Egzamin dla Aktuariuszy z 27 marca 1999 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

N=10-X X – liczba białych w losowaniu 2 kul

10





 2 

1 !

0 2 ⋅1 !

8

9 ⋅10

9

P( X = 0) =

=

=

=

 20

2 ⋅ !

8 2 !

0

19 ⋅ 20

38





 2 

100

100 ⋅ 2 ⋅1 !

8

200

10

P( X = )

1 =

=

=

=

 20

2 !

0

19 ⋅ 20

19





 2 

9

P( X = 2) =

38

10

18

38

EX =

+

=

= 1

19

38

38

2

20

36

56

28

EX

=

+

=

=

38

38

38

19

28

19

9

var X =

−

=

19

19

19

9

var N = var X =

19

Zadanie 2

Tu chyba błąd bo wychodzi 7/16

x +

x

0,25

+0,25

0,5 2

,

1 5 2

2

1

ODP = ∫ ∫ 1 dydx + ∫ ∫ 1 dydx + ∫ ∫ 1 dydx = 7

2

2

2

16

0

0

0,5 x −

,

1 5 x

0,25

−0,25

2

2

Zadanie 3

k

SSA = n∑ ( x

x 2

i⋅ −

⋅ )

i=1

k

n

SSE = ∑ ∑ ( x

x 2

ij −

i⋅ )

i=1 j=1

SSA /( k − )

1

F =

SSE /[ k( n − ) 1 ]

K = { F ≥ f

1− α / k − ,

1 k ( n− )

1 }

9

H

: k = ,

2 n = 1 ,

0 y ⋅ = 3 ,

0 y ⋅ = 3 ,

1 y ⋅ = 30 ;

5

, SSA = ;

5 SSE = 4 ;

0 kw = ,

4 4 ;

1 F =

12

1

2

4

przyjmujemy

H

: y ⋅ = 3 ;

1 y ⋅ = 3 ;

2 y ⋅ = 31 ;

5

, SSA = ;

5 SSE = 4 ;

5 kw = ,

4 4 ;

1 F = 2 przyjmujemy

23

2

3

H

: y ⋅ = 3 ;

0 y ⋅ = 3 ;

2 y ⋅ = 3 ;

1 SSA = 2 ;

0 SSE = 3 ;

5 kw = ,

4 4 ;

1 F = 1 ,

0 28 odrzucamy

13

1

3

H

: k = ;

3 n = 1 ;

0 y ⋅ = 3 ;

0 y ⋅ = 3 ;

1 y ⋅ = 3 ;

2 y ⋅ = 3 ;

1 SSA = 2 ;

0 SSE = 6 ;

0 kw = 3

,

3

;

5 F =

5

,

4

> 3

,

3 5

123

1

2

3

odrzucamy

czyli odpowiedź (D)

Zadanie 4

θ > θ

1

0

p ( x)

χ

x

θ 1

( θ 1− θ 0) n ( θ ;1∞)( n: 1 )

= 2

rosnąca x

n

:

1

p ( x)

χ

x

θ 0

( θ 0 ∞

; ) (

n

:

1 ) →

statystyka: x

n

:

1

P

θ ( x n ≥ c =

:

1

) 0,

0 1

0

−

P n

≥ =

=

→ −

=

→ =

θ ( X

c)

cn ln 2

ln100

e

,

0 01

cn ln 2

ln ,

0 01

c

0

n ln 2

moc

P

X

c

e

θ

= nθ ( ≥ )

− n ln 2( c− 1

θ )

=

≥ ,

0 64

1

1

− n ln (

2 c − θ ≥

1 )

ln 6

,

0 4

ln100 − ln 64

c − θ ≤

1

n ln 2

ln100

ln100 − ln 64

− θ ≤

1

n ln 2

n ln 2

ln100 − θ n ln 2 ≤ ln100 − ln 64

1

θ n ln 2 ≥ ln 64

1

ln 64

6 ln 2

6

n ≥

=

=

θ ln 2

θ ln 2

θ

1

1

1

Zadanie 5

P( N = )

1 = 3 3

p 1

( − p) 4 próby

 4

 4

3

2

P( N = 2) =

p 1

(

 

− p) 5 prób (wybór porażek na   )

 2

 2

3

3

3 p 1

( − p) = 6 p (

2

1 − 2 p + p )

2

3 − 3 p = 6 −12 p + 6 p 2 2

p − 3 p + 1 = 0

∆ = 9 − 4 ⋅ 2 = 1

3 −1

3 + 1

1

p =

; p =

= o

1 dpada → P =

1

2

4

4

2

Zadanie 6

!

3

Wiemy: f

=

F ( x)2 f x = F

x f x

3

( )

3 2 ( ) ( )

X max

!

0

!

2

!

3

f

= (1− F( x))2 f x =

− F x

f x

3

( )

(31 ( ))2 ( )

X min

!

