METODY ILOŚCIOWE W FINANSACH I RACHUNKOWOŚCI

Wykład 1 14.02.2012

Egzamin:

• Test jednokrotny wybór

• Bez punktów ujemnych

• Ok. 10 zadań / 60 min

• Jest 5 odpowiedzi, w tym żadna z powyższych

• Nie sprawdza obliczeń oddajemy tylko test

• Trzeba uzyskać przeszło 50% czyli ok. 6p

• Nie przepisuje ocen z ćwiczeń, wymagane zaliczenie

• Pod koniec egzaminu daje 2 minuty na naniesienie odpowiedzi nie przyjmuje skreśleń w tabeli

• Można mieć na egzaminie:

  • Kartki + przyrządy

  • Wzory 1 strona A4 napisana ręcznie, bez objaśnień i schematów

  • Kalkulator naukowy (najlepiej nosić na zajęcia)

• Nie będzie „0”

Literatura:

1. Hull – „Kontrakty terminowe i opcje – wprowadzenie”

2. Veron, Veron -„Inżynieria finansowa”

3. Otto - ~~ teoria ryzyka w ubezpiecz eniach majątkowych

4. Wieteska – „Zbiór zadań z matematycznej teorii ryzyka ubezpieczeniowego”

5. Louis – „Wielki Short – mechanizm zagłady” – pozycja o ostatnim kryzysie jako ciekawostka

Konsultacje: www.kms.ue.katowice.pl pokój 104P

Czwartek A - 9:30

Poniedziałek B - 15:30

Program przedmiotu:

• Model dwumianowy

• Model Blecka – Showersa

  • Ryzyko kredytowe

Krótka sprzedaż – gra na spadkach

Model dwumianowy – wycena instrumentów pochodnych

Założenia:

1. Na rynku notowany (emitowany) jest instrument bazowy (akcja)

Instrument pochodny – cena zależy od wartości instrumentu bazowego

Jednookresowy model dwumianowy:

S_1u = S_o*U

Dziś (S_o)

S_1d=S_o*D

S_o – znana cena akcji

U,D (up, down) – jednookresowe czynniki oprocentowujące (wyznaczane są na podstawie danych historycznych w procedurze kalibracji modelu – przybliżenia, wielkości te pewnie leżą w przedziale)

Dzisiaj cena 100, to jutro może się równać tylko 107 lub tylko 95. Stosowany jest również model wielomianowy (da się wtedy założyć więcej możliwych wartości).

Stosuje się model dwumianowy dzieląc go na podokresy – wielookresowy model dwumianowy

1. Na rynku notowany jest instrument pozbawiony ryzyka

K_R = K_O × (1 + r)

1. Instrumenty są nieskończenie podzielne

2. Brak kosztów transakcyjnych

3. Rynek jest płynny (ktoś chce sprzedać inny kupić itd.)

4. Dopuszczona jest krótka sprzedaż – forma kredytu/pożyczki

5. Działania inwestorów nie zaburzają dynamiki cen akcji

6. Na rynku nie występuje arbitraż – mówimy, że na rynku występuje arbitraż jeżeli można osiągnąć zysk bez ryzyka (ponadprzecętny zysk, wyższy niż oferowany przez instrument wolny od ryzyka)

Gracze – arbitrażyści, nastaweni są tylko na ponadprzeciętny zysk

Arbitraż na różnicach kursowych – najprostszy, szybko znika

Skutki braku arbitrażu:

Zaczynamy od weryfikacji warunku 1

Warunek 1 D<1+r<U

• Gdy nie jest spełniona ta nierówność nie ma możliwości arbitrażu

• Trzeba brać pod uwagę kalibrację czyli to że D,U leżą w przedziale, a nie są dane

• Testowanie hipotezy dla warunku (przyjmowanie poziomu ufności)

• Szacowanie, estymowanie

• Liczy się skala - ilość możliwych do przeprowadzenia transakcji

1. Inne – założenia natury matematycznej (technicznej)

Wycena instrumentu pochodnego

• Ważna data wykonania instrumentu (tzw. instrumenty europejskie)

U O_1u D O_1d

$$O_{o} = \frac{1}{1 + r} \times \left( p^{*} \times O_{1u} + q^{*} \times O_{1d} \right)$$

$p^{*} = \frac{1 + r - d}{u - d}$ ∈(0, 1)

$q^{*} = \frac{u - (1 + r)}{u - d} = 1 - p^{*}$ ∈(0, 1)

