f) Badanie zróżnicowania zmienności dwóch lub więcej populacji. Jednoczynnikowa analiza wariancji - ONEWAY ANOVA.

Test F jest wykorzystywany w wielu parametrycznych analizach statystycznych. Należy zaznaczyć, że statystyka tego testu może przyjmować różne postacie.

Jedną z metod, opartych na teście F jest jednoczynnikowa analiza wariancji (ang.: oneway analysis of variance).

Analiza wariancji jest metodą badania wpływu zmiennej niezależnej mierzonej na skali nominalnej na zmienną zależną, mierzonej na skali interwałowej.

Ideą metody jest porównywanie średnich wartości zmiennej zależnej między grupami, określonymi przez zmienną niezależną, przy założeniu homogeniczności wariancji. Oznacza to, że wariancje w grupach muszą być sobie równe. Do testowania hipotezy zerowej o równości średnich w grupach wykorzystuje się statystykę o rozkładzie F - Snedecora (por. rozdział 7 pkt.7.2.1).

1. Analiza wariancji

a) analiza jednoczynnikowa (podział wg 1 kryterium)

• Porównanie średnich w dowolnej liczbie subpopulacji (prób) o rozkładzie normalnym lub zbliżonym do normalnego oraz o jednakowych wariancjach.

(6.1)

(6.2)

Do weryfikacji hipotezy (6.1) wykorzystuje się test Fishera-Snedecora i statystykę empiryczną o postaci:

F = MSB/MSE, gdy MSB > MSE, (6.3)

lub

F = MSE/MSB, gdy MSB < MSE, (6.4)

gdzie: MSB - średni kwadrat odchyleń od średniej między grupami (próbami),

MSE - średni kwadrat odchyleń od średniej wewnątrz grup.

Źródło zmienności	Suma kwadratów odchyleń	Stopnie swobody df	Średni kwadrat odchyleń
Czynnik (podpróbka, klasyfikacja) - zróżnicowanie międzygrupowe	SSB	k - 1 k-liczba grup	MSB (MS efekt, wariancja międzygrupow)
ąd losowy - zróżnicowanie wewnątrzgrupowe	SSE	n - k n-liczba wszystkich jednostek	MSE (MS błąd, wariancja resztowa)
3. Ogółem dla całej próby	SST	k-1+n-k=n-1	MSB+MSE (wariancja całkowita)	MSB+MSE

Ogólna suma kwadratów odchyleń:

(6.5)

Ważona suma kwadratów odchyleń między średnimi grupowymi a średnią ogólną:

(6.6)

Suma kwadratów odchyleń między realizacjami zmiennej X a poszczególnymi średnimi wewnątrz grup (podpróbek):

SSE = SST - SSB (6.7)

Wariancja między grupami:

(6.8)

gdzie w nawiasie okrągłym w liczniku (6.8) mamy odchylenia między średnimi grupowymi (lub przeciętnymi z poszczególnych podpróbek) a średnią ogólną dla całej próby.

Wariancja wewnątrz grup (wewnątrz podpróbek):

(6.9)

Przykład 6.1

Reprezentatywnym przykładem zastosowania tej metody jest analiza efektów pieniężnej wielkości cotygodniowej sprzedaży w sklepie z odzieżą damską, jeżeli w sklepie słychać jeden z czterech rodzajów muzyki (styl klasyczny, pół- klasyczny, styl country albo styl pop). Badacz może przeprowadzić eksperyment, w którym sprawdza efekty sprzedaży przy wszystkich różnych rodzajach muzyki w tle, w różnych placówkach. (por. Andreasen, 1988).

Eksperyment może odbywać się przez dłuższy czas, w kilku równorzędnych sklepach, a w każdym z nich słychać jeden rodzaj muzyki. Rezultaty eksperymentu podano w tabeli 6.1.

