TRYGONOMETRIA – teoria oraz zadania

podstawowe tozsamosci trygonometryczne

x + x = 1

$$\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \operatorname{tg}x = \frac{1}{\operatorname{ctg}x}$$

$$\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

sin2x = 2sinxcosx

$$\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$

cos2x = x − x

$$\cos x = \operatorname{}\frac{x}{2} - \operatorname{s}\frac{x}{2}$$

$$t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$$

$$\sin x = \frac{2t}{1 + t^{2}}$$

$$\cos{x =}\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$$

π = 180

	0	$$\frac{\mathbf{\pi}}{\mathbf{6}}$$	$$\frac{\mathbf{\pi}}{\mathbf{4}}$$	$$\frac{\mathbf{\pi}}{\mathbf{3}}$$	$$\frac{\mathbf{\pi}}{\mathbf{2}}$$
α	0	30	45	60	90
sinα	0	$$\frac{1}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	1
cosα	1	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{1}{2}$$	0
tgα	0	$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$	1	$$\sqrt{3}$$	X
ctgα	X	$$\sqrt{3}$$	1	$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$	0

$$\sin\alpha = \frac{y}{r}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\cos\alpha = \frac{x}{r}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\operatorname{ctg}\alpha = \frac{x}{y}$$

$$nieparzystosc\left\{ \begin{matrix} \sin{\left( - \alpha \right) =} - \sin\alpha \\ \operatorname{tg}\left( - \alpha \right) = - \operatorname{tg}\alpha \\ \operatorname{ctg}\left( - \alpha \right) = - \operatorname{ctg}\alpha \\ \end{matrix} \right.\ $$

parzystosc    cos(−α) = cosα

wzory redukcyjne

rozwiazania podstawowych rownan trygonometrycznych

k ∈ C

sinx = a

x₁ = x₀ + 2kπ

x₂ = π − x₀ + 2kπ

cosx = a

x₁ = x₀ + 2kπ

x₂ = −x₀ + 2kπ

tgx = a

x = x₀ + kπ

ctgx = a

x = x₀ + kπ

sinx = −a

x₁ = π + x₀ + 2kπ

x₂ = 2π − x₀ + 2kπ

cosx = −a

x₁ = π − x₀ + 2kπ

x₂ = π + x₀ + 2kπ

tgx = −a

x = −x₀ + kπ

ctgx = −a

x = π − x₀ + kπ

Zadanie 1 Oblicz $\cos\frac{x}{2}$, jeżeli $\cos x = - \frac{2}{3}\ \ \ (x \in \pi,\ 2\pi)$.

Zadanie 2 Oblicz równanie $\sqrt{3}\cos x + \sin x = 1$.

Zadanie 3 Wykaż prawdziwość tożsamości:

1. $\sin{2x} = \frac{2}{\operatorname{tg}x + \operatorname{ctg}x}$

2. $\frac{\cos x - \cos{3x}}{\sin{3x} - \sin x} = \operatorname{tg}{2x}$

Zadanie 4 Wyznacz zbiór wartości y = x + x.

Zadanie 5 Oblicz $\frac{\sin x}{\operatorname{}x + 3\operatorname{}x}$, jeżeli tgx = 2.
Zadanie 6 Dana jest funkcja określona wzorem $f\left( x \right) = \frac{\operatorname{s}x - |\sin{x|}}{\sin x}\ dla\ x \in \left( 0,\ \pi \right) \cup (\pi,\ 2\pi)$.

1. Naszkicuj wykres funkcji f.

2. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.

Zadanie 7 Sporządź wykres funkcji y = |sin|x||.

Zadanie 8 Sporządź wykres funkcji f(x) = |cosx| + cosx.

Zadanie 9 Naszkicuj wykres funkcji y = sin2x w przedziale ⟨−2π, 2π⟩.

Zadanie 10 Naszkicuj wykres funkcji $y = \frac{|\sin{2x}|}{\sin x}$ w przedziale ⟨−2π, 2π⟩ i zapisz, dla których liczb z tego przedziału spełniona jest nierówność $\frac{|\sin{2x}|}{\sin{2x}} < 0$.

Zadanie 11 Wykaż następującą tożsamość.

$$\frac{\sin{2x}}{1 + \cos{2x}}*\frac{\cos x}{1 + \cos x} = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$$