Jeżeli p^*, q^* należą do zbioru od 0 do 1 to nie ma arbitrażu

Wykład 2 28.02.2012

Opcja to instrument dający jej posiadaczowi prawo (tylko prawo, nie zobowiązania; mogę ale nie muszę) do skorzystania z określonych w regulaminie przywilejów

Wystawca – musi na żądanie posiadacza opcji wywiązać się z opcji

Podział opcji:

Ze względu na moment wykonania (datę)

• Europejskie (prawo wykonania tylko w określonym momencie czasu – dacie wykonania = dacie wygaśnięcia)

• Amerykańskie (w dowolnym momencie czasu, do daty wygaśnięcia, w momencie kiedy funkcjonują rynki)

• Inne (w określonych dniach, momentach…)

Istnieją opcje które nie wygasają, pomimo jakiś transakcji – mogą być wykonywane wielokrotnie

Podział II

• Waniliowe - najprostsze

• Egzotyczne

  • Zależne od historii (na maximum, średnią,…, barierowe,)

  • Złożone – instrumentem bazowym koszyk akcji

Opcje europejskie

• Call (kupna)

• Put (sprzedaży)

Opcja kupna:

Daje jej posiadaczowi prawo do zakupu (od wystawcy opcji) instrumentu bazowego po ściśle określonej cenie, zwaną ceną wykonania, w ściśle określonym momencie czasu, zwanym datą wykonania.

Profil wypłaty:

S_t-K dla S_t>K

Payoff = = max(S_t-K,0)

1. dla S_t<K

czynnik równoważący strony kontraktu – premia opcyjna (wycena opcji)

Opcja sprzedaży:

Daje jej posiadaczowi prawo do sprzedaży (wystawcy opcji) instrumentu bazowego po ściśle określonej cenie, zwaną ceną wykonania, w ściśle określonym momencie czasu, zwanym datą wykonania.

Profil wypłaty:

K-S_t dla S_t<K

Payoff = = max(K-S_t,0)

1. dla S_t>=K

WYCENA OPCJI CALL:

Cena akcji (instrumentu bazowego) 100

u=1,2

d=0,8

r=01

1. sprawdzenie warunku braku arbitrażu

d<1+r<u przy dwóch instrumentach

0,8<1,1<1,2 rynek wolny od arbitrażu

1. 3 warunek opcja typu call o cenie wykonania 105 payff=max(S_t-105,0)

Scenariusz dla akcji: (model jednookresowy)

120 O_1u=15 (opłaca się korzystać z przysługującego prawa)

100

80 O_1d=0 (nie opłaca się korzystać)

$O_{o} = \frac{1}{1 + r} \times \left( p^{*} \times O_{1u} + q^{*} \times O_{1d} \right)$ – (w momencie dziś, czyli 100)

$p^{*} = \frac{1 + r - d}{u - d}$ ∈(0, 1) $q^{*} = \frac{u - (1 + r)}{u - d} = 1 - p^{*}$ ∈(0, 1)

Dla nas p=0,75; q=0,25

$$O_{o} = \frac{1}{1,1} \times \left( 0,75 \times 15 + 0,25 \times 0 \right) = \mathbf{10,227}$$

Jedyna cena przy której na rynku trójskładnikowym nie będzie możliwości arbitrażu!!

TESTowanie:

Czy rynkowa cena różni się istotnie od ceny uzyskanej!

Skonstruuj strategię arbitrażową.

Rynek wycenia akcję – 14

- 3 instrumenty (opcja, akcja, instr. Wolny od ryzyka)

O:Wystawiono 1 opcję (sprzedano), zakupiono n akcji, zainwestowanie k₀ w instrument wolny od ryzyka, wartość początkowa równa 0 – zajęto krótką pozycje (nie można zająć dla tego modelu pozycji długiej)

O: -1*14+n*100+k=0

1u: -1*15+n*120+k*(1+0,1) >0

1d: -1*0+n*80+k*(1+0,1)>0

Rozwiązanie układu równań (defakto 3 niewiadome, ustalone akcje)

Z pierwszego równania wyliczamy k

k=14-100n

-15+120n+15,4-110n>0 =>10n>-0,4=>n>-0,04

80n+15,4-110n>0 =>-30n>-15,4=>n<0,513

n (-0,04;0,513) wybieramy n=0,1 (kto nam sprzeda 0,1 akcji?)

