Prawa rachunku zdań, tautologie rachunku zdań, zdania sformalizowanego języka rachunku zdań, których wartość logiczna - niezależna od wartości logicznych występujących w nich zdań prostych - jest zawsze równa 1.
Jak zapewne wiesz zdanie logiczne może przyjmować dwie wartości: zdanie prawdziwe - 1 lub zdanie fałszywe - 0. Zdania proste rozpatruje się na różne sposoby w zależności od zagadnienia. Ważny jest jednak ostateczny wynik. Poniżej będziesz miała tabele w których pokaże Ci sposoby rozpatrywania zdań logicznych i matematyczne przykłady i rozwiązywania. To jest dział matematyki związany ściśle z logiką, co sprawia, że na jedno wychodzi. W matematycznych zagadnieniach łatwiej jest to zrozumieć. Pamiętaj ! Tautologia jest wtedy, gdy ostateczny wynik jest równy 1. Tylko wtedy. Ciąg zdarzeń w wyniku którego wychodzi 0, czyli fałsz nie jest tautologią i tym samym prawem rachunku zdań.
Nie wiem jak daleko zabrnęliście w tym temacie i jakie prawa wykorzystywaliście. Dlatego też opisze podstawy i jeśli one wystarczą to dobrze, jeśli nie to napisz jakie prawa macie a ja Ci je opisze osobno, chociaż podejrzewam, że oprócz praw De Morgana nie braliście nic więcej. Wszystkich praw jest 19. Dobra zaczynamy:
Zdaniem nazywamy wyrażenie któremu możemy przypisać cechę prawdy lub fałszu (1 lub 0).
Oznaczenia:
p, q, v, s - oznaczenia zdań
~ - nieprawda że..
^ - i
ν - lub
...═>... - jeżeli .... to
...<=>... - wtedy i tylko wtedy
Wszystkie te oznaczenia nazywane są funktorami zdaniowymi.
Zdanie postaci ~p nazywamy zaprzeczeniem lub negacją zdania p.
p |
~p |
1 |
0 |
0 |
1 |
Co to oznacza. Jeżeli ktoś powie „Jaś to pierdoła” i Ty wiesz, że tak jest naprawdę to zdanie p ma wartość 1 a negacja mówi : nieprawda że p (~p) czyli Jaś nie jest pierdołą i odwrotnie. Czyste zaprzeczenie. Kolumną finałową jest kolumna ostatnia czyli prawa. Czy jest to tautologia? Nie, bo w prawej kolumnie najpierw jest zero a potem jeden. Tautologia byłaby wtedy gdyby w prawej kolumnie były dwie 1.
Zdanie postaci p ^ q nazywamy koniunkcją zdań.
p |
q |
p ^ q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa jeśli obydwa zdania są prawdziwe.
Co tu widać? W tabeli w dwóch pierwszych kolumnach wykorzystane są wszystkie możliwe kombinacje dwóch różnych zdań. Znów: p - „Jaś to pierdoła”, q - „Marysia to sierotka”. Pierwszy wiersz mówi , że obydwa zdania są prawdzie i ich koniunkcja (czyli inaczej mówiąc część wspólna, działanie polegające na koniunkcji jest prawdziwe ), dalej p - jest prawdziwe a q - nieprawdziwe - koniunkcja jest fałszem. Analogicznie pozostałe dwa wiersze.
Tak jest zawsze, tą tabelkę trzeba znać na pamięć, to jest jak wzór, patrzysz tylko co ma być ze zdaniami zrobione, podstawiasz do danej tabelki i wiesz jaki będzie wynik. Na koniec pokaże Ci przykład
Zdanie postaci p ν q nazywamy alternatywą zdań (p lub q )
p |
q |
p ν q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, jeżeli przynajmniej jedno zdanie jest prawdziwe.
Znowu dwie pierwsze kolumny pokazują wszystkie możliwe kombinacje dwóch zdań, p i q, a trzecia kombinacja pokazuje wynik alternatywy między nimi. I to jest kolejny wzór, nie ma sensu wnikać dlaczego tak jest, po prostu jest i koniec.
Zdanie postaci p <=> q nazywamy równoważnością zdań
p |
q |
p<=>q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Równoważność dwóch zdań jest prawdziwa jeżeli obydwa zdania mają tę samą wartość logiczną (czyli obydwa są prawdziwe, albo obydwa są fałszywe).