Tabela 6.1. Przykład dla liczby grup k=4, w każdej grupie n_i=10. Technika obliczeń międzygrupowej sumy kwadratów

	grupa	t_muzyka w tle	x_wielkość sprzedaży w tys, zł		k=4				Wynik
1	1	klasyczna	122
2	1	klasyczna	136
3	1	klasyczna	153
4	1	klasyczna	109
5	1	klasyczna	120
6	1	klasyczna	98
7	1	klasyczna	106
8	1	klasyczna	111
9	1	klasyczna	103
10	1	klasyczna	94		=	115,2			291,6
11	2	pół-klasyczna	136
12	2	pół-klasyczna	127
13	2	pół-klasyczna	104
14	2	pół-klasyczna	131
15	2	pół-klasyczna	136
16	2	pół-klasyczna	111
17	2	pół-klasyczna	119
18	2	pół-klasyczna	104
19	2	pół-klasyczna	121
20	2	pół-klasyczna	110		=	119,9			1020,1
21	3	country	97
22	3	country	110
23	3	country	95
24	3	country	107
25	3	country	122
26	3	country	110
27	3	country	120
28	3	country	113
29	3	country	131
30	3	country	106		=	111,1			16,9
31	4	pop	86
32	4	pop	85
33	4	pop	93
34	4	pop	78
35	4	pop	93
36	4	pop	99
37	4	pop	101
38	4	pop	110
39	4	pop	90
40	4	pop	95		=	93			2822,4
				śr. ogółem	=	109,8		Suma SSB	4151
							MSB=suma/(N-k)	=MS efekt =	1383,667

Tabela 6.2. Przykład dla liczby grup k=4, w każdej grupie n_i=10. Technika obliczeń wewnątrzgrupowej sumy kwadratów MSE

Id	Grupa	Rodzaj muzyki w tle	Wartość sprzedaży Xi
1	1	klasyczna	122	122 - 115,2	46,24
2	1	klasyczna	136	136 - 115,2	432,64
3	1	klasyczna	153	153 - 115,2	1428,84
4	1	klasyczna	109	109 - 115,2	38,44
5	1	klasyczna	120	120 - 115,2	23,04
6	1	klasyczna	98	98 - 115,2	295,84
7	1	klasyczna	106	106 - 115,2	84,64
8	1	klasyczna	111	111 - 115,2	17,64
9	1	klasyczna	103	103 - 115,2	148,84
10	1	klasyczna	94	94 - 115,2	449,44
11	2	pół-klasyczna	136	136 - 119,9	259,21
12	2	pół-klasyczna	127	127 - 119,9	50,41
13	2	pół-klasyczna	104	104 - 119,9	252,81
14	2	pół-klasyczna	131	131 - 119,9	123,21
15	2	pół-klasyczna	136	136 - 119,9	259,21
16	2	pół-klasyczna	111	111 - 119,9	79,21
17	2	pół-klasyczna	119	119 - 119,9	0,81
18	2	pół-klasyczna	104	104 - 119,9	252,81
19	2	pół-klasyczna	121	121 - 119,9	1,21
20	2	pół-klasyczna	110	110 - 119,9	98,01
21	3	country	97	97 - 111,1	198,81
22	3	country	110	110 - 111,1	1,21
23	3	country	95	95 - 111,1	259,21
24	3	country	107	107 - 111,1	16,81
25	3	country	122	122 - 111,1	118,81
26	3	country	110	110 - 111,1	1,21
27	3	country	120	120 - 111,1	79,21
28	3	country	113	113 - 111,1	3,61
29	3	country	131	131 - 111,1	396,01
30	3	country	106	106 - 111,1	26,01
31	4	pop	86	86 - 93	49
32	4	pop	85	85 - 93	64
33	4	pop	93	93 - 93	0
34	4	pop	78	78 - 93	225
35	4	pop	93	93 - 93	0
36	4	pop	99	99 - 93	36
37	4	pop	101	101 - 93	64
38	4	pop	110	110 - 93	289
39	4	pop	90	90 - 93	9
40	4	pop	95	95 - 93	4
				suma=	6183,4
				SSE	171,7611

Załóżmy, że badający chce porównać trzy lub więcej średnich. Przykładem może być sytuacja, gdy właściciel firmy, zajmującej się wypożyczaniem samochodów, stawia sobie pytanie czy średnia wielkość transakcji, dotyczących wypożyczania samochodów, różni się istotnie w pięciu miastach.

W takim wypadku można wykorzystać test parametryczny, zwany jednoczynnikową analizą wariancji, który jest rozszerzeniem opisanego testu t Studenta.

