Chemia - Zestaw nr 4. Granica i ciągłość funkcji.

Podstawowe znane granice: lim

x→0

sin x

x

= 1, lim

x→±∞



1 +

1

x



x

= e, lim

x→±∞



1 −

1

x



x

=

1

e

, lim

x→0

(1 + x)

1
x

= e.

(Ogólnie, jeżeli lim

x→ x

0

g(x) = 0 i g(x) 6= x

0

w pewnym sąsiedztwie punktu x

0

, to lim

x→x

0

(1 + g(x))

1/g(x)

= e;

podobnie, jeżeli lim

x→x

0

g(x) = +∞ lub −∞ , to lim

x→x

0

(1 + 1/g(x))

g(x)

= e. Tutaj x

0

może być także równe ±∞.)

Gdy funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x

0

, to funkcję tę nazywamy ciągłą w punkcie

x

0

, jeżeli lim

x→x

0

f (x) = f (x

0

).

Twierdzenie Weierstrassa. Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale domkniętym ha, bi, to jest na

tym przedziale ograniczona oraz przyjmuje (osiąga) w tym przedziale swoje kresy (dolny i górny).

Twierdzenie (własność) Darboux. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym ha, bi oraz

liczba q jest zawarta pomiędzy f (a) i f (b), to istnieje taki punkt c ∈ ha, bi, że f (c) = q.

1) Naszkicować funkcje, o których wiadomo, że:

a)

lim

x→ − ∞

f (x) = 1, lim

x→ 1−

f (x) = ∞, lim

x→ 1+

f (x) = −∞, lim

x→ 2−

f (x) = 5, lim

x→ 2+

f (x) = −3, lim

x→ ∞

f (x) = −1.

b)

lim

x→ − ∞

f (x) = ∞, lim

x→ 1−

f (x) = 0, lim

x→ 1+

f (x) = ∞, lim

x→ 2−

f (x) = ∞, lim

x→ 2+

f (x) = −∞, lim

x→∞

f (x) = 1.

2) Policzyć (jeśli istnieją) granice:

a0) lim

x→2

x

3

− 3x

2

− x + 6

x

3

+ 2x

2

+ x − 18

;

a1) lim

x→0

√

x

2

+ 1 −

√

x + 1

1 −

√

x + 1

;

a2) lim

x→4

x +

√

x − 6

x − 5

√

x + 6

;

a) lim

x→−∞

(−3x

2

+ x − 2);

b) lim

x→0

tg 6x ctg 4x;

c’) lim

x→0

1 − cos x

x

2

;

c) lim

x→0

x

√

1 − cos x

;

d) lim

x→0

r sin 3x

x

+ 1;

e) lim

x→∞

 x − 1

x + 1



x

;

f ) lim

x→∞

x(

√

x

2

+ 1 − x);

g) lim

x→0

tg x − sin x

x

3

;

h) lim

x→0

arc sin x

2x

;

i) lim

x→0

2x

tg 5x

;

j) lim

x→0

tg x

sin (x/2)

;

k) lim

x→0

ln(1 + x)

x

;

l) lim

x→0−

x2

1/x

;

m1) lim

x→0

x sin (1/x),

m2) lim

x→∞

x sin

1

x

,

m3) lim

x→0

x

2

sin (1/x)

sin x

;

n) lim

x→1

3x

4

− 4x

3

+ 1

(x − 1)

2

;

o) lim

x→6

√

x + 3 − 3

x − 6

;

p) lim

x→∞

 x + 2

x − 3



2x

;

r) lim

x→∞

 2x + 1

2x − 5



x

;

s) lim

x→∞

x − sin x

x − cos x

;

t) lim

x→∞

q

x +

p

x +

√

x

√

x + 1

;

u) lim

x→0+






v
u
u
t

1

x

+

s

1

x

+

r 1

x

−

v
u
u
t

1

x

−

s

1

x

+

r 1

x






;

v) lim

x→∞

 x

2

− x + 1

x

2

+ x + 1



2x+3

;

w) lim

x→∞

 x

2

+ x − 1

x

2

+ x − 2



x

2

+3x

;

x) lim

x→0

√

1 + sin x −

√

1 − sin x

x

;

x1) lim

x→0

√

2 + x −

√

2 − x

√

3 + 2x −

√

3 − 2x

;

x2) lim

x→∞

q

x

p

x +

√

x

√

2x + 1

;

y1) lim

x→∞

x (π/2 − arc tg x);

y2) lim

x→1

π/2 − arc sin x

x − 1

;

z) lim

x→∞

cos x



1 − cos

1

x



.

3) Zbadać ciągłość funkcji: a) f (x) =



















7 − x

2

7 + x

2

x ≤ −1

3

4

+ 5 |x + 1|, −1 < x < 3

x

4

,

x ≥ 3

b) f (x) =







2

1/(x−2)

− 1

2

1/(x−2)

+ 1

, x 6= 2

1,

x = 2

c) f (x) =

 x

3

+ 2x, x < −2

ax,

x ≥ −2

;

d) f (x) =

(

sin

1

x

, x 6= 0

0,

x = 0

;

e) f (x) =







sin

2

x

x

√

x

2

, x 6= 0

−1,

x = 0

;

f ) f (x) =

x

2

− 2x − 3

x(x − 1)(x − 3)

.

4) a) Wykazać, że równanie x

3

−3x−1 = 0 ma pierwiastek w przedziale h1, 2i. Ile jest takich pierwiastków?

1

b) Wykazać, że równanie 3

x

+ 5

x

= 9 ma pierwiastek w przedziale h1, 2i.

c) Wykazać, że równanie x sin x = 7 ma pierwiastek w przedziale



2π,

5π

2



.

2