RODZAJE SZEREGÓW

1. Szczegółowy

10,15,20,25,30

1. Rozdzielczy punktowy – wypunktowane warianty cechy

X1	Osoby - ni
2	5
3	10
4	15
5	10
$$\sum_{}^{}14$$	40 -N

1. Rozdzielczy z podziałami klasowymi - wartość trzeba domknąć

I rodzaj

Wys. wypłat	Liczba osób - ni
<1200-1400)	10
<1400-1600)	14
<1600-1800)	16
<1800-2000)	10
	50 -N

II rodzaj - cecha skokowa

Wys. wypłat	Liczba osób - ni
1-5	10
6-10	14
11-15	16
16-20	10
	50 -N

Wskaźnik punktowy k=$\sqrt{\mathbf{N}}$ k=5,48 k=6↑ k=5↓

Rozpiętość klasy $\mathbf{i =}\frac{\mathbf{X}_{\mathbf{\max}}\mathbf{-}\mathbf{X}_{\mathbf{m}\mathbf{\text{in}}}}{\mathbf{k}}$

II MIARY ŚREDNIE

1.Analiza struktury i zbiorowości

- wskaźnik natężenia $\mathbf{W}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{m}}$ n- liczebność 1 zbiorowości

m- liczebność 2 zbiorowości

- wskaźnik struktury $\mathbf{W}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{N}}$ ·100% n_i – liczebność badanej zbiorowości

0≤W_i ≤ 1 (100%) ∑W_i = 1 (100%) N – liczebność całej zbiorowości

- wskaźnik podobieństw struktury

∖t               W_p=∑_min(W_1i,W_2i) W_1i,-wskaźnik struktury dla 1 zbioru

0≤W_p ≤ 1 (100%) W_2i – wskaźnik struktury dla 2 zbioru

Im bliżej 1, tym większe podobieństwo struktur

2.Miary średnie

a) klasyczne miary średnie

- średnia arytmetyczna – suma wszystkich wartości badanej cechy, podzielona przez ich liczbę

Dla szeregów prostych $\overset{\overline{}}{\mathbf{X}}$=$\frac{\mathbf{\sum x}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{N}}$

Dla szeregu rozdzielczego punktowego $\overset{\overline{}}{\mathbf{X}}$=$\frac{\mathbf{\sum x}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{N}}$

Dla szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi $\overset{\overline{}}{\mathbf{X}}$=$\frac{\mathbf{\sum}\dot{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{N}}$ $\dot{x} - srodek\ klasowy$

- średnia harmoniczna

- średnia geometryczna

b) pozycyjne miary średnie

- wartość modalna (dominanta) $\mathbf{D}_{\mathbf{o}}\mathbf{=}\mathbf{X}_{\mathbf{s}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{h}_{\mathbf{s}}\left( \mathbf{n}_{\mathbf{s}}\mathbf{-}\mathbf{n}_{\mathbf{- 1}} \right)}{\left( \mathbf{n}_{\mathbf{s}}\mathbf{-}\mathbf{n}_{\mathbf{- 1}} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{n}_{\mathbf{s}}\mathbf{-}\mathbf{n}_{\mathbf{+ 1}} \right)}$ n_s − liczebnosc przedzialu

n₋₁ − liczebnosc poprzedz.prze n₊₁ − liczebnosc nastepn.przed

Aby ją obliczyć rozpiętość – czyli h_s , sąsiadujących bezpośrednio przedziałów muszą mieć taką samą.

- kwartale ( nie wykorzystamy, gdy są otwarte przedziały …do 10, a gdy są skrajne wielkości 1,2,3,40 – wtedy tylko Me

$\mathbf{N}_{\mathbf{Q}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{k}}$, $\mathbf{Q}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{X}_{\mathbf{s}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{h}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{n}_{\mathbf{s}}}\left( \frac{\mathbf{N}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{\text{Misk}}_{\mathbf{- 1}} \right)$ X_s −  dolna gr.przedzialu Me

$\mathbf{N}_{\mathbf{Q}\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\mathbf{N}}{\mathbf{k}}$, $\mathbf{Q}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{X}_{\mathbf{s}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{h}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{n}_{\mathbf{s}}}\left( \frac{\mathbf{3}\mathbf{N}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{\text{Misk}}_{\mathbf{- 1}} \right)$ h_s − rozpietosc przedzialu Me