W bardziej ogólnej i wszechstronnej analizie wariancji (ANOVA) technika obliczeń jest podobna. Dokonuje się pomiaru wariancji wszystkich średnich (na przykład w pięciu miastach), a następnie porównuje się otrzymany wynik do wariancji z próby losowej ( w omawianym przykładzie jest wariancja ze wszystkich pięciu miast). ANOVA dzieli wariancję ze wszystkich miast przez wariancje obliczone dla każdego miasta. Można więc powiedzieć, że obserwowaną zmienność dzieli się na dwa składniki:

- na zmienność wewnątrzgrupową, której miarą jest wewnątrzgrupowa suma kwadratów

(gdzie s_i² jest wariancją, obliczoną w oparciu o średnią z podgrupy o numerze i, a n_i oznacza liczebność tej popdpopulacji) oraz

- na zmienność międzygrupową, której miarą jest międzygrupowa suma kwadratów

Statystyka testu, dla której można obliczyć poziom istotności, przyjmuje następującą postać:

Otrzymana statystyka znana jest pod nazwą testu proprocji F, którego odmianą jest w specyficznych przypadkach test Studenta - T. Jeśli spełnione są założenia homogeniczności wariancji oraz normalności rozkładów zmiennej zależnej w podpopulacjach, obserwowany poziom istotności można uzyskać przez porównanie obliczonej z próby statystyki F z wartością statystyki, pochodzącej z rozkładu teoretycznego F - Snedecora, przy liczbach stopni swobody równych k-1 oraz N-k.

Obserwowany poziom istotności jest prawdopodobieństwem uzyskania wartości statystyki F co najmniej tak dużej, jak wartość statystyki F, obliczona dla populacji, w której wszystkie średnie i wariancje są równe.

Niska wartość prawdopodobieństwa i duża wartość statystyki F oznacza, że wariancja ze wszystkich miast jest większa niż w poszczególnych przypadkach. Oznacza to konieczność odrzucenia hipotezy zerowej o równości średnich.

Celem analizy wariancji nie jest sprawdzenie, czy pod względem średniej jedno miasto różni się istotnie od innego konkretnego miasta, lecz przetestowanie hipotezy, czy zmienność we wszystkich miastach była znacząco różna.

Można też przetestować hipotezę, czy specyficzne pary miast są różne. W takim przypadku statystyczne programy komputerowe liczą po prostu test t Studenta dla dwóch miast (lub test Duncana, gdy liczebności w podgrupach są znacząco różne; analizy wariancji dokonuje się wtedy w oparciu o średnie harmoniczne).

Analiza wariancji (ANOVA - poczęstunek i muzyka) Zaznaczone efekty są istotne z p < ,05000
	SS efekt	Df=k-1	MS efekt=MSB	SS błąd	Df=N-k	MS błąd=MSE	F=MS efekt/MS błąd	p
z_przychód	4151,00	3	SS efekt/ df=4151,0/3=1383,67	6183,400	36	SS błąd/df=171,76	8,06	0,00

SS efekt - suma kwadratów międzygrupowych

SS błąd - suma kwadratów wewnątrzgrupowych

MS efekt = MSB - wariancja międzygrupowa

MS błąd=MSE - wariancja wewnątrzgrupowa

(g). Test H Kruskala - Wallisa.

Test ten, zwany również nieparametryczną analizą wariancji, znajduje zastosowanie w warunkach badawczych podobnych do tych, w jakich znajduje zastosowanie test U Manna-Whitneya - z tą tylko różnicą, że przeznaczony on jest do testowania hipotezy zerowej, mówiącej o pochodzeniu p(p>2) prób z tej samej populacji.

Po porangowaniu wyników - wg tych samych zasad co w teście Manna-Whitneya - oblicza się wartość statystyki wg wzoru:

gdzie: R_i. - suma rang w i-tej grupie porównawczej (i-tej kolumnie) N = n₁ + n₂ +... + n_p. Odrzucamy H₀, jeżeli H > h(α,p,n₁,n₂... n_p), gdzie p - liczba grup, a α - założony poziom istotności.

