CIĄGI – teoria oraz zadania

monotonicznosc

a_n + 1 − a_n > 0     ciag rosnacy

a_n + 1 − a_n = 0     ciag staly

a_n + 1 − a_n < 0     ciag malejacy

Zadanie 1 Zbadaj monotoniczność ciągu:

1. a_n = 2n + 1

2. $a_{n} = \frac{2n + 3}{n + 1}\ $

ciag arytmetyczny

a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_n

n ∈ N₊

a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃ = …

$$\boxed{a_{n + 1} - a_{n} = r}$$

r − roznica ciagu arytmetycznego

2,  4,  6,  8,  10,  …

dowolny wyraz ciagu

$$\boxed{a_{n} = a_{1} + \left( n - 1 \right)r}$$

suma

$$\boxed{S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}*n}$$

Zadanie 2 Wyznacz ciąg arytmetyczny a_n mając dane a₂ = 4, a₄ = 10 oraz oblicz sumę pięciu pierwszych wyrazów S₅.

Zadanie 3 Oblicz sumę tych wszystkich liczb naturalnych <100, które nie są podzielne przez 3.

Zadanie 4 Ciąg arytmetyczny 1 + 3 + 5 + … + x = 81.

ciag geometryczny

a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_n

$$\frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{a_{3}}{a_{2}} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$$

iloraz ciagu geometrycznego

$$\boxed{q = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}$$

$$\boxed{a_{n} = a_{1}*q^{n - 1}}$$

suma

$$\boxed{S_{n} = a_{1}\frac{1 - q^{n}}{1 - q}}$$

Zadanie 5 Wyznacz ciąg geometryczny, w którym a₅ = 16, a₂ = 2.

Zadanie 6 Wyznacz x i y.

$$\underset{\begin{matrix} ciag \\ \text{arytmetyczny} \\ \end{matrix}}{}8$$

$$x,\ \underset{\begin{matrix} ciag \\ \text{geometryczny} \\ \end{matrix}}{}$$

Zadanie 7 Oblicz trzeci wyraz ciągu 2^x₁, 2^x₂, 2^x₃ wiedząc, że jest to ciąg geometryczny i x₁ + x₂ + … + x₁₀ = 110 i x₇ = 14

Zadanie 8 Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz iloraz ciągu.

Zadanie 9 Iloczyn piątego i jedenastego wyrazu ciągu geometrycznego jest równy 4. Oblicz iloczyn 15 początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 10 Wyznacz ciąg mając dany wzór rekurencyjny.

$$\left\{ \begin{matrix} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Zadanie 11 Wyznacz ciąg mając dany wzór ogólny na sumę.

$$S_{n} = \frac{2^{n}}{n + 1}$$

Zadanie 12 Uzasadnij, że jest to ciąg geometryczny.

$$\sqrt{2} + \sqrt{3},\ - 1,\ \sqrt{3} - \sqrt{2}$$

Zadanie 13 Wyznacz x, jeżeli lewa strona równania jest sumą ciągu arytmetycznego.

3 + 9 + 15 + … + x = 363.

Zadanie 14 Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, z których reszta z dzielenia przez 4 jest równa 1.

Zadanie 15 Sprawdzić czy jeżeli trzy liczby a,  b,  c tworzą ciąg geometryczny to ich logarytmy tworzą ciąg arytmetyczny.

szereg geometryczny nieskonczony

a₁ + a₂ + a₃ + …

$$\boxed{S_{n} = a_{1}\frac{1 - q^{n}}{1 - q}}$$

$$\operatorname{}\frac{1 - q^{n}}{1 - q}$$

$$\operatorname{}a_{1}\frac{1 - \overset{0}{\overbrace{q^{n}}}}{1 - q} = a_{1}\frac{1}{1 - q} = \frac{a_{1}}{1 - q}$$

suma szeregu geometrycznego zbieznego

$$\boxed{S = \frac{a_{1}}{1 - q}}$$

iloraz ciagu geometrycznego

$$\boxed{q = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}$$

dowolny wyraz ciagu geometrycznego

$$\boxed{a_{n} = a_{1}q^{n - 1}}$$

Zadanie 16 Zamień na ułamek zwykły liczbę 0, (3).

Zadanie 17 Zamień na ułamek zwykły liczbę 2, (12).

Zadanie 18 Oblicz x w podanym równaniu.

$$x - \frac{1}{2x} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{4x} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{1}{8x} + \ldots = 1$$

x ≠ 0

Zadanie 19 Suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 12, a suma kwadratów jego wyrazów jest równa 48. Wyznacz dwa pierwsze wyrazy tego ciągu.

Zadanie 20 Dany jest ciąg trójkątów równobocznych, takich że bok następnego trójkąta jest wysokością poprzedniego. Oblicz sumę pól.

Zadanie 21 Nieskończony ciąg geometryczny jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym $\left\{ \begin{matrix} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = a_{n}*\operatorname{}{(k - 2)} \\ \end{matrix} \right.\ \ $. Wyznacz wartość parametru k, dla których istnieje suma ciągu geometrycznego a_n.

Zadanie 22 Zamień na ułamek zwykły liczbę 3, 2(35).

Zadanie 23 Znajdź x w podanym równaniu.

$$15\left( 1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \ldots \right) = 8\left( 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}} + \ldots \right)$$

Zadanie 24 Obliczyć sumę pól kół, gdy dane jest a.

P₁ + P₂ + P₃ + …

Zadanie 25 Oblicz granice ciągów w nieskończoności.

1. $\operatorname{}\frac{2n^{2} + 2n + 1}{n^{2} + 3n + 1}$

2. $\operatorname{}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$

3. $\operatorname{}{\sqrt{\left( n + 2 \right)(n + 8)} - n}$