POJĘCIA ROZDZIAŁ I:
Zdanie w sensie logicznym jest to takie wyrażenie, które jest albo prawdziwe albo fałszywe. Zdanie w sensie logicznym to takie wyrażenie, które ma wartość logiczną. Wyrażenie jest prawdziwe, gdy opisuje rzeczywistość tak, jak ona się ma. Wyrażenie jest fałszywe, gdy opisuje rzeczywistość nie tak, jak ona się ma.
Wartość logiczna to prawda lub fałsz. Wartość logiczna zdania jest jego właściwością obiektywną. Nie zależy ona od tego czy trafnie rozpoznają ją ci, którzy używają danego zdania.
Zmienną zdaniową jest takie wyrażenie, za które wolno wstawiać dowolne zdanie. Zmienne zdaniowe to: „p”, „q”, „r”, „s”, „t”, „p1”, „p2”, „q1”, „p’”, itd. (małe litery)
Spójnikami (spójnikami logicznymi) nazywamy wyrażenie posiadające tą właściwość, że po dołączeniu do niego zdania otrzymuje się nowe zdanie, którego wartość logiczna zależy wyłącznie od wartości logicznej zdania dołączonego.
Spójnikiem jednoargumentowym nazywamy takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego jednego zdania jako argumentu daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej – w sposób szczególny – przez wartość logiczną zdania dołączonego.
Zdaniem zanegowanym nazywamy zdanie dołączone do spójnika negacji jako jej argument.
Negacją nazywamy zdanie powstałe przez zanegowanie określonego zdania.
Spójnikiem dwuargumentowym nazywamy takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego dwóch zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej – w szczególny sposób – przez wartości logiczne dołączonych zdań.
Czynnikami nazywamy zdania dołączone jako argumenty do spójnika koniunkcji.
Koniunkcją nazywamy zdanie zbudowane ze spójnika koniunkcji i jego argumentów.
Alternatywą nazywamy zdanie zbudowane ze spójnika alternatywy i jego argumentów.
Składnikami nazywamy zdania dołączone do spójnika alternatywy jako argumenty.
Poprzednikiem nazywamy pierwszy z argumentów implikacji.
Następnikiem nazywamy drugi z argumentów implikacji.
Implikacją nazywamy zdanie zbudowane ze spójnika implikacji i jego argumentów.
Członami nazywamy zdania dołączone do spójnika równoważności jako argumenty.
Równoważnością nazywamy zdanie zbudowane ze spójnika równoważności i jego argumentów.
Zdaniem prostym nazywamy takie zdanie, w którym nie występuje żaden spójnik.
Zdaniem złożonym nazywamy takie zdanie, w którym występuje co najmniej jeden spójnik.
Tezą rachunku zdań (schemat tautologiczny rachunku zdań) nazywamy wyrażenia rachunku zdań, które przy wszelkich wstawieniach za występujące w nich zmienne przekształcają się w zdania prawdziwe.
Formalizacja rachunku zdań polega na wyborze pewnych tez rachunku zdań jako aksjomatów i podaniu reguł wyprowadzania z jednych tez innych tez.
Aksjomatyzacją rachunku zdań nazywamy pierwszy etap formalizacji rachunku zdań, który polega na dobraniu określonych zestawów tez jako aksjomatów.
Reguła podstawiania jest jedną z reguł, która umożliwia wyprowadzenie z aksjomatów wszystkich i tylko tez rachunku zdań. Brzmi następująco: jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to tezą rachunku zdań jest też wyrażenie postaci B powstałe z A przez konsekwentne podstawienie za występującą w nim zmienną zdaniową dowolnego wyrażenia rachunku zdań.
Reguła odrywania jest drugą z reguł, która umożliwia wyprowadzenie z aksjomatów wszystkich i tylko tez rachunku zdań. Brzmi następująco: Jeżeli wyrażenie postaci A→B jest tezą rachunku zdań i wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to takie wyrażenie postaci B jest tezą rachunku zdań.
Reguła zastępowania jest to reguła, która umożliwia wyprowadzenie z aksjomatów wszystkich i tylko tez rachunku zdań. Brzmi następująco: Jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań , to tezą rachunku zdań jest także wyrażenie postaci B powstałe z A przez zastąpienie występującego w A wyrażenia rachunku zdań innym wyrażeniem rachunku zdań odpowiadającym mu na podstawie następujących definicji.
Zabieg konstruowania dowodu danego wyrażenia nazywamy jego dowodzeniem.
Dowodem wyrażenia W , na gruncie aksjomatów 1, 2 i 3, w oparciu o reguły podstawiania, odrywania, zastępowania , jest ciąg wyrażeń rachunku zdań, taki że każde wyrażenie tego ciągu albo jest jednym z aksjomatów 1-3, albo powstaje z wcześniejszego wyrażenia ciągu przez zastosowanie reguły podstawiania, odrywania, zastępowania, a przy tym ostatnim wyrażeniem tego ciągu jest wyrażenie W.