RR I stopnia:

1. Zanim przystąpisz do przekształceo pamiętaj by wypisywad na

marginesie każde założenia typu y!=0, albo x>0. Teraz robisz takie
przekształcenia aby po jednej stronie były wyrazy z y a po

przeciwnej z x.

Gdy zapisałeś równanie w

formie bla dy = bla dx to piszesz symbole całek po obu stronach.

2. Całkujesz a po stronie z x, dopisujesz –C. Rzut oka na przekształcenia

a konkretnie ma margines. Czy zał. gdzieś, że y!=0? Jeśli tak, to teraz
musisz spr. co się dzieje gdy y=0.

3. Wstawiasz za y=0. np. do Twojego wyjściowego równania. I masz

0=0’ pochodna z 0 to 0, więc wszystko się zgadza.

PROBLEMY z RR I stopnia:

1. Czasami bywa tak, że za nic w świecie nie da się tego ładnie

przekształcid. W tym celu masz kilka możliwości.

2. Przyjrzyj się, czy jeśli podzielisz licznik i mianownik przez coś (np.

to będziesz mógł zrobid tak, że np. za

i zostaną ci same z w

równaniu? Jeśli tak to bossko :D No to zrób to co powiedziałam.
Podziel licznik i mianownik tak by coś z tego sensownego było. Zrób
podstawienie i napisz na boku jak to podstawienie wygląda (np.

). Wylicz z tego y. Robisz pochodną prawej strony (pamiętaj, że
obowiązują wzory na iloraz i iloczyn). Jeśli nie wiesz to pochodna z
to z’. czyli jeśli miałeś y=xz to y’=z+xz’. Wstawiasz to do równania. I
dążysz by po jednej stronie były z a po drugiej x. (Pamiętaj o
marginesowych założeniach!) Liczysz całki ect. hm? Jakiś problem z
całką? Duży ułamek? Spróbuj zwinąd mianownik do postaci
kanonicznej (by były same nawiasy). Pamiętasz z I semestru całki z
ułamków? Liczyło się deltę, i w odpowiedni sposób rozbijało na

ułamki tak, że w licznikach było A,B,C… czyli np.

sprowadź wszystko do wspólnego mianownika, wymnóż, i porównaj
tak jak się porównuje wielomiany.

3. Wstawiamy wyliczone wartości za ABC… Rozbijamy to na sumę

trzech całek. Liczymy. Potrzebna nam forma gdzie po jednej stronie
będą z a po drugiej x (może byd z jakimś C).

4. Teraz wracamy do starej zmiennej, czyli np. za z wstawiamy

i

wyliczamy y.To jest nasze rozwiązanie ogólne.

RR II stopnia

1. Piszemy równanie charakterystyczne i szukamy jego pierwiastków,

czyli za y’’ y’ y wstawiamy kolejno

po prawej stronie

wstawiamy 0.

2. Liczymy pierwiastki. Rozwiązanie fundamentalne tworzymy patrząc

na ilośd pierwiastków po czym wybieramy odpowiednie zagadnienie
z tabelki 1. czyli np. mamy

Wtedy RORJ

3. W następnym kroku szukamy RSRNJ. Patrzymy na prawą stronę

naszego wyjściowego równania, i porównujemy go z 2 tabelką. Z niej
bierzemy odpowiednie rozwiązanie. Jeśli to dotyczy II przypadku to
wstawiamy alfę, a za wielomiany można dad jakieś „a”. Liczymy
pierwszą pochodną tego, liczymy drugą pochodną tego i wstawiamy
do naszego wyjściowego (danego z zadania) równania za y’’, y’ i y.
To nowe równanie ma byd spełnione dla każdego x. Wyliczamy a.
Jak to zrobiliśmy wyliczamy RSRNJ czyli to co wzięliśmy z tabelki,
tylko „a” już mamy i alfę też znamy. może odp wyglądad:

4. Zapisujemy RORNJ. To jest suma RORJ i RSRNJ.
5. ***** Gdy mamy podane, że znaleźd RSRNJ spełniające warunek np.

taki, że

to w takiej sytuacji należy znaleźd

. Liczysz sobie pochodną po x RSRNJ i za x wstawiasz to swoje

0, a po lewej piszesz że 1. Postępujesz tak samo. Liczysz 2 pochodną
i wstawiasz ten swój warunek co podali. Masz 2 równania. Wyliczasz
niewiadome. Wstawiasz do RORNJ i otrzymujemy rozwiązanie
spełniające warunek początkowy :)).

