Waldemar Ojrzanowski 2-06-2000

ĆWICZENIE NR 20

Wyznaczanie stosunku Cp/Cv dla powietrza metodą Clement-Desermes'a

1.Teoria

Celem tego doświadczenia jest wyznaczenie stosunku ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości metodą Clementa-Desormesa. Ciepłem właściwym określamy ilość ciepła potrzebną do podwyższenia temperatury ciała o jeden kelwin przy stałym ciśnieniu lub stałej objętości. Stosunek tych wartości jest wielkością charakterystyczną dla danego gazu i jest ona zależna od liczby i charakteru stopni swobody cząsteczki gazu. Liczbą stopni swobody układu mechanicznego nazywamy liczbę niezależnych wielkości, za pomocą których może być opisane położenie układu. Ze względu na charakter wyróżnia się stopnie swobody postępowe (translacyjne), obrotowe (rotacyjne), oraz drganiowe (oscylacyjne). Wpływ liczby stopni na wartość stosunku
wyraża się wzorem

,

gdzie i to liczba stopni swobody.

W czasie doświadczenia gaz jest poddawany trzem procesom, a mianowicie przemianom izotermicznej, adiabatycznej i izochorycznej. Każda z tych przemian ma pewną właściwość. Przemiana izotermiczne charakteryzuje się tym, że w czasie jej przebiegu nie zmienia się temperatura badanego gazu, natomiast pozostałe parametry opisujące stan gazu (ciśnienie i objętość) zmieniają się według zależności
(jest to równanie Clapeyrona). Przemiana izochoryczna charakteryzuje się tym, że przebiega przy niezmiennej objętości gazu. Podobnie jak w przypadku przemiany izotermicznej obowiązuje tutaj równanie Clapeyrona. W przypadku przemiany adiabatycznej sytuacja jest nieco odmienna. Ta przemiana charakteryzuje się brakiem wymiany ciepła pomiędzy gazem a otoczeniem. Zależności występujące w czasie tej przemiany opisują dwa równania adiabaty:

1.

2.
jest to tzw. równanie Poissona.

Ważną zależnością jest I zasada termodynamiki, która mówi o tym, że w układzie odosobnionym, w którym zachodzą dowolne zjawiska mechaniczne, cieplne, elektryczne itd. Nie można w żaden sposób zmienić całkowitej energii układu. Matematycznie zasadę tę opisuje równanie
, gdzie
jest całkowitą energią układu,
ciepłem dostarczonym do układu, a
pracą wykonaną nad układem. Dostarczone ciepło jest zależne od różnicy temperatur gazu i określa się równaniem
. W przypadku przemiany izotermicznej dostarczone ciepło jest równe zero, gdyż nie zmienia się temperatura układu. Praca wykonana nad układem ma postać
więc dla przemiany izochorycznej praca jest równa zero.

Celem naszego ćwiczenia jest wyznaczenie stosunku
dla powietrza w tym celu posługujemy się zestawem pomiarowym przedstawionym na poniższym rysunku.

Przyrząd służący do wyznaczania stosunku ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości zbudowany jest ze szklanej butli o pojemności kilkudziesięciu litrów odizolowanej cieplnie od otoczenia poprzez ścianki adiabatyczne. Za pomocą zawór reguluje się ciśnienie panujące w butli, a także czas rozprężania gazu, który powinien być możliwie krótki z uwagi na to, iż jest to rozprężanie adiabatyczne. Przy pomocy manometru zaopatrzonego w skalę odczytuje się różnicę poziomu cieczy co umożliwia obliczenie stosunku

.

2.Wyprowadzenie wzoru roboczego

1. 
   

2. 
   

P₀ - ciśnienie zewnętrzne

T₀ - temperatura otoczenia

3.Tabele otrzymanych wyników pomiarowych

Lp.
1	8	1,9
2	7,9	1,8
3	8	1,9
4	8	2
5	8	2,1
6	7,9	1,9
7	7,9	2

4.Obliczenia

Otrzymane wartości podstawiamy do wzoru roboczego i obliczamy wartość stosunku
dla poszczególnych pomiarów. Otrzymane wyniki zawiera poniższa tabela

Lp.
1	1,311475
2	1,295082
3	1,311475
4	1,333333
5	1,355932
6	1,316667
7	1,338983

Średnia arytmetyczna stosunku
zgodnie ze wzorem
wynosi

.

5.Błędy pomiarów

Błędem pomiarowym, w tym ćwiczeniu obarczone są jednie wysokości h₁ i h₂. Błąd ten wynosi tyle samo dla obydwu wielkości
i jest równy dokładności miary znajdującej się na statywie przyrządu.

Wpierw obliczamy błąd dla poszczególnych pomiarów. W tym celu stosujemy metodę pochodnej cząstkowej, która w naszym przypadku określona jest wzorem

gdzie
jest pochodną cząstkową stosunku
po pierwszej wysokości,
jest pochodną cząstkową stosunku
po drugiej wysokości. Podstawiwszy wyrażenie na stosunek
i obliczając pochodne cząstkowe otrzymujemy

Po podstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy

Lp.
1	0,053212
2	0,052137
3	0,053212
4	0,055556
5	0,058029
6	0,054444
7	0,05688

Po zaokrągleniu błędu do dwóch miejsc znaczących, stosunek
dla poszczególnych pomiarów możemy zapisać w następującej postaci

Kolejnym krokiem jest obliczenie błędu średniej wartości stosunku
. W tym celu obliczamy odchylenie standardowe, ze wzoru

,

do którego podstawiamy dane z poniższej tabeli

Lp.
1	1,311475	0,011803	0,000139
2	1,295082	0,028196	0,000795
3	1,311475	0,011803	0,000139
4	1,333333	-0,01006	0,000101
5	1,355932	-0,03265	0,001066
6	1,316667	0,006612	0,0000437136
7	1,338983	-0,0157	0,000247
			=0,002925

stąd mamy

.

Aby obliczyć błąd bezwzględny należy otrzymany wynik pomnożyć przez odpowiedni współczynnik Studenta-Fishera
, który zależy od liczby pomiarów n i poziomu ufności α. W naszym przypadku współczynnik ten wynosi
( dla siedmiu pomiarów i poziomu ufności α=0,95 ), więc błąd bezwzględny wynosi

.

Ostatecznie po zaokrągleniu błędu do dwóch miejsc znaczących, średni stosunek
możemy zapisać w następującej postaci

6.Wnioski

W trakcie pomiaru zaobserwować można trzy przemiany:

• sprężanie izotermiczne - stała temperatura

• adiabatyczne rozprężanie - brak wymiany ciepła z otoczeniem

• izochoryczne ogrzewanie - stała objętość

Teoretycznie wartość stosunku κ dla powietrza wynosi 1,4. Związane jest to z procentową zawartością pierwiastków w powietrzu. Powietrze zawiera w głównej mierze mieszaninę gazów dwuatomowych azotu (N₂) i tlenu (O₂) (ponad 90%). Dlatego też traktuje się powietrze praktycznie jako gaz dwuatomowy.

Pomiar stosunku
metodą Clement-Desormesa wymaga od układu pomiarowego braku wymiany ciepła z otoczeniem (ścianki adiabatyczne) jednak w praktyce jest to bardzo trudne do zrealizowania. W badanym układzie rolę izolatora cieplnego spełnia styropian. Dodatkowy problem stanowi czas rozprężania adiabatycznego, który powinien być jak najkrótszy. Uzyskanie równych czasów rozprężania jest badanym układzie niemożliwe, dlatego też nie można wyznaczyć stosunku ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości z dużą dokładnością.

---