Funkcje

1. Pokazać, że złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościową.

2. Niech f: R²*R² dana będzie wzorem: f(x, y) = (x + y, 2x - y). a) Sprawdzić, czy f jest injekcją; b) Sprawdzić, czy f jest surjekcją; c) Jeśli to możliwe, znaleźć odwzorowanie odwrotne.

3. Udowodnić, że jeśli f: X*Y, A, B * X, to a) f(A*B) = f(A) * f(B); b) f(A*B) * f(A) * f(B); c) f(A\B) * f(A) \ f(B); d) A*f ^-1(f(A)).

4. Niech f: X*Y. Pokazać, że następujące warunki są równoważne: a) f jest injekcją; b) *x*X *A*X: (x*A * f(x) * f(A); c) *A*X f ^-1(f(A)) = A. d) *A, B*X: f(A\B) = f(A) \ f(B).

5. Niech f: X*X będzie injekcją, a g: X*X spełnia warunek: f *g = f. Wykaż, że g = id_X.

6. Niech f: X*X będzie surjekcja, a a g: X*X spełnia warunek g * f = f. Wykaż, że g = id_X.

7. Niech f: X*Y i g: Y*Z będą injekcjami. Wykaz, że ich złożenie także jest injekcją.

8. Niech f: X*Y i g: Y*Z będą takimi odwzorowaniami, że g * f jest injekcją, a f jest surjekcją. Wykaż, że g też jest injekcją.

9. Znaleźć przykład do poprzedniego zadania, wykazujący, że założenie surjektywności f jest konieczne.

10. Wykazać, że jeśli g * f jest surjekcją, a g jest injekcją, to i f jest surjekcją.

11. Podać przykład zbioru X i odwzorowania f: X*X, które jest injekcja, ale nie jest surjekcją.

12. Podać przykład zbioru X i odwzorowania f: X*X, które jest surjekcja, ale nie jest injekcją.

13. Funkcja f: X*X spełnia warunek: f * f = f. Wykaż, że f jest injekcją wtedy i tylko

wtedy, gdy f jest surjekcją.

---