TAB 1.

Pierwiastki równania

charakterystycznego

Układ fundamentalny

różne Pier.

charakterystyczne

,

,

,

TAB 2.

Funkcja h(x)

Warianty

Rozwiązanie szczególne RN

wielomian

stopnia k

0 nie jest pierwiastkiem

0 jest pierwiastkiem pojedynczym

0 jest pierwiastkiem podwójnym

nie jest pierwiastkiem

jest pierwiastkiem pojedynczym

jest pierwiastkiem

podwójnym

nie jest pierwiastkiem

jest pierwiastkiem

Czy szereg jest zbieżny?

1. Podzielmy sobie szeregi na dwie grupy. Te, gdzie to co stoi po znaku

sumy jest prawie zawsze dodatnie oraz pozostałe przypadki. Gdy
jest dodatni to mamy 3 metody do wyboru: 2 łatwe, jedną
poje****.

2. Więc jak widzisz silnię to wygodnie by było skorzystad z kryterium

D’Alamberta. Polega to na tym, że liczysz granicę

gdzie an to jest to co masz po znaku sumy. Liczysz. Gdy ci wyjdzie
g <1 to szereg zbieżny. Dla rozbieżny.

3. Gdy widzisz potęgi skorzystaj z kryterium Cauchy’iego. Liczymy

granicę

. Gdy h>1 to c. rozbieżny. Gdy h<1 c.

zbieżny.

4. I istnieje taka kobyła jak U do tych przypadków gdzie poprzednie

dwa dały ciała i nic nie wykazały. Jeżeli

jest zbieżny i

to

też jest zbieżny. Jeżeli

jest rozbieżny i

, to

też jest

rozbieżny. Wydaje mi się, że polega to mniej więcej na zasadzie, a
sobie oszacuj jak taki mądry. Ale nie wiem. Nie pytaj mnie.

5. A teraz nasze druga grupa „pozostałe przypadki”. Masz do wyboru

kryteria Leibniza oraz bezwzględnej zbieżności. TO pierwsze to:
Jeżeli ciąg

jest nierosnący i

to szereg

naprzemienny

jest zbieżny oraz

Drugie kryterium: Jeżeli szereg

o wyrazach równych

wartościom bezwzględnym wyrazów szeregu

, jest zbieżny

to szereg

, też jest zbieżny.

Wykazad rozbieżnośd posługując się warunkiem koniecznym zb. LUB
zbadad z def. zbieżnośd szeregów.

1. To co stoi po sumie, bierzemy tradycyjnie jako nasze

. Liczymy

granicę

Gdy to jest rozbieżny, jeśli

to rozbieżny.

Pochodna funkcji uwikłanej:

1.

2. Druga pochodna, to pochodna pochodnej. Pamiętad, że tam wystąpi

y w roli y(x). Za y’(x) wstawiad pierwszą pochodną.

Ekstremum:

1. Rozwiązad układ:

Wyznaczyd pkt. stacjonarne.

2. Wsadź je do równania

i sprawdź czy faktycznie .

3. Jeśli tak, policz

gdy > 0 to min. lokalne, gdy <0 max.

lokalne. np. P(0,-1). f. osi. w pkt 0 min. lokalne =-1

BIEGUNOWE:

1.

2. kółko+płaszczyzna

WALCOWE:

1.

J=r

2. Wafelek,

SFERYCZNE:

1.

pierścionek, kula+stożek