Wartości krytyczne H dla: n₁ <= 5 i k=3 odczytuje się ze specjalnych tablic, które podają: Jaworowska i Michalićka (1978), Siegel (1956), Hollander i Wolfe (1973). Dla większych n_i statystyka H ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat z liczbą stopni swobody równą df=p-1. Odrzuca się H₀, jeżeli H > χ²_α,df W przypadku występowania rang wiązanych stosuje się test H z odpowiednią poprawką. Oczywiście w pakietach statystycznych wartości statystyk i odpowiadające im prawdopodobieństwa są automatycznie drukowane przez komputer. (por. Blalock, 1975; Jaworowska, Michalićka, 1978; Brzeziński, Maruszewski, 1981; Siegel, 1956; Hollander, Wolfe, 1973).

(h). Test niezależności chi-kwadrat (χ²). Analogicznie jak w (e), z tą różnicą, że tabela wyników nie składa się z dwóch kolumn, ale z C(C>2) kolumn o liczebnościach brzegowych: F_.1 = n₁ ,F_.2 = n₂, ..., F_.p = n_p (por. pkt (e) bieżącego rozdziału oraz rozdział 7 pkt. 7.5).

6.7. Pytania o istotność interakcji dwóch lub więcej zmiennych niezależnych dla danej zmiennej zależnej lub grupy zmiennych zależnych.

Analiza wariancji (por. rozdział 5 pkt.5.2.1.(f), rozdział 7 pkt.7.2) jest jednym z najczęściej używanych testów w badaniach sondażowych rynku połączonych z badaniami eksperymentalnymi. Jest bardzo wygodnym narzędziem nawet dla bardzo skomplikowanych zamierzeń badawczych. W bieżącym paragrafie przedstawia się dwa krótkie przykłady zastosowań analizy wariancji w badaniach sondażowych, połączonych z eksperymentem.

6.7.1. Wieloczynnikowa analiza wariancji (N-WAY ANOVA).

Reprezentatywnym przykładem zastosowania tej metody jest analiza efektów pieniężnej wielkości cotygodniowej sprzedaży w sklepie z odzieżą damską, jeżeli

1) w sklepie częstuje się (lub nie) klientki kawą, za którą nie muszą płacić

2) w sklepie słychać jeden z czterech rodzajów muzyki (styl klasyczny, pół- klasyczny, styl country albo styl pop).

Badacz może przeprowadzić eksperyment, w którym sprawdza efekty sprzedaży przy wszystkich możliwych kombinacjach wymienionych wyżej czynników (por. Andreasen, 1988).

Eksperyment może odbywać się przez dłuższy czas, w kilku równorzędnych sklepach, a w każdym z nich słychać jeden rodzaj muzyki i równocześnie podaje się klientom kawę (lub nie).

Rezultaty eksperymentu podano w tabeli 6.7.1.

W analizie wieloczynnikowej obliczenia przeprowadza się w podobny sposób , jak w jednoczynnikowej (por. rozdział 5 pkt.5.2.1.(f)). Najpierw oblicza się estymator wariancji

zrandomizowanej - w analizowanym przykładzie jest to wspólna całkowita wariancja ze wszystkich możliwych kombinacji.

TAB.6.7.1. REZULTATY SPRZEDAŻY ODZIEŻY DAMSKIEJ PO PRZEPROWADZENIU EKSPERYMENTU ( W $ USD)

Rodzaj muzyki	Poczęstunek	Brak poczęstunku	Srednia obl.ze względu na rodzaj muzyki
Klasyczna	122 136 153 109 120 ------------ X11 = 128.0	98 106 111 103 94 ----------- X12 = 102.4	X1. = 115.4
Pół - klasyczna	136 127 104 131 136 ----------- X21 = 126.8	111 119 104 121 110 ------------ X22 = 113.0	X2. = 119.9
Country	97 110 95 107 122 ----------- X31 = 106.2	110 120 113 131 106 ----------- X32 = 116.0	X3. = 111.1
Współczesna muzyka pop	86 85 93 78 93 ----------- X41 = 87.0	99 101 110 90 95 ----------- X42 = 99.0	X4. = 93.0
średnia obl. ze wzgędu na poczęstunek	X.1 = 112.0	X.2 =107.6	X..= 109.8

Procedury komputerowe wyliczają w wieloczynnikowej analizie wariancji trzy testy dla określenia istotnych rezultatów. Wydruki komputerowe pozwalają odpowiedzieć na następujące pytania :

1) Czy jest efekt główny (odpowiedzialny za wielkość sprzedaży) w zależności od tego, czy

częstuje się klientki kawą, czy nie - tzn. czy całkowita wariancja określona na podstawie tylko dwóch kategorii (poczęstunek lub nie) jest istotnie większa niż wariancja zrandomizowana, obliczona dla wszystkich kombinacji ( gdy kontrolowane są wpływy muzyczne) ?