$\mathbf{N}_{\mathbf{\text{me}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{2}}$ inaczej Q₂ n_s−liczebnosc przedzialu Me

Misk₋₁ − liczebnosc skumulowana przed przedz.Me

$$M_{e} = \mathbf{X}_{\mathbf{s}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{h}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{n}_{\mathbf{s}}}\left( \frac{\mathbf{N}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{\text{Misk}}_{\mathbf{- 1}} \right)\mathbf{\text{\ lub}}\text{\ \ M}_{e} = \mathbf{X}_{\mathbf{s}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{h}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{n}_{\mathbf{s}}}\left( \mathbf{N}_{\mathbf{\text{me}}}\mathbf{-}\mathbf{\text{Misk}}_{\mathbf{- 1}} \right)\mathbf{\ }$$

5,7,9,11,13,14,16 (N=7 – nieparzysta) 5,7,9,11,13,14,16,18 ( N=8 – parzysta)

Me = 11 Me = $\frac{11 + 13}{2} = 12$

Q₁=7 Q₁=$\frac{7 + 9}{2} = 8$

Q₃=14 Q₃=$\frac{14 + 16}{2} = 15$

3.Miary zróżnicowania

a) miary bezwzględne

- klasyczne miary zmienności

- odchylenia przeciętne d_x

$\mathbf{d}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\sum}\left| \mathbf{x}_{\mathbf{i -}}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right|}{\mathbf{N}}\mathbf{- \ }szereg\ szczegolowy$

$\mathbf{d}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\sum}\left| \mathbf{x}_{\mathbf{i -}}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right|\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{N}}\mathbf{-}\text{szereg\ rozdzielczy\ punktowy}$

$$\mathbf{d}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\sum}\left| {\dot{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i -}}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right|\mathbf{n}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{N}}\mathbf{-}\text{sze}reg\ rozdzielczy\ z\ przedzialami\ klasowymi$$

- wariacje

- odchylenia standardowe S_x

$$\mathbf{S}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{\sum(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{\ }}{\mathbf{N}}}\mathbf{-}szereg\ szczegolowy$$

$$\mathbf{S}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{\sum(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{n}_{\mathbf{i}}\mathbf{\ }}{\mathbf{N}}}\text{szereg\ rodzielczy\ punktowy}$$

$$\mathbf{S}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{\sum(}\dot{\mathbf{x}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{n}_{\mathbf{i}}\mathbf{\ }}{\mathbf{N}}}\mathbf{\ }szereg\ rozdzielczy\ z\ przedzialami\ klasowymi$$

- pozycyjne miary zmienności

- rozstęp

- odchylenie ćwiartkowe Q_x

$$\mathbf{Q}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{Q}_{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{Q}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\ }szereg\ szczegolowy - gdy\ nie\ mozna\ policzyc\ \overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{\ }uwzgl.sie\ jednostki\ miedzy\ Q_{1},\ a\ Q_{3}\text{\ reszta\ jest\ odcinana}$$

b) miary względne – służą do porównania 2 lub więcej zbiorowości

- klasyczne współczynniki zmienności

- współczynnik zmienności oparty na odchyleniu przeciętnym V_dx

$$\mathbf{V}_{\mathbf{\text{dx}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}_{\mathbf{x}}}{\mathbf{x}}\mathbf{\ 100\%}$$

- współczynnik zmienności oparty na odchyleniu standardowym V_sx

$$\mathbf{V}_{\mathbf{\text{sx}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{S}_{\mathbf{x}}}{\mathbf{x}}\mathbf{100\%}$$

- pozycyjne miary zróżnicowania

- współczynnik zmienności oparty na odchyleniu ćwiartkowym V_Qx

V_Qx=$\frac{\mathbf{Q}_{\mathbf{x}}}{\mathbf{M}_{\mathbf{e}}}\mathbf{100\%}$

Asymetryczny

Asymetria prawostronna D_o$\leq M_{e} \leq \overset{\overline{}}{x}$

Asymetria lewostronna D_o$\geq M_{e} \geq \overset{\overline{}}{x}$

4. Miary asymetrii

- Wskaźnik skośności

- współczynnik skośności $\mathbf{W}_{\mathbf{s}}\mathbf{=}\frac{\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{D}_{\mathbf{o}}}{\mathbf{S}_{\mathbf{x}}}\text{\ \ }$, <-1,1> mieści się w tym przedziale

| |- mówi o sile asymetrii( 0,2 słaba;0,5-0,6 umiarko.;0,9-silna)