2

f

= F x f x

2

2 ( ) ( )

X max

f

=

− F x f x

2

2(1

( )) ( )

X min

L = ∫ 3

2

xF ( x) f ( x) − 3 x(1 − F ( x))2 f ( x) = ∫ 3 xf ( x)(2 F( x) − ) 1

3

3

P =

∫ 2 xF( x) f ( x) − 2 xf ( x)(1− F( x)) = ∫ 2 xf ( x)(2 F( x) − ) 1 = L

2

2

Odpowiedź prawidłowa (A)

Zadanie 7

∞

∞

2

∞

λx

2

α =

f ( x) = ∫ f ( x λ) f ( λ) dλ = ∫ −

−

3

2

λe

e

λ

λ dλ = 4∫ 2 − λ(2+ x) λ e

=

=

Γ(2)

β = 2 + x

0

0

0

2

8

= 4

=

≅ Pareto( ;

2 2)

(2 + x)3

(2 + x)2

2

 2 

1

4

1

F ( x)

X

= 1− 

 =

→

= → (2 + x)2 = 8 → 2 + x = 8

 2 + x 

2

(2 + x)2

2

x = med = 8 − 2 ≈ 8

,

0 28

Zadanie 8

( X 2

2

2

2

2

2

t −

n XX

t

t + n X

t

)

∑

= ∑ Xt − 2 X 2 n + X 2 = ∑ X

n

t

− X 2 n

n

n

n

t

t

t

2



+ +



2

X

...

X

σ

1

1

X

E

= E

T



 =

σ n + µ n

=

+ µ

2 ( 2

2

) 2

2

2



n



n

n

E( X + ... + X

=

1

T )

n

µ

var( X + ... + X

2

=

1

T )

σ n

T

 2



ODP = ∑ ( σ 2 +

2

σ

n µ

n

µ 2

σ 2 T

nµ 2

σ 2

nµ 2

σ 2 T

(

)

1

t

) 



−

+

=

+

−

−

=

−





n

t =1





2

2

1

n

n

σ

c

T

( − )

1 = σ → c =

=

=

T −1

n T

( − )

1

Tn − n

Zadanie 9

1. X ≅ N (

2

;

µ σ

2. X ≅ N (

2

2 ;

µ 2 σ

1

)

1

)

X ≅ N (

2

2 ;

µ 2 σ

X ≅ N (

2

;

µ σ

2

)

2

)

1. X − X ≅ N − µ 3

; σ

= Y

1

(

2

2

) 1

X + X ≅ N 3 µ 3

; σ

= Y

1

(

2

2

) 2

2

 Y + µ 

1



 ≅ χ )

1

(



3 σ 

E( Y + µ

= 3 σ

1

)2

2

2

2

2

EY + 2 E

µ Y + µ = 3 σ

1

1

2

2

2

2

2

2

EY

= 3 σ + 2 µ − µ = 3 σ + µ

1

2

 Y − 3 µ 

2



 ≅ χ )

1

(



3 σ 

E( Y − 3 µ

= 3 σ

2

)2

2

2

2

2

EY − 6 E

µ Y + 9 µ = 3 σ

2

2

2

2

2

2

2

EY

= 3 σ + 6 µ ⋅3 µ − 9 µ = 3 σ + 9 µ

2

dla 2 wychodzi tak samo

Eest = a(3 2

2

σ + µ )+ b(3 2

σ + 9 2

µ )

2

= σ (3 a + 3 b) 2

+ µ ( a + 9 b)

 a + 9 b = 0



→ 3 a + 27 b = 0 → 24 b = −1

3

 a + 3 b = 1

1

3

b = −

; a =

24

8

Zadanie 10

χ )

3

(

− kw = 7 8

, 15

0,05

−1

p = e

0

−1

p = e

1

1

p

5

,

0

−

=

e

2

−1

p = 1 − 5

,

2 e

3

(

−

−

−

−

n −135 − ne )2

1

(70− ne )21 (40− 5,

0 ne )2

1

(25− n(1− 5,

2 e ) 2

1

χ =

+

+

+

1

−

1

−

1

ne

ne

5

,

0

−

ne

n(

1

1 − 5

,

2

−

e )

2

n (1−

−1

2 e

+ −2

e

)−270 n(1− −1

e )+

2

2

135

70 −

−1

140 ne

+ 2 −2

n e

2( 2

40 −

−1

40 ne

+

2 −2

,

0 25 n e

)

+

+

+

−1

−1

−1

e

e

e

2

−

−

252 − 50 n(1−

e

5

,

2

1 )+ n 2(1− e

5

,

2

1 )

+

≤ 7 8

, 15 n

1 −

e

5

,

2

1

−

2

n [ e − 2 + −1

e

+ −1

e

+

−

5

,

0

1

e

+1−

−

5

,

2

1

e ]+ [

n − 270 e + 270 −140 − 80 − 50 − 7 8

, 1 ]

5 +

2

2

2

252

+135 e + 70 e + 2 ⋅ 40 e +

≤ 0

−

1 − 5

,

2

1

e

2

625

n ( e − )

1 − n(270 e + 7 8

, 1 )

5 + 26325 e +

≤ 0

−

1 − 5

,

2

1

e

∆ ≅ 6 ,

9 76

n ≈ 195 3

, 3

1

n ≈ 236 1

, 4

2

Z tego najmniejsze n=196