wtedy:

k=14-10=4

taki portfel zagwarantuje że zawsze zagwarantowany zysk

1u: 1,4 (zysk minimalna wartość) 14

1d:12,4 (zysk maxymalna) 124

Zwiększenie ekspozycji 10-krotnie

Wyprowadzenie wzoru:

p S_1u=S₀u

S₀

q S_1d=S₀d

Jak uzasadnić, że można arbitraż przy: 1+r<d<u

Wartość akcji rośnie szybciej – inwestycja

W instrumencie wolnym od ryzyka zadłużyć

Wyprowadzenie w koncepcji replikacji:

Nie wiemy ile musimy zainwestować w portfel X₀

X₀=∆S₀+(X₀-S₀)

Akcja instr. Wolny

X_1u=∆S_1u+(X₀-S₀)*(1+r) = O_1u

X_1d=∆S_1d+(X₀-S₀)*(1+r) = O_1d

Układ równań nie znana liczba akcji w portfelu, i wartość początkowa portfela

$$= \frac{O_{1u} - O_{1d}}{S_{1u} - S_{1d}}$$

$$O_{0} = X_{0} = \frac{1}{1 + r}(\frac{1 + r - d}{u - d} \times O_{1u} + \frac{u - (1 + r)}{u - d} \times O_{1d})$$

P*i q* nie mogąbyć ujemne

P*,q* >0

P*+q*=1 p*,q* ∈ (0,1) – prawdopodobieństwa

P* to nie to samo co p – prawdopodobieństwo ścieżki up

$O_{0} = \frac{1}{1 + r}E^{*}(O_{1})$ - wartość instrumentu pochodnego jest równa zdyskontowanej wartości oczekiwanej przyszłej ceny instrumentu pochodnego w świecie neutralnym wobec ryzyka

- brak premi za ryzyko, więc neutralna

C=E(x) + premia za ryzyko

$O_{0} = E^{*}(\frac{1}{1 + r}O_{1})$ - wielookresowe przy zmiennej stopie procentowej w różnych okresach

Rynek zupełny – można zreplikować każdy portfel

Wykład 3 13.03.2012

Wycena portfeli replikujących

Hedging dynamiczny – wada wymaga ciągłej (okresowej) restrukturyzacji portfela, a zatem występują większe koszty – my zakładamy że nie ma kosztów transakcyjnych więc nie ma problemu

144 O_2uu=39

120; O_1u=26,591; (0,813;-70,969)

100 O₀=18,130; (0,665;-48,37) 96 O_2du=0

80 O_1d=0; (0;0)

64 O_2dd=0

Payoff = max(S_t,105,0)

(l.a.; K)

$$_{1u} = \frac{39 - 0}{144 - 96}\sim\sim\ 0,813$$

K_1u = 26, 591 − 0, 813 * 120 ∼ ∼ − 70, 969

$$_{1d} = \frac{0 - 0}{96 - 64} = 0$$

K_1d = 0 − 0 * 80 = 0

$$_{0} = \frac{26,591 - 0}{120 - 80}\sim\sim 0,665$$

K₀ = 18, 130 − 0, 665 * 100 ∼ ∼ − 48, 37

Sprawdzenie:

X – wartość portfela

r – dane na poprzednim wykładzie 0,1

X_2uu = 0, 813 * 144 + (−70,969) * 1, 1 = 39, 006 ∼ 39

X_2ud = 0, 813 * 96 + (−70,969) * 1, 1 = −0, 018 ∼ 0

Portfel utworzony w scenariuszu 1u replikuje

X_1u = 0, 665 * 120 + (−48,37) * 1, 1 = 26, 593 ∼ 26, 593

X_1d = 0, 665 * 80 + (−48,37) * 1, 1 = −0, 007 ∼ 0

Tak skonstruowany portfel w 0 replikuje

Restrukturyzacja portfela – dokupywanie, sprzedawanie akcji – nasz portfel nie potrzebuje zastrzyku finansowego z zewnątrz, jest portfelem samofinansującym się

Sprawdzenie czy portfel się samofinansuje, w przypadku gdy koszty transakcyjne nie istnieją:

K_1u =   − 48, 37 * 1, 1 + (0,665−0,813) * 120 =   − 70, 967  ∼ 70, 961

K_1d =   − 48, 37 * 1, 1 + (0,665−0) * 80 =   − 0, 007 ∼ 0

Gdy koszty transakcyjne są istotne stosuje się inne modele

Instrumenty egzotyczne (typu europejskiego)