Zdanie postaci p => q nazywamy implikacją zdań
p |
q |
p => q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
p - poprzednik implikacji
q - następnik implikacji
Implikacja jest prawdziwa zawsze oprócz sytuacji gdy „z prawdy wynika fałsz” (wiersz 2, zdanie p było prawdziwe a po implikacji powstało zdanie q, które jest fałszywe)
Teraz dwa prawa De Morgana :
Zaprzeczenie koniunkcji jest równoważne alternatywie zaprzeczeń
~ (p ^ q) < = > (~p) v (~q)
rysujemy tabelkę:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
p |
q |
p ^ q |
~(p ^ q) |
~p |
~q |
(~p) v (~q) |
I pr. De Morgana |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Kolumny 1 i 2 to wszystkie możliwe kombinacje tych dwóch zdań. Kolumna trzecia to koniunkcja p i q, bierze się więc pod uwagę kolumnę 1 i 2 i korzystając z pkt. 2, z gotowego wzoru otrzymuje się wynik. Kolumna 4 jest zaprzeczeniem kolumny 3, czyli wszystko jest odwrotnie niż w kolumnie 3. Kolumna 5 to zaprzeczenie kolumny 1, a 6 kolumny 2. Kolumna 7 to alternatywa tego co dostałaś w kolumnach 5 i 6, a korzystasz z tabelki w pkt. 3. Kolumna ostatnia, czyli 8, jest ostatecznym wynikiem czyli równoważnością (<=>). Zauważ , że najpierw robisz to co jest w nawiasach, zresztą kolejność nie mogłaby być inna i tak jak po schodkach dochodzisz do końca. Co otrzymałaś??? TAUTOLOGIE , bo w ostatniej finałowej kolumnie są same 1.
Jak sama na spokojnie to wszystko przeanalizujesz to dojdziesz do wniosku, że znając kilka wzorów (tabelek) można roztrzaskać każde zadanie.
( II pr. De Morgana) Zaprzeczenie alternatywy jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń.
~ (p v q) < = > (~p) ^ (~q)
Znowu tabelka (inaczej się tego nie rozwiąże)
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
p |
q |
p v q |
~(p v q) |
~p |
~q |
(~p) v (~q) |
I pr. De Morgana |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
I znowu osobno rozgryzamy lewą i prawą stronę znaku <=> . Najpierw nawiasy w środku, a potem to co między nimi korzystając z gotowych wzorów. I znowu widzimy tutaj tautologie, ostatnia wynikowa kolumna to same 1.
Teraz przykład nie będący prawem:
Mamy sprawdzić czy podane zdanie jest tautologią
(p => q ^ q => p) < => (p < => q)
tabelka
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
p |
q |
p =>q |
q =>p |
(p =>q ^ q =>p) |
p <=> q |
(p=>q ^ q=>p) <=> (p <=> q) |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
I opisujemy. Kolumny 1 i 2 to wszystkie możliwe kombinacje dwóch różnych zdań, są tylko dwa więc mając do wyboru tylko dwie opcje prawda lub fałsz możemy je ustawić na cztery sposoby pierwsze prawdziwe i drugie prawdziwe, pierwsze prawdziwe a drugie fałszywe, pierwsze fałszywe a drugie prawdziwe i obydwa fałszywe. Następnie zajmujemy się lewą stroną i mamy tam jeden nawias a w nim trzy „działania” dwie implikacje i jedną koniunkcję. Z tym, że zauważ, w kolumnie 3 jest p=>q a w 4 odwrotnie, to jest oczywiście różnica, w 3 kolumnie punktem wyjściowym jest kolumna 1 i z niej „przechodzimy” do 2, a w czwartej odwrotnie. W 5 kolumnie jest koniunkcja tego co dostałaś w dwóch wcześniejszych, więc kolejność działań jest oczywista, nie zrobisz działań w kolumnie 3 i 4 nie zrobisz 5-tki, bo w niej posługujesz się wynikami dwóch poprzednich. Wszystko oczywiście robisz na podstawie wzorów opisanych na początku. Lewą stronę masz gotową, teraz prawa, kolumna 6 to równoważność p i q, a więc kolumny pierwszej i drugiej, na podstawie wzoru :-) . Ciągle to powtarzam ale nie chcę żebyś miała wątpliwości. Kolumna 7 to równoważność całej lewej i prawej strony, a więc kolumny 5 i 6. Co widzisz?? Tautologia . Gdyby było chociaż jedno zero, tautologii by nie było.
Wszystkie zagadnienia logiczne z którymi się spotkałem sprowadzały się do sprawdzenia równoważności lewej i prawej strony. Sprawdzasz czy to co „powiedział facet po lewej stronie muru zgadza się z tym co mówi drugi po jego prawej stronie”. Już lepiej chyba nie umiem tego wytłumaczyć :-)).
Jeśli będą jakieś pytania proszę o ich sprecyzowanie w mailu a resztę dogadamy na mIRCu. Musisz sobie to wszystko dokładnie i spokojnie przestudiować. To jest proste, schematyczne.
Nie opisywałem kwantyfikatorów, nie wiem czy je macie, wydaje mi się że chyba raczej nie, ale gdyby.... wiesz co zrobić:-).