11.Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych

Definicja

Załóżmy, że (X, d) jest przestrzenią metryczną i A ⊂ X.

Mówimy, że A jest zbiorem zwartym dla dowolnego ciągu (x_n) elementów tego zbioru jeśli istnieje podciąg (x_kn)_n ∈ N zbieżny do pewnego x ∈ A.

Jeżeli A jest zwarty to A jest domknięty i ograniczony.

Własności

1.Tw. Weierstrassa o osiąganiu kresów

Załóżmy, że (X, d) jest przestrzenią metryczną zwartą oraz f :  X → R jest ciągła z (X, d) w (R,d_e).

Wówczas f jest ograniczona oraz osiąga swoje kresy na zbiorze X, tj. istnieją takie punkty x₁,x₂ ∈ X, że

f(x₁ )=inf{f(x ):x ∈ X}

f(x₂ )=sup{f(x ):x ∈ X}

Inaczej

∀_x ∈ X f(x₁)≤f(x)≤f(x₂)

2. Tw. Weierstrassa o jednostajnej ciągłości.

Załóżmy, że (X, d) jest przestrzenią metryczną zwartą zaś (Y, 𝜚) jest przestrzenią metryczną. Niech  f :  X → Y, wtedy

• f jest ciągła

• f jest jednostajnie ciągła