2) Czy jest efekt główny w zależności od rodzajów muzyki (gdy ignorujemy poczęstunek lub nie) ?

3) Czy jest efekt interakcji w zależności od różnych kombinacji słuchanej muzyki i poczęstunku (lub nie), tzn. czy wyniki w każdym z ośmiu pól mogą być przewidziane na podstawie zsumowania razem dwóch efektów głównych ?

Procedury komputerowe obliczają statystykę F oraz prawdopodobieństwo dla braku efektów. Srednie dla pól oznaczających różne kombinacje poczęstunku (lub nie) oraz czterech rodzajów muzyki wskazują, że :

1) poczęstunek sprzyja większej sprzedaży niż brak poczęstunku

2) przy muzyce klasycznej i pół-klasycznej sprzedaje się więcej, a przy współczesnej muzyce pop - najmniej

3) poczęstunek wraz z muzyką klasyczną i pół-klasyczną zwiększa sprzedaż, podczas gdy poczęstunek wraz z muzyką country lub współczesną pop zmniejsza sprzedaż.

Czy uzyskane rezultaty są znaczące ?

Rezultaty ANOVY podane są w tabelce 6.7.2.

TAB.6.7.2. WYNIKI PROCEDURY ANOVA

Jednowymiarowe testy istotności dla z_przychód (ANOVA - poczęstunek i muzyka) Parametryzacja z sigma-ograniczeniami Dekompozycja efektywnych hipotez
	SS	Stopnie swobody df	MS - średnia z sumy kwadratów	F	p
x_muz	4151,0	3	1383,7	12,764	0,000012
y_kawa	193,6	1	193,6	1,786	0,190842
x_muz*y_kawa	2521,0	3	840,3	7,752	0,000498
Błąd	3468,8	32	108,4

Analizując dane w tabeli, można stwierdzić, że bardzo istotny wpływ na wielkość sprzedaży ma rodzaj muzyki, którą słychać w sklepie, natomiast sam poczęstunek kawą (lub nie) nie jest istotny. Ostatecznie można powiedzieć, że daje się zauważyć efekt interakcji, który wskazuje, że kombinacja poczęstunku kawą i muzyki klasycznej (lub pół-klasycznej) może być czynnikiem zwiększającym obroty w sklepie.

6.7.2. Wielowymiarowa analiza wariancji (MANOVA).

W badaniach marketingowych badacze często zadają sobie pytanie, czy są różnice między grupami pod względem zbioru właściwości, mierzonych na skalach metrycznych. Służy temu technika MANOVA - bardzo zbliżona do ANOVY, lecz stosowana do badań bardziej skomplikowanych. W analizie wieloczynnikowej (model ANOVA) rozważano efekty cotygodniowej sprzedaży w sklepie z odzieżą damską, przy dwóch czynnikach - poczęstunku (lub nie) kawą oraz przy czterech rodzajach muzyki. MANOVA natomiast umożliwiłaby bardziej skomplikowaną analizę, na przykład gdyby badacz chciał znać efekty rozważanych dwóch czynników w następujących aspektach :

1) przeciętna długość pobytu w sklepie

2) całkowita sprzedaż drogich sukien

3) całkowita sprzedaż dodatków galanteryjnych

4) stosunek wielkości przychodu z artykułów sprzedanych po pełnej wysokiej cenie - do wielkości przychodu z artykułów sprzedanych po najniższej cenie rynkowej.

MANOVA umożliwia analizę przychodów związanych z różnymi kombinacjami

wymienionych wyżej czynników i aspektów oraz daje podobne statystyki, jak ANOVA.

(por. Andreasen, 1988; Brzeziński, 1987; Brzeziński, Stachowski, 1975; Oktaba, 1980; Oktaba, 1966; Winer, 1971; Kirk, 1968)

---