„-„ – asymetria lewostronna „+”- asymetria prawostronna

- klasyczny współczynnik asymetrii $\mathbf{W}_{\mathbf{Q}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{Q}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{Q}_{\mathbf{3}}\mathbf{- 2}\mathbf{M}_{\mathbf{e}}}{\mathbf{Q}_{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{Q}_{\mathbf{1}}}$ <-1,1> interpretacja

- pozycyjny współczynnik asymetrii- liczymy wtedy, gdy nie możemy obliczyć$\text{\ \ \ \ }\overset{\overline{}}{x}$

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSENA

$\mathbf{r}_{\mathbf{\text{xy}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\sum(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)(}\mathbf{y}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}\mathbf{)}}{\sqrt{\mathbf{\sum}}\mathbf{(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{\sum(}\mathbf{y}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}}$ r_xy ∈ < − 1, 1>

|r_xy| −  mowi o sile 1 − mocna; -1 słaba

r_xy<0, 2 − wartosc wspol ponizej 0, 2 − brak zaleznosci liniowej

0,2-0,4 – słaba

0,4-0,7 – umiarkowana

0,7-0,9 – znaczna silna

• 0,9 bardzo silna

= 1 – funkcyjna

LINIA REGRESJI – przedstawia zależność między dwoma czynnikami

$$\hat{\mathbf{y}}\mathbf{= ax + b}$$

$\mathbf{a =}\frac{\mathbf{\sum(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)(}\mathbf{y}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}\mathbf{)}}{\mathbf{\sum}\mathbf{(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}}$ - współczynnik kierunkowy regresji

$\mathbf{b =}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}\mathbf{- a}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}$ – wyraz wolny

$\hat{\mathbf{y}}$- zmienna zależna (zmienna objaśniana)

X – zmienna niezależna (zmienna objaśniająca)

WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI

$\mathbf{R}^{2} = \frac{\sum({\hat{y}}_{i} - \overset{\overline{}}{y})^{2}}{\sum(y_{1} - \overset{\overline{}}{y})^{2}}$ R² ∈ <0, 1 > , gdzie 1 lepsze dopasowanie,  0 − slabsze,  6 − 7 umiarkow, 8 − 9 dobre

Im punkt znajduje się bliżej prostej tym R² zbliża się do 1

$$\hat{\mathbf{y}}\mathbf{\ }wartosc\ teoretyczna$$

$$\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}\mathbf{-}wartosc\ srednia$$

y − wartosc rzeczywista,  empiryczna

ŚREDNI BŁĄD SZACUNKU

$S_{(y)} = \sqrt{\frac{\sum(y_{i} - {\hat{y}}_{i})^{2}}{n - k}}$ n – liczba parametrów badanych

K – liczba parametrów w regresji

O ile przeciętnie teoretyczne wartości zmiennej zależnej odchylają się od empirycznych wartości.

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH

- momentu na 31,12.. – średnia chronologiczna ${\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}}_{\mathbf{\text{ch}}}\mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{y}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{y}_{\mathbf{3\ldots}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{n - 1}}$

- okresów ( w okresie ) – średnia arytmetyczna $\mathbf{y}_{\mathbf{\min}}\mathbf{\leq}\frac{{\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}}_{\mathbf{\text{ch}}}}{\mathbf{y}}\mathbf{\leq}\mathbf{y}_{\mathbf{\max}}$

- przyrost absolutny y=y_t−y_t* y_t*- okres/czas porównania –stały rok albo zmienny

- przyrost względny $\frac{\mathbf{y}^{\mathbf{t}}\mathbf{-}\mathbf{y}^{\mathbf{t*}}}{\mathbf{y}^{\mathbf{t*}}}\mathbf{100\%\ \ \ \ \ }$ - ile % wyższy/niższy jest poziom zjawiska w okresie t w stosunku do danego okresu

- indeksy indywidualne dynamiki – iloraz badanego zjawiska z 2 okresów/momentów t₁ i t₀

