Analiza i Identyfikacja Sygnałów – Projekt

Pasek Aleksander
grupa 5
AiR, Rok III

Zestaw danych nr. 46

Tematem zadania jest identyfikacja obiektu dwuwejściowego przedstawionego schematycznie na rysunku. Transmitancje Gu(s) i Gz(s) opisują obiekty RLC lub RC.

Dane obiektów RLC i RC:
Ru = 90 [ohm]; Rz = 1k [ohm]

Dane do zadania w formie pliku .mat:
u – wejście obiektu w postaci szumu o rozkładzie równomiernym

y – wyjście obiektu

dt– czas próbkowania
ys– wyjście obiektu odizolowanego od zakłóceń.

1. Identyfikacja parametrów modelu na podstawie odpowiedzi skokowej

Do wyznaczenia transmitancji obiektu (bez zakłóceń) wykorzystuje się właściwości odpowiedzi skokowej. Największe wychylenia (amplitudy oscylacji ymax i ymin) od stanu ustalonego oraz różnica czasów w jakich zostają osiągnięte T.

Dla odpowiedzi przedstawionej na wykresie parametry wynoszą:

y1 = 0.702
y2 = 0.5031
T=0.00462

$C = \frac{\text{RC}}{\text{Ru}}$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \omega = \sqrt{{\omega_{0}}^{2}}\backslash nL = \frac{\text{LC}}{C}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\zeta = \frac{100}{2*\omega_{0}}$

Po podstawieniu otrzymanych parametrów do powyższych wzorów przy wykorzystaniu ogólnego wzoru na transmitancję operatorowa układu otrzymujemy:

$$\text{GS}\left( s \right) = \frac{1}{5.475*10^{- 7}\ s^{2} + \ 0.0001646\ s\ + \ 1}\ $$

Wykorzystując ogólną postać transmitancji operatorowej układu, wiedząc, że R=90[ohm], otrzymujemy:

C =  1.8290 * 10⁻⁶[F] ∖ nL = 0.2994[H]

Zależności te wykorzystywane będą również w późniejszych obliczeniach.

Rysunek 3 – Porównanie skokowej odpowiedzi wzorcowej do otrzymanej

1. Identyfikacja parametrów modelu na podstawie odpowiedzi impulsowej

Odpowiedź impulsową wyznacza się jako pochodną odpowiedzi skokowej. Następnie wyznacza krzywą Nyquista poprzez przekształcenie Fouriera odpowiedzi impulsowej. Na podstawie punktów przecięć krzywej z osiami układu współrzędnych wyznacza się współczynniki transmitancji. Aby łatwiej znaleźć interesujące punkty z charakterystyki amplitudowo-fazowej część rzeczywistą i odbicie względem osi OX części urojonej prezentuje się na jednym wykresie. Zaznaczone są na nim punkty charakterystyczne.

Rysunek 4 - Charakterystyka Nyquista układu

Rysunek 5 - Wykres części rzeczywistej i urojonej z charakterystyki Nyquista od liczby próbki

Odczytuję numery próbek dla których wykresy przecinają się, oraz dla Re=0:

Np1=1966
Np2=2167

Przy tak odczytanych danych możemy wyznaczyć transmitancję, używając poniższych zależności:

ω_{n = 2 * π * np}

$$GI(s) = \frac{1}{5.394*10^{- 7}\ s^{2} + \ 0.0001432\ s\ + \ 1}\ $$

Analogicznie do poprzedniego podpunktu obliczam parametry układu:

C = 1, 5912 * 10⁻⁶[F] ∖ nL = 0.3390[H]

1. Identyfikacja parametrów modelu obiektu SISO korzystając z funkcji gęstości widmowych mocy własnej i wzajemnej.

Identyfikacja tą metodą polega na wykorzystaniu transformat Fouriera sygnałów wyjściowego i wejściowego, wyznaczeniu gęstości widmowej mocy sygnału wejściowego oraz gęstości widmowej mocy wzajemnej wejścia i wyjścia, w celu wyznaczenia charakterystyki amplitudowo-fazowej i odczytania z niej charakterystycznych wartości częstotliwości: ω2 dla Re = 0 oraz ω1 dla Re = - Im.