Payoff = max(maxS_i;-90,0); i=0,1,2

144 O_2uu= (144,-90)= 54

120 O_1u=

100 O₀=18,130; (0,665;-48,37) 96 O_2du=(100,-90)=10; O_2ud=(120’-90)=30

80 O_1d=0; (0;0)

64 O_2dd= (100,-90) = 10

$$O_{1u} = X_{1u} = \frac{1}{1,1}(0,75 \times 54 + 0,25 \times 30)$$

$$O_{1d} = X_{1d} = \frac{1}{1,1}\left( 0,75 \times 10 + 0,25 \times 10 \right) = \frac{1}{1,1}*10 - obligacje$$

W sytuacji gdy nie ma niepewności model dwumianowy sprowadza się do matematyki finansowej – tu dyskonto

Dokończyć liczyć do O₀

Można brać pod uwagę dane historyczne i wtedy wybieramy z większej liczby

Payoff=max(śrS_i,-95)

144 O_2uu= 26,333

120 O_1u=

100 O₀= 96 O_2du=0; O_2ud=10,333

80 O_1d=

64 O_2dd= 0

Można też brać średnią z historycznych

Opcje barierowe

S t

Payoff=max(S_t-90)*1(istnieje S_i<95)

1. Istnieje takie i że S_i<95 – bariera aktywująca

1 przyjmuje wartość 1 gdy spełnione i 0 gdy nie spełnione – funkcja charakteryzująca

144 O_2uu= opcja nie aktywna, czyli bez wartościowa 0

120 O_1u=

100 O₀= 96 O_2du=6 O_2ud=0

80 O_1d=

64 O_2dd= 0 – opcja aktywna ale ujemna

Bariera down and in

Payoff=max(S_t-90)*(1-1(istnieje S_i<95)) bariera down and out – bariera wyjścia

144 O_2uu= 54

120 O_1u=

100 O₀= 96 O_2du=0-opcja się dezaktywowała; O_2ud=6

80 O_1d=

64 O_2dd= 0

Mogą być bariery okresowe

Wykład 4 27.03.2012

Model z dywidendą

S₀=100

u=1,2

d=0,8

r=0,1

120 O_1u=

100 O₀=

80 O_1d=

modele dywidendy:

1. Dywidenda proporcjonalna – wartość dywidendy stanowi odsetek wartości akcji (u nas 10%); dywidenda zmienia wartość akcji – odejmujemy wartość wyliczonej dywidendy; w tym przypadku drzewko akcji rekombinuje

129,6 O_2uu=69,6

D=(120-0,1*120)=108; O_1u=53,455

100 O₀= 86,4 O_2ud=O_2du=26,4

D=72; O_1d=18

57,6 O_2dd=0

Wycena akcji call

Payoff= max{S_t;-60,0)

O_1u=1/1,1*(0,75*69,6+0,25*26,4)

Do zanotowania/nie na drzewko 0

∆_1u= (69,6-26,4)/(129,6-86,4)=1

K_1u=53,455 – 1 *108 = -54,545

∆_1d=(26,4-0)/(86,4-57,6)=0,917

K_1d=18-0,917*72= - 48,024

∆₀=(53,455-18)/(108-72) = 0,985

K₀=40,538-0,985*100 =-57,962

Sprawdzenie własności replikacji w węźle 1_u

X_1u=0,985*108+(-57,962)*1,1=42,622 – portfel nie replikuje (coś jest nie tak)

Sprawdzanie własności samofinansowania

K_1u=-57,962*1,1+(0,985-1)*108 = -65,378 – portfel nie samofinansuje

X_1u=∆₀S_1u+(X₀-∆₀S₀)(1+r)=O_1u

X_1d=∆₀S_1d+(X₀-∆₀S₀)(1+r)=O_1d

Uwzględnienie dywidendy

X_1u=∆₀S_1u+(X₀-∆₀S₀)(1+r)+∆₀D_1u=O_1u

X_1d=∆₀S_1d+(X₀-∆₀S₀)(1+r)+∆₀D_1d=O_1d

∆₀=(O_1u-O_1d)/[(S_1u+D_1u)-(S_1d+D_1d)]

A więc nasza delta 0

∆₀=0,886

K₀=40,538-0,886*100=-48,062

Sprawdzenie

X_1u=0,886*108+(-48,062)*1,1+0,886*12=53,452 – w scenariuszu u replikuje

X_1d=0,886*72+(-48,062)*1,1+0,886*8=18,012 – w scenariuszu d replikuje

Sprawdzenie samofinansowania

K_1u=-48,062*1,1+(0,886-1)*108+0,886*12=-54,548

K_1d=-48,062*1,1+(0,886-0,917)*72+0,886*8=-48,012

Portfel się samofinansuje – błędy są spowodowane zaokrągleniami.

