Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK

PODSTAWOWE WŠASNO‘CI FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

zadania domowe

Zadanie 1. Wyznaczy¢ dziedzin¦ naturaln¡ funkcji:

1) f(x) = x

2

− 3x + 2

1/2

+ 3 − 2x − x

2

−1/2

,

2) f(x) =

s

log

1
3



x −

2

x



,

3) f(x) =

r

2

(2x−3)(x+1)

−

1

2

,

4) f(x) = plog

2

|x − 3|

,

5) f(x) = log

(x

2

−3)

(x

2

+ 2x + 3)

,

6) f(x) = log

10−x

2

arctgx

,

7) f(x)

log

0,3

(x − 1)

√

−x

2

+ 2x + 9

,

8) f(x) = arcsin 3

x+1

1
2

,

9) f(x) = log 1 − log x

2

− 5x + 6



,

10) f(x) = log

0,5

arcsin(3x

2

− 4x)

,

11) f(x) = log

 3x − 1

2x + 1



,

12) f(x) = arcsin(x

2

− 2x)

13) f(x) =

px(x − 2)

x − 1

+ log(

x
2

+1

)(3 + 2x − x

2

)

,

14) f(x) =

r

sin x −

1

2

,

15) f(x) = arcsin(ln 2x).

Zadanie 2. Wyznaczy¢ dziedzin¦ i zbiór warto±ci funkcji:

1) f(x) = |2x − 3|,

2) f(x) = 1 + |log

2

x|

,

3) f(x) = 3 − 2| cos 2x|,

4) f(x) =

√

x

3

− 4x

2

+ x

,

5) f(x) =

x − 5

x

2

− 4x − 5

,

6) f(x) =

2x + 1

3x − 2

,

7) f(x) =

√

x

2

− 4

.

Zadanie 3. Które z podanych funkcji s¡ parzyste, a które nieparzyste?

1) f(x) = x

3

+ 5

,

2) f(x) = 3x

2

sin x

,

3) f(x) = x

4

+ 2x

2

+ 2

,

4) f(x) = 2

x

+ 2

−x

+ x

2

cos x

,

5) f(x) = 2x

1

|x|

,

6) f(x) =



x +

√

x

2

+ 1

,

7) f(x) = 2 cos

2

x + 3

,

8) f(x) = log



x +

√

1 + x

2

.

Zadanie 4. Które funkcje s¡ rosn¡ce, a które malej¡ce?

1) f(x) = 2x

2

+ x

dla x ∈ −4, −

1
4



,

2) f(x) = 2 sin 2x + 1,

3) f(x) = 3tg

2

x − 1

dla x ∈ 0,

π

2

,

4) f(x) = 3

x

+ 2

.

Zadanie 5. Dane s¡ funkcje:

1) f(x) = x

2

,

g(x) =

√

1 − 2x,

h(x) = sin x,

2) f(x) = −x

2

+ 2x − 6,

g(x) = log x,

h(x) = 2

x+1

.

Wyznaczy¢ nast¦puj¡ce funkcje zªo»one (o ile istniej¡): f ◦ f, g ◦ h, h ◦ f, f ◦ g, g ◦ f, f ◦ h,
h ◦ g, g ◦ g, h ◦ h, f ◦ f ◦ f, g ◦ h ◦ f, g ◦ g ◦ f, g ◦ f ◦ f, f ◦ f ◦ h.

1

Zadanie 6. Rozªo»y¢ na funkcje skªadowe funkcje zªo»one w kolejno±ci skªadania:

1) f(x) =

√

sin x

,

2) f(x) = e

tgx

,

3) f(x) = cos

2

√

x + 1

,

4) f(x) = arcctg

3

psin [ln(tg

5

x)]

.

Zadanie 7. Zbada¢ ró»nowarto±ciowo±¢ funkcji:

1) f(x) = x

2

,

2) f(x) = |x

2

− 6|

,

3) f(x) = x

2

+ 3x − 4

,

4) f(x) =

1 − 2x

x − 3

,

5) f(x) = 3x − 5,

6) f(x) = 2

x+3

,

7) f(x) = x

3

+ 3

,

8) f(x) = log

3

(x

2

+ 5x)

,

9) f(x) = sin 2x,

10) f(x) = log(x

2

+ 1)

,

11) f(x) = cos(x − 1) + 2,

12) f(x) = ptg(2x + 3).

Zadanie 8. Obliczy¢:

1) arcsin



−

√

3

2



,

2) arccos 0,

3) arcsin(−1),

4) arcsin

1
2

− 4 arcctg1 + 2 arccos(−1)

,

5) arctg(−1) + arcctg(−

√

3

3

) − 2 arcsin

√

3

2

, 6) arcctg(−1) + arcsin

√

2

2

− 4 arctg

√

3

,

7) tg



arcctg(−

√

3) − 4 arccos

√

3

2

,

8) sin 3 arctg

√

3 + 2 arccos

1
2

,

9) arctg tg

5π

6

− arcctg ctg(−

4π

3

)

,

10) 3 arcsin sin(−

13π

5

)

− 2 arccos cos

17π

7

,

11) sin (arctg (cos (tg (arcsin 0))))

12)

1

π

· arctg1 − arccos

√

2

2

+ arcsin



−

√

3

2

.

Zadanie 9. Wyznaczy¢ dziedzin¦, zbiór warto±ci funkcji oraz funkcj¦ odwrotn¡ (o ile ist-

nieje) do funkcji:

1) f(x) = 3

x+2

,

2) f(x) = 1 − log

3

(1 − 2

x

)

,

3) f(x) =

x + 2

1 − x

,

4) f(x) = plog

3

(2x − 3) + 2

,

5) f(x) = log

2

(2x + 3)

,

6) f(x) = 1 + 2 arcsin(1 − x),

7) f(x) =

√

x

2

− 6x + 9

,

8) f(x) =

1

arccos

x+3

2

.

Zadanie 10. Rozwi¡za¢ równania i nierówno±ci:

1) 4

√

x−2

+ 16 = 10 · 2

√

x−2

,

2) 16

q

(0, 25)

5−

1
4

x

=

√

2

x−1

,

3) (0, 5)

x+1
x−1

>

1

32

,

4) 3

x+

1
2

+ 3

x−

1
2

> 4

x+

1
2

− 2

2x−1

,

5) log

√

x − 5 + log

√

2x − 3 + 1 = log 30

,

6) log(0, 5 + x) = log 0, 5 − log x,

7) log

2

(x + 14) + log

2

(x + 2) ≥ 6

,

8) log

2
3

x − log

3

x

3

+ 2 = 0

,

9) log

x

(x

2

− 3) − log

x

(x − 1) > 1

,

10) log

(2x−3)

(3x

2

− 7x + 3) < 2

,

11) log

3

(x + 1) − 2 log

2

(x + 1) − log(x + 1) + 2 ≥ 0

,

12) arcctg(

√

3)

−x

2

> arcctg

1

81

,

2

13) arccos(8x + 2) < arccos 4x,

14) arcsin (0, 5 · log(x + 1)) >

π

4

,

15) arcctg (log

2

(x + 2)) < arcctg0, 5

.

Zadanie 11. Naszkicowa¢ wykres funkcji:

1) f(x) = cos (| x| − x),

2) f(x) = | sin x| + sin x,

3) f(x) = tg(|x|),

4) f(x) = 2 log

2

(x + 3) − 1

,

5) f(x) =

 1

3



x+2

,

6) f(x) = arctg(−x) + π,

7) f(x) = 2 arccos x − π.

3