$\mathbf{i}_{\mathbf{t}\mathbf{1/t}\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}_{\mathbf{t}\mathbf{1}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{t}\mathbf{0}}}$ y_t1 – moment badany $\mathbf{i}_{\mathbf{1/0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{0}}}$

Y_t0 – moment porównań

-indeksy indywidualne łańcuchowe – podstawowa zmienna – okres/moment poprzedzający badany okres

- indeksy indywidualne jednopodstawowe – zawsze stała podstawa porównań np. 2000 rok = 1

-średnie tempo zmian – średnia geometryczna z indeksów łańcuchowych

$\mathbf{G =}\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{i}_{\mathbf{1/0}}\mathbf{}\mathbf{i}_{\mathbf{2/1}}\mathbf{\ldots}\mathbf{i}_{\mathbf{n/n - 1\ }}}\text{\ \ \ \ od\ wyniku\ \ }\mathbf{\ \ G - 1}\left( \mathbf{100\%} \right) = dopiero\ daje\ nam \uparrow lub \downarrow$

-poziom rzeczywistych zjawisk $\mathbf{G =}\sqrt[\mathbf{n}]{\frac{\mathbf{y}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{0}}}}$

AGREGATOWE INDEKSY ZESPOŁOWE –stosowane w przypadku zjawisk złożonych (niejednorodnych)

- agregatowy indeks wartości $\mathbf{I}_{\mathbf{w}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\sum}\mathbf{p}_{\mathbf{1}}\mathbf{q}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\sum}\mathbf{p}_{\mathbf{0}}\mathbf{q}_{\mathbf{0}}}$

P₁ – ceny w okresie badanym

P_{0 –} ceny w okresie porównań

Q_{1 –} ilości produktów w badanym okresie

Q₀ - ilości produktów w okresie porównań

- agregatowy indeks ilości –o ile się zmienia wartość ilości przy stałych cenach

Laspeyresa – stała cena z okresu podstawowego$\text{\ \ \ \ }\mathbf{L}\mathbf{I}_{\mathbf{q}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\sum}\mathbf{p}_{\mathbf{0}}\mathbf{q}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\sum}\mathbf{p}_{\mathbf{0}}\mathbf{q}_{\mathbf{0}}}$

Paschego – stała cena z okresu badanego $\mathbf{\text{PI}}_{\mathbf{q}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\sum}\mathbf{p}_{\mathbf{1}}\mathbf{q}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\sum}\mathbf{p}_{\mathbf{1}}\mathbf{q}_{\mathbf{0}}}$

- agregatowy indeks cen – o ile zmieni się cena, gdy zmieni się ilość

Laspeyresa – ilość stała w okresie podstawowym $\mathbf{L}\mathbf{I}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\sum}\mathbf{p}_{\mathbf{1}}\mathbf{q}_{\mathbf{10}}}{\mathbf{\sum}\mathbf{p}_{\mathbf{0}}\mathbf{q}_{\mathbf{0}}}$

Paschego – ilość stała w okresie badanym $\mathbf{P}\mathbf{I}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\sum}\mathbf{p}_{\mathbf{1}}\mathbf{q}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\sum}\mathbf{p}_{\mathbf{0}}\mathbf{q}_{\mathbf{1}}}$

Formuła Paschego - Indeksy ilości/ceny informuje o ile zmieniłaby się wartość całego agregatu produkcji w porównywanych okresach, na skutek zmian ilości/cen składników agregatu, gdyby ceny/ilości produktów stałe na poziomie z okresu podanego.

Formuła Laspeyresa - ……………………………………………, gdyby ceny/ilości produktów były stałe na poziomie okresu podstawowego.

WYODRĘBNIENIE TRENDU $\hat{\mathbf{y}}\mathbf{= a + b t}$

$\mathbf{b =}\frac{\mathbf{\sum(}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}\mathbf{)(}\mathbf{t}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{t)}}}{\mathbf{\sum(}\mathbf{t}_{\mathbf{i}}\mathbf{- t}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}}$

$\mathbf{a =}\overset{\overline{}}{\mathbf{y}}\mathbf{- bt}$

$$\hat{\mathbf{y}} - \ szacunkowy\ poziom\ badanego\ zjawiska$$

t − zmienna czasowa

a − wyraz wolny(wartosc teoretyczna)

b − wspolczynnik kierunkowe lini trendu − mowi o przecietnych zmianach w okresie czasu