Pochodna Kierunkowa:

1. Normalizujemy wektor.

2. Liczymy gradient funkcji.

3. Wstawiamy podany pkt. do gradientu.

4. wstawiamy do:$\frac{\partial f}{\partial V}\left( x_{0},y_{0},z_{0} \right) = gradf(x_{0},y_{0},z_{0})\frac{V}{|V|}$

Pochodna Kierunkowa z definicji:

1. Normalizujemy wektor.

2. $\operatorname{}\frac{f\left( x_{0} + tV \right) - f\left( x_{0} \right)}{t}$

Pochodna funkcji uwikłanej:

1. $y^{'}\left( x \right) = - \frac{F_{x}^{'}(x,y(x))}{F_{y}^{'}(x,y(x))}$

2. Druga pochodna, to pochodna pochodnej. Pamiętać, że tam wystąpi y w roli y(x). Za y’(x) wstawiać pierwszą pochodną.

Ekstremum:

1. Rozwiązać układ: $\left\{ \begin{matrix} F\left( x,y \right) = 0 \\ F_{x}^{'} = 0 \\ F_{y}^{'} \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $Wyznaczyć pkt. stacjonarne.

2. Wsadź je do równania F_y^′ ≠ 0 i sprawdź czy faktycznie ≠0.

3. Jeśli tak, policz $y^{"} = - \frac{F_{\text{xx}}^{"}}{F_{y}^{'}}$ gdy > 0 to min. lokalne, gdy <0 max. lokalne. np. P(0,-1). f. osi. w pkt 0 min. lokalne =-1

Zamiana zmiennych:

1. $f_{x}^{'}\left( x_{0},y_{0} \right) = \operatorname{}\frac{f\left( x_{0} + \ h,\ y_{0} \right) - \ f(x_{0},y_{0})}{h}$

2. Za powtarzające się wyrażenie kładziemy nowe zmienne.

3. Określamy granice.

4. Wyznaczyć zależność x,y od v i u.

5. Jakobian to |wyznacznik| pochodne stare po nowych zmiennych.

6. Do całki wsadzić nowe zmienne i pomnożyć przez Jakobian.

BIEGUNOWE:

1. $\left\{ \begin{matrix} x = r\cos\varphi \\ y = r\sin\varphi \\ \end{matrix} \right.\ $

2. kółko+płaszczyzna

WALCOWE:

1. $\left\{ \begin{matrix} x = r\cos\varphi \\ y = r\sin\varphi \\ z = z \\ \end{matrix} \right.\ $ J=r

2. Wafelek,

SFERYCZNE:

1. $\left\{ \begin{matrix} x = r\sin{\theta\cos\varphi} \\ y = \sin\theta\sin\varphi \\ z = r\cos\theta \\ \end{matrix} \right.\ J = r^{2}\sin\theta$

1. $\left\{ \begin{matrix} x = r\cos{\theta\cos\varphi} \\ y = \cos\theta\sin\varphi \\ z = r\sin\theta \\ \end{matrix} \right.\ J = r^{2}\cos\theta$

pierścionek, kula+stożek