Dywidenda kwotowa – wartość dywidendy nie zależy od scenariusza 10jp

Drzewko akcji nie rekombinuje

132 (O_2uu=72

110

88 (O_2ud=28

100

84 (O_2du=24

70

56 (O_2dd=0)

Opcje typu … Posiadacz opcji może decydować czy ma to być opcja call czy put

W okresie 1 musi zdecydować czy wybiera

Call = Payoff=max(S_T;-140,0)

Put = Payoff=max(140-S_T;0)

Na opcję call

144 O_2uu=4

120 O_1u=2,727

100 O₀= 96 O_2ud=O_2du=0

80 O_1d=0

64 O_2dd=0

Na opcję put

144 O_2uu=0

120 O_1u=10

100 O₀= 96 O_2ud=O_2du=44

80 O_1d=47,273

64 O_2dd=76

Scenariusz UP – wybieramy opcję PUT (maksymalizacja zysku)

Scenariusz DOWN – wybieramy opcję PUT

Tworzymy 3 drzewko nanosząc optymalne wartości – drzewko dla opcji nie musi rekombinować może się zdażyć że w każdym scenariuszu wybieramy inną opcję

120 O_1u=10

100 O₀=

80 O_1d=47,273

Decydent wybiera w momencie 1

Opcja 1

144 O_2uu=48

120 O_1u=33,864

100 O₀= 96 O_2ud=O_2du=5

80 O_1d=3,309

64 O_2dd=0

O_1u=1/1,1*(0,75*48+0,25*5) = 33,864

O_1d=1/1,1*(0,75*5+),25*0) = 3,309

Opcja 2

144 O_2uu=0

120 O_1u= 1,591

100 O₀= 96 O_2ud=O_2du=7

80 O_1d=18,864

64 O_2dd=62

Drzewko 3

144 O_2uu=48

120 O_1u= 33,864

100 O₀= 96 O_2ud=5; O_2du=7

80 O_1d=18,864

64 O_2dd=62

Opcja amerykańska

S₀=100

u=1,2

d=0,8

r=0,1

payoff = max(120-S_T;0) put

144 O*_2uu=-24 / O_2uu=0

120 O_1u=5,455

100 O₀*=20 96 O*_2ud=O*_2du=24 / O_2ud=O_2du=0

80 O*_1d=40

64 O*_2dd=56 / O_2dd=0

Każdy moment może być momentem wykonania, okres trzeci jest momentem wygaśnięcia.

O*_1u=0

O_1u=1/1,1(0,75*0+0,25*24)=5,455

O*_1d=24

O_1u=1/1,1(0,75*24+0,25*56)=29,091

O*₀=20

O₀=1/1,1(0,75*5,455+0,25*40)=12,810

Gdy drzewko większe -> można wyznaczyć granicę przy której warto wykonać (trend, linie poniżej której bądź też powyżej układają się wyniki wykonania)

Wykład 5 17.04.2012

Kalibracja modelu

O₀=1/(1+r)(p*O_1u+q*O_1d)

0 1/2T T (1m)

Model B-S

S_t=S₀e^{(mi-1/2σ2)t+σWt}

(mi-1/2σ²)t+σW_t

W_t – proces Wiener’a (niepewność)

S_t=S₀e^{(mi-1/2σ2)(t+∆t)+σWt+∆t}

R_t=(S_t+∆t-s_t)/S_t==(S_t+∆t)/S_t – 1= e^{(mi-1/2σ2)∆t+σ(Wt+∆t-Wt)} – 1

R_t=ln((S_t+∆t-s_t)/S_t)= (mi-1/2σ2)∆t+σ(Wt+∆t-Wt)

R_t: N ((mi-1/2σ2)∆t;σ$\sqrt{t}$) -rozkład normalny; wartość oczekiwana; odchylenie

O₀=1/(1+r)E*O₁

S_t*=S₀e^{(r-1/2σ2)t+σWt}

r - stopa wolna od ryzyka

σ^²=(S²_{ln(st+∆t)/∆t)})/∆t

^-szacowanie

Metoda kalibracji – parametryzacji Cox, Ross i Rubinstein (CRR)

p=

wykład 08.09