A8: Omówić narzędzia i metody rozwiązywania zadania sterowania optymalnego

Na początek to samo, co w A7 – wylosuje się tylko jedno z pytań; myślę, że zacząć trzeba tak samo:

Wprowadzenie:

Sterowanie optymalne, zadania sterowania optymalnego:

Narzędzia i metody rozwiązywania:

1. Zastosowanie eksponenty macierzowej do wyznaczenia sterowania optymalnego dla liniowych układów sterowania:

Mając:

gdzie A – macierz stanu, B – macierz sterowania; (dla równania: y(t) = Cx(t), C – macierz wyjściowa)

To:

Wówczas (1):

Wówczas (2):

A wyznaczanie eksponenty macierzowej wygląda następująco:

Przykładowe rozwiązanie:

1. Sprowadzanie problemu optymalnego sterowania do zadania rachunku wariacyjnego:

Za Wikipedią:

Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla których dany funkcjonał przyjmuje wartości ekstremalne. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.

Za Wikipedią:

Równania Eulera-Lagrange'a – podstawowe równanie rachunku wariacyjnego, którego rozwiązaniami są funkcje, dla których pewne wyrażenie dane całką oznaczoną jest stacjonarne.

Dla funkcjonału:

rozwiązaniem równania Eulera-Lagrange'a:

są funkcje x(t), dla których S jest stacjonarne. To znaczy, że dla niewielkich odchyleń x(t), S zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby S przyjmowało dla x(t) ekstremum.

1. Mnożniki funkcyjne Lagrange’a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym:

Dla każdego, kto tylko omiótł to wzrokiem – ostatnie zdanie mówi, po co to wszystko.

A ponadto warto wiedzieć:

Dla układów liniowych o rzeczywistych wartościach własnych sterowanie minimalnoczasowe jest typu przekaźnikowego (bang-bang) i może zmieniać znak nie więcej niż n-1 razy dla układu n-tego rzędu.

Pominięto zagadnienia z kursu, które na pewno były na ćwiczeniach, a które nie są związane z tematem A8:

• linearyzacja nieliniowych modeli obiektów sterowania – czyli wykorzystanie wzoru Taylora,

• badanie obiektu sterowania o parametrach rozłożonych – wykorzystanie m.in. dyskretyzacji zmiennej przestrzennej,

• badanie stabilności nieliniowych układów sterowania – druga i pierwsza metoda Lapunowa,

• metoda łączenia rozwiązań równań stanu na podprzedziałach stałości i liniowości sterowania,

• badanie dominacji sterowania cyklicznego za pomocą formy macierzowej π (to może podchodzi pod temat, ale jest to tak absolutnie niezrozumiałe i niewytłumaczalne, że lepiej o tym nie wspominać),

• badanie sterowalności liniowych układów sterowania (w tym sterowalności selektywnej),

• badanie obserwowalności liniowych układów sterowania,

• rozkład kanoniczny Kalmana liniowych układów sterowania.