Macierz – zbór liczb rzeczywistych w postaci tablicy, w której wyróżniamy wiersze i kolumny – A_w*k = (a_ij)

Właności macierzy:

1. A*B ≠ B*A

2. A*B = 0 nie jest jednoznaczne z A=0 lub B=0

3. C*D = C*E nie jest jednoznaczne z D = E

Postać liniowego układu równań – Ax = b

Jednorodny układ równań – wszystkie elementy wektora b są równe 0 – nigdy nie jest sprzeczny, posiada rozwiązanie trywialne

Macierz uzupełniona układu – U = [A|b]

Zmienne bazowe – Tworzą podmacierz jednostkową w macierzy uzupełnionej, są zależne od zmiennych niebazowych

Wyznacznik macierzy – detA = ∑(-1)^k * a_1i1 * … * a_nin – ilość składników sumy: n!

Macierz nieosobliwa – detA ≠ 0

Właściwości wyznacznika:

1. Wyznacznik = 0 gdy dowolny wiersz/kolumna składa się z samych zer

2. Zmiana kolejnością dwóch wierszy/kolumn powoduje zmianę znaku wyznacznika

3. Wspólny czynnik dowolnego wiersza/kolumny można wyłączyć przed wyznacznik

4. Transponowanie i dodawanie wierszy/kolumn pomnożonych przez l. rz nie zmienia wartości wyznacznika

5. Wyznacznik = 0 gdy 2 wiersze/kolumny są proporcjonalne

6. det A^-1 = 1 / detA

7. det(A*B) = detA * detB

8. detA = detA^T

Minor M_ij – wyznacznik macierzy powstałej w wyniku usunięcia i-tego wiersza i j-tej kolumny

Dopełnienie algebraiczne – D_ij = (-1)^i+j * M_ij

Rozwinięcie Laplace’a – det A = a_i1*D_i1 + … + a_in*D_in

Macierz odwrotna – macierz A^-1 taka że: A * A^-1 = A^-1 * A = J gdzie detA ≠ 0 i A jest macierzą kwadratową

Własności macierzy odwrotnej:

1. detA * detA^-1 = 1

2. (A^-1)^T = (A^T)^-1

3. (A^-1)^-1 = A

4. (A * B)^-1 = B^-1 * A^-1

Macierz dołączona – A^d – transponowana macierz dopełnień algebraicznych

Odwracanie macierzy – A^-1 = 1 / detA * A^d

Twierdzenie Couchy’ego – (A * B)^-1 = B^-1 * A^-1

Rząd macierzy – rzA_m*n ≤ min(m,n)

1. maksymalna ilość jej liniowo niezależnych wierszy/kolumn

2. stopień najwyższej nieosobliwej podmacierzy (detA ≠ 0 => rzA = n oraz detA = 0 => rzA > n)

3. stopień macierzy jednostkowej w postaci bazowej

Własności rzędu:

1. Rząd macierzy zerowej wynosi 0

2. Rząd macierzy jednostkowej równa się stopniowi tej macierzy

3. Rząd macierzy nie ulega zmianie podczas transponowania, usunięcia wiersza/kolumny samych zer, usunięcia jednego z dwóch proporcjonalnych wierszy/kolumn, wykonania operacji elementarnych

Ciało – zbiór zawierający więcej niż 1 element w którym wykonalne są 4 działania (+,-,*,/)

Przestrzeń liniowa – Zbiór V nad ciałem liczb R na którego elementach zdefiniowane są działania w których wyniku nie możemy wyjść poza ten zbiór. Wektory S z zbiorze V tworzą bazę przestrzeni liniowej gdy są liniowo niezależne oraz rozpinają przestrzeń V (rzV = n w Rⁿ).

Wektory – elementy zbioru przestrzeni liniowej

Skalary – współczynniki α wektorów

Kombinacja liniowa – v = α₁v₁ + … + α_nv_n

Wektory liniowo zależne – isnieją takie α_1, α₂ … nie wszystkie jednocześnie równe 0 takie że:
α₁v₁ + … + α_nv_n = e (e – element neutralny dodawania – 0)

Wektory liniowo niezależne – wszystkie α równe 0

Rozwiązania bazowe – podstawianie 0 za zmienne niebazowe – ilość rozwiązań bazowych $\left( \frac{n}{k} \right)$ (k – ilość zmiennych bazowych)

Przekształcenie liniowe – funkcja (forma liniowa) określona na przestrzeniach liniowych V->W spełniająca warunki:

1. f(x+y) = f(x)+f(y)

2. f(αv) = αf(v)

Forma dwuliniowa – odwzorowanie T: VxV -> R które jest formą liniową ze względu na x przy ustalonym y i ze względu na y przy ustalonym x.

Forma kwadratowa – f(x,x) = x^TAx – forma dwuliniowa w której x = y

Dodatnia określoność – dla każdego x w Rⁿ : x^TAx > 0 za wyjątkiem wektora zerowego

Ujemna określoność – dla każdego x w Rⁿ : x^TAx < 0 za wyjątkiem wektora zerowego

Półokreśloność – istnieje wektor różny od wektora zerowego dla którego forma przyjmuje wartość 0

Twierdzenie Sylvestra:

1. Dodatnia określoność – wyznaczniki macierzy głównych > 0

2. Ujemna określoność – wyznaczniki podmacierzy stopnia parzystego > 0, stopnia nieparzystego < 0

Postać kanoniczna formy kwadratowej – postać diagonalna macierzy tej formy

Układ Cramera – układ w postaci Ax = b dla którego ilość niewiadomych jest równa ilości równań i detA ≠ 0

Wzory Cramera – x_n = detA_n / detA gdzie A_n to macierz powstała w wyniku zastąpienia n kolumny wektorem b

Twierdzenie Kroneckera–Capellego – układ równań jest oznaczony gdy rzA = rzU = n, nieoznaczony gdy rzA=rzU < n, sprzeczny gdy rzA ≠ rzU, gdzie n to ilość niewiadomych

Liczba zespolona – liczba z=a+bi gdzie a,b є R oraz i = $\sqrt{- 1}$, zbiór liczb zespolonych oznaczamy C

Liczba sprzężona – $\overset{\overline{}}{z} = a - bi$

Moduł liczby zespolonej – $\left| \mathbf{z} \right|\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}}$

Argument liczy zespolonej – arg(z) = φ gdzie $\cos\left( \varphi \right) = \frac{a}{\left| z \right|}$ oraz $\sin\left( \varphi \right) = \frac{b}{\left| z \right|}$

Argument główny – Arg(z) = arg(z) dla 0 <= arg(z) <= 2π

Postać trygonometryczna – z =  |z|(cosφ+ i*sinφ)

Wzór de Moivre’a – zⁿ = |z|ⁿ(cosnφ+i*sinnφ),  n ∈ N

Pierwiastek z liczby zespolonej – $z_{k} = \sqrt[n]{\left| z \right|}\left( \cos\frac{\varphi + \text{kπ}}{n} + i*\sin\frac{\varphi + \text{kπ}}{n} \right)$

Twierdzenie Bezout – Liczba c jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) jest podzielny przez (x-c).

Twierdzenie programowania liniowego – jeżeli zadanie ma rozwiązanie optymalne (maximum lub minimum) to jest nim co najmniej jedno rozwiązanie bazowe