1. Obliczyć całki:
π
e
ˆ
4
ˆ
(a)
ln x dx,
(b)
tgx dx,
1
0
√2
π
2
ˆ
2
ˆ
x
1
(c)
√
dx,
(d)
dx,
1 − x4
1 + cos x
0
− π
2
6
ˆ
2
ˆ
x
e2x
(e)
√
dx,
(f)
dx,
4 + x4
1 + ex
0
0
ˆ
π
1
3
ˆ
2
1 − x
(g)
ln
dx,
(h)
x2012 sin5 x dx,
− 1
1 + x
2
− π
3
2
ˆ
4
ˆ
(i)
|1 − x| dx,
(j)
sgn 4x − x3 dx,
0
0
2
π
ˆ
5
ˆ
dx
(k)
x sgn (cos x) dx,
(l)
,
4 + 25x2
0
− 25
5
ˆ
2
ˆ
x
e2x
(ł)
dx,
(m)
dx,
x2 − 4
1 + ex
3
0
6
ˆ
2
ˆ
x
dx
(n)
√
dx,
(o)
√
,
4 + x4
3 + 2x − x2
0
1
−1
ˆ
(p)
x2e−2xdx.
−2
x
´
2. Wyznaczyć funkcję F (x) =
f (t) dt dla x ∈ [−1, 2], gdzie
−1
1
dla
x ∈ [−1, 0]
f (x) =
x
dla
x ∈ (0, 1]
x2
dla
x ∈ (1, 2]
3. Wyznaczyć funkcję f : [0, +∞) → R, określoną wzorem: x
´
(a) f (x) =
(|t − 1| + |t + 1|) dt,
0
1
´
(b) f (x) =
max {1, t2 − 4t + 4} dt.
0
4. Rozwiązać równanie:
x
ˆ
1
π
√
=
.
et − 1
6
ln 2
5. Wyznaczyć granice:
√
√
√
1 +
2 + ... +
n
(a) lim
,
n→∞
n
1
1
1
(b) lim n
+
+ ... +
,
n→∞
n2 + 12
n2 + 22
n2 + n2
1
2
n
(c) lim
+
+ ... +
,
n→∞
n2 + 12
n2 + 22
n2 + n2
π
π
2π
nπ
(d) lim
sin
+ sin
+ ... + sin
,
n→∞ n
n
n
n
1
1
1
(e) lim
√
+ √
+ ... + √
.
n→∞
4n2 − 12
4n2 − 22
4n2 − n2
a
´
6. Funkcja f jest funkcją nieparzystą w przedziale [−a, a]. Wykazać, że f (x) dx = 0.
−a
a
á
´
7. Funkcja f jest funkcją parzystą w przedziale [−a, a]. Wykazać, że f (x) dx = 2
f (x) dx.
−a
0
8. Funkcja f jest funkcją ciągłą w przedziale [0, 1]. Wykazać, że: π
π
2
´
2
´
(a)
f (sin x) dx =
f (cos x) dx,
0
0
π
ˆ
π
ˆ
π
(b)
xf (sin x) dx =
f (sin x) dx,
2
0
0
π
π
ˆ
2
ˆ
(c)
xf (sin x) dx = π
f (sin x) dx.
0
0
π
ˆ
x sin x
9. Obliczyć całkę
dx.
1 + cos2 x
0
10. Obliczyć pole ograniczone krzywymi: (a) y = x2 − x − 6 oraz y = −x2 + 5x + 14, 2
(b) y =
oraz y = x2,
x2 + 1
(c) xy = 4 oraz x + y = 5,
(d) y2 = 2x oraz x2 + y2 − 4x = 0, (e) r = a sin 2ϕ; a > 0, ϕ ∈ [0, 2π], (f) y = x2 − 2 |x| oraz y = 2 − |x|, (g) r = a sin ϕ; a > 0,ϕ ∈ [0, π],
√
h
π π i
3π 5π
(h) r = a cos 2ϕ; a > 0, ϕ ∈ − ,
∪
,
,
4 4
4
4
(i) r = a (1 + cos ϕ); a > 0, ϕ ∈ [0, 2π].
11. Obliczyć pole ograniczone osią OX i pierwszym łukiem cykloidy x = a (t − sin t), y = a (1 − cos t), (a > 0, t ∈ [0, 2π]).
12. Obliczyć pole ograniczone asteroidą x = a cos3 t, y = a sin3 t, (a > 0, t ∈ [0, 2π]).
13. Obliczyć długości łuku krzywej:
1
(a) y = ln (1 − x2); x ∈ 0,
,
2
√
(b) y =
x; x ∈ [1, 4],
√
√
(c) y = ln x; x ∈ 3, 2 2,
(d) r = aϕ; ϕ ∈ [0, 2π],
(e) r = a (1 + cos ϕ); a > 0, ϕ ∈ [0, 2π],
√
h
π π i
3π 5π
(f) r = a cos 2ϕ; a > 0, ϕ ∈ − ,
∪
,
,
4 4
4
4
(g) x = a cos3 t, y = a sin3 t, (a > 0, t ∈ [0, 2π]), (h) x = a (t − sin t), y = a (1 − cos t), (a > 0, t ∈ [0, 2π]).
14. Obliczyć objętość oraz pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi OX:
(a) x2 + (y − b)2 = a2; a, b > 0, b − a > 0, 3
(b) x = a cos3 t, y = a sin3 t, (a > 0, t ∈ [0, 2π]), (c) x = a (t − sin t), y = a (1 − cos t), (a > 0, t ∈ [0, 2π]).
15. Obliczyć całki niewłaściwe:
+∞
ˆ
+∞
ˆ
+∞
ê− 1x
dx
(a)
xe−x2dx,
(b)
dx,
(c)
,
x2
x2 + 9
√
0
1
3
−1
ˆ
1
â
ˆ
dx
x
dx
(d)
√
dx,
(e)
dx,
(f)
√
,
x x2 − 1
1 − x
a2 − x2
−∞
0
0
3
ê
ˆ
0
ˆ 1
x
dx
e x
(g)
dx,
(h)
,
(i)
dx.
x2 − 4
x ln x
x3
2
1
−1
4