Rysunek 7 - Wykres części rzeczywistej i urojonej z charakterystyki Nyquista od liczby próbki

Np₁ = 191 ∖ nNp₂ = 214

Analogicznie do przekształceń z poprzedniego punktu otrzymuję:

$$GI(s) = \frac{1}{5.531*10^{- 7}\ s^{2} + \ 0.0001695\ s\ + \ 1}$$

C = 1, 5912 * 10⁻⁶[F] ∖ nL = 0.3390[H]

1. Identyfikacja parametrów modelu obiektu MISO korzystając z funkcji gęstości widmowych mocy własnej i wzajemnej

Podobnie jak poprzednio identyfikacja tą metodą polega na wykorzystaniu transformat Fouriera sygnałów wyjściowego i wejściowego, wyznaczeniu gęstości widmowej mocy sygnałów wejściowego i zakłócającego oraz gęstości widmowej mocy wzajemnej osobno wejść (do obiektu i zakłócającego) i wyjścia, w celu wyznaczenia charakterystyki amplitudowo-fazowej modelu obiektu oraz zakłóceń i odczytania z niej charakterystycznych wartości częstotliwości: ω2 dla Re = 0 oraz ω1 dla Re = - Im

W przypadku modelu obiektu oraz ω1 dla Re = - Im w przypadku modelu zakłóceń (ponieważ temat zakłada model zakłóceń jako obiekt pierwszego rzędu).

Transmitancja obiektu:

$$Go(s) = \frac{1}{5.33*10^{- 7}\ s^{2} + \ 0.0001707\ s\ + \ 1}$$

C = 1, 8966 * 10⁻⁶[F] ∖ nL = 0.2810[H]

Transmitancja zakłócenia:

$$Gz(s) = \frac{1}{0.001592\ s\ + \ 1}$$

C = 1.5915 * 10⁻⁶[F]

1. Identyfikacja metodami parametrycznymi (System Identification Toolbox)

1. Dla układu SISO

Przy użyciu środowiska MatLab można wyznaczyć transmitancje obiektów w oparciu o modele parametryczne:

ARX (AutoRegressive with eXogenous input),
IV (ARX with Instrumental Variables),
ARMAX (AutoRegressive Moving Average with eXogenous input),
OE (Output Error),
BJ (Box-Jenkins)

Rysunek 5 - Otrzymane pokrycia modeli

Podsumowując, wyniki identyfikacji nie są zadowalające ze względu na brak odwzorowania zachowania układu rzeczywistego. Model ARX, którego wadą samą w sobie jest to, że dopasowywane się również do zakłóceń, powoduje, że jest kompletnie nieprzydatny w tym przykładzie. Nieuwzględnienie zakłóceń jako składowej sygnału wyjściowego potęguje dodatkowo brak dokładności. Pozostałe modele po za „ujawnieniem” oscylacyjnego charakteru obiektu nie wniosły więcej zalet. Wskaźniki jakości identyfikacji przedstawione przez środowisko MatLab również wskazują na brak dokładności. (przedstawione na wykresie autokorelacje wyjści oraz korelacje wzajemne wejścia i wyjścia dla każdego z modeli). Jak widać syganł wyjściowy jest mocno skorelowany w całym przedziale we wszystkich przypadkach oprócz ARX, który z kolei nie mieści się w zakładanym przedziale korelacji wzajemnej.

Rysunek 11 - Odpowiedz skokowa obiektu z modelu bj22221

Na podstawie modelu o największym pokryciu (bj22221) wyliczam transmitancję jak w punkcie 1:

$$\text{Gbj}\left( s \right) = \frac{1}{5.435*10^{- 7}\ s^{2} + \ 0.000106\ s\ + \ 1}$$

1. Dla obiektu MISO

Rysunek 12- Otrzymane pokrycia modeli MISO

Dla najbardziej dokładnego modelu (oe221) wyznaczam transmitancję:

$$\text{Gbj}\left( s \right) = \frac{1}{5.425*10^{- 7}\ s^{2} + \ 0.000196\ s\ + \ 1}$$

Dla zadanego obiektu nie udało mi się zidentyfikować obiektu przy użyciu modelu ARX, jednakże pozostałe modele wykazały wysoką dokładność pokrycia. Modele parametryczne MISO o bardziej złożonych strukturach OE oraz BJ pozwoliły na uzyskanie satysfakcjonujących wyników, gdyż rozgraniczają w największym stopniu transmitancję obiektu od transmitancji zakłóceń