Całka Oznaczona

1. Obliczyć całki:

(a)

e

ˆ

1

ln x dx,

(b)

π

4

ˆ

0

tgx dx,

(c)

√

2

2

ˆ

0

x

√

1 − x

4

dx,

(d)

π

2

ˆ

−

π

2

1

1 + cos x

dx,

(e)

6

ˆ

0

x

√

4 + x

4

dx,

(f)

2

ˆ

0

e

2x

1 + e

x

dx,

(g)

ˆ

1
2

−

1
2

ln

1 − x

1 + x

dx,

(h)

π

3

ˆ

−

π

3

x

2012

sin

5

x dx,

(i)

2

ˆ

0

|1 − x| dx,

(j)

4

ˆ

0

sgn 4x − x

3

dx,

(k)

π

ˆ

0

x sgn (cos x) dx,

(l)

2
5

ˆ

−

2
5

dx

4 + 25x

2

,

(ł)

5

ˆ

3

x

x

2

− 4

dx,

(m)

2

ˆ

0

e

2x

1 + e

x

dx,

(n)

6

ˆ

0

x

√

4 + x

4

dx,

(o)

2

ˆ

1

dx

√

3 + 2x − x

2

,

(p)

−1

ˆ

−2

x

2

e

−2x

dx.

2. Wyznaczyć funkcję F (x) =

x

´

−1

f (t) dt dla x ∈ [−1, 2], gdzie

f (x) =























1

dla

x ∈ [−1, 0]

x

dla

x ∈ (0, 1]

x

2

dla

x ∈ (1, 2]

3. Wyznaczyć funkcję f : [0, +∞) → R, określoną wzorem:

(a) f (x) =

x

´

0

(|t − 1| + |t + 1|) dt,

1

(b) f (x) =

x

´

0

max {1, t

2

− 4t + 4} dt.

4. Rozwiązać równanie:

x

ˆ

ln 2

1

√

e

t

− 1

=

π

6

.

5. Wyznaczyć granice:

(a) lim

n→∞

√

1 +

√

2 + ... +

√

n

n

,

(b) lim

n→∞

n



1

n

2

+ 1

2

+

1

n

2

+ 2

2

+ ... +

1

n

2

+ n

2



,

(c) lim

n→∞



1

n

2

+ 1

2

+

2

n

2

+ 2

2

+ ... +

n

n

2

+ n

2



,

(d) lim

n→∞

π

n



sin

π

n

+ sin

2π

n

+ ... + sin

nπ

n



,

(e) lim

n→∞



1

√

4n

2

− 1

2

+

1

√

4n

2

− 2

2

+ ... +

1

√

4n

2

− n

2



.

6. Funkcja f jest funkcją nieparzystą w przedziale [−a, a]. Wykazać, że

a

´

−a

f (x) dx = 0.

7. Funkcja f jest funkcją parzystą w przedziale [−a, a]. Wykazać, że

a

´

−a

f (x) dx = 2

a

´

0

f (x) dx.

8. Funkcja f jest funkcją ciągłą w przedziale [0, 1]. Wykazać, że:

(a)

π

2

´

0

f (sin x) dx =

π

2

´

0

f (cos x) dx,

(b)

π

ˆ

0

xf (sin x) dx =

π

2

π

ˆ

0

f (sin x) dx,

(c)

π

ˆ

0

xf (sin x) dx = π

π

2

ˆ

0

f (sin x) dx.

9. Obliczyć całkę

π

ˆ

0

x sin x

1 + cos

2

x

dx.

10. Obliczyć pole ograniczone krzywymi:

(a) y = x

2

− x − 6 oraz y = −x

2

+ 5x + 14,

2

(b) y =

2

x

2

+ 1

oraz y = x

2

,

(c) xy = 4 oraz x + y = 5,

(d) y

2

= 2x oraz x

2

+ y

2

− 4x = 0,

(e) r = a sin 2ϕ; a > 0, ϕ ∈ [0, 2π],

(f) y = x

2

− 2 |x| oraz y = 2 − |x|,

(g) r = a sin ϕ; a > 0,ϕ ∈ [0, π],

(h) r = a

√

cos 2ϕ; a > 0, ϕ ∈

h

−

π

4

,

π

4

i

∪

 3π

4

,

5π

4



,

(i) r = a (1 + cos ϕ); a > 0, ϕ ∈ [0, 2π].

11. Obliczyć pole ograniczone osią OX i pierwszym łukiem cykloidy x = a (t − sin t), y = a (1 − cos t),

(a > 0, t ∈ [0, 2π]).

12. Obliczyć pole ograniczone asteroidą x = a cos

3

t, y = a sin

3

t, (a > 0, t ∈ [0, 2π]).

13. Obliczyć długości łuku krzywej:

(a) y = ln (1 − x

2

); x ∈



0,

1

2



,

(b) y =

√

x; x ∈ [1, 4],

(c) y = ln x; x ∈



√

3, 2

√

2

,

(d) r = aϕ; ϕ ∈ [0, 2π],

(e) r = a (1 + cos ϕ); a > 0, ϕ ∈ [0, 2π],

(f) r = a

√

cos 2ϕ; a > 0, ϕ ∈

h

−

π

4

,

π

4

i

∪

 3π

4

,

5π

4



,

(g) x = a cos

3

t, y = a sin

3

t, (a > 0, t ∈ [0, 2π]),

(h) x = a (t − sin t), y = a (1 − cos t), (a > 0, t ∈ [0, 2π]).

14. Obliczyć objętość oraz pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi

OX:

(a) x

2

+ (y − b)

2

= a

2

; a, b > 0, b − a > 0,

3

(b) x = a cos

3

t, y = a sin

3

t, (a > 0, t ∈ [0, 2π]),

(c) x = a (t − sin t), y = a (1 − cos t), (a > 0, t ∈ [0, 2π]).

15. Obliczyć całki niewłaściwe:

(a)

+∞

ˆ

0

xe

−x

2

dx,

(b)

+∞

ˆ

1

e

−

1
x

x

2

dx,

(c)

+∞

ˆ

√

3

dx

x

2

+ 9

,

(d)

−1

ˆ

−∞

dx

x

√

x

2

− 1

dx,

(e)

1

ˆ

0

x

1 − x

dx,

(f)

a

ˆ

0

dx

√

a

2

− x

2

,

(g)

3

ˆ

2

x

x

2

− 4

dx,

(h)

e

ˆ

1

dx

x ln x

,

(i)

0

ˆ

−1

e

1
x

x

3

dx.

4