zależność nazywamy równaniem parametrycznym prostej w postaci wektorowej.

Po rozpisaniu na współrzędne parametryczne prosta przyjmuje postać:

, gdzie t ∈ R.

Fakt 5.6.3 (równanie krawędziowe prostej)

Równanie prostej l, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn
,
(rys. 5.6.3), ma postać:

.

Ten sposób zapisu prostej nazywamy jej równaniem krawędziowym.

Uwaga. Wektor kierunkowy
prostej l ma postać
, gdzie
,
.

---