Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(
)
∑
∞
=
=
⋅⋅
⋅
⋅
=
1
2
1
)
(
n
n
n
N
P
X
X
X
E
ODP
(
)
=
⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
−
−
−
−
1
0 0 0
0
1
0 0
0
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
...
1
...
x x
x
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
X
X
E
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
+
=
=
−
=
=
⋅
=
=
−
−
−
−
−
1
0
1
1
0 0
0
1
0 0
0
1
0 0
1
2
3
2
2
1
)!
1
(
1
!
)!
1
(
...
3
2
...
2
...
1
2
1
3
1
n
n
x
n
x
x
x
n
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
−
−
=
−
=
−
=
−
+
=
1
2
2
2
2
1
1
)
1
(
!
)
1
(
!
1
)
1
(
)!
1
(
1
n
k
k
q
q
k
k
n
q
e
q
e
k
q
q
q
k
q
q
n
ODP
[
]
(
)
1
1
1
1
2
2
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
q
e
q
q
e
qe
e
q
q
q
q
q
q
Zadanie 2
(
) (
)
(
)
(
)
X
Z
Y
E
X
E
X
Z
Y
X
EE
Z
Y
X
E
2
2
2
2
2
2
)
2
(
)
2
(
)
2
(
−
=
−
=
−
0
1
2
2
)
2
(
=
⋅
−
=
−
Z
Y
E
1
2
1
4
4
1
4
2
)
,
cov(
4
2
var
var
)
2
var(
=
⋅
−
⋅
+
=
−
+
=
−
Z
Y
Z
Y
Z
Y
2
1
0
2
2
1
)
,
cov(
2
)
,
cov(
)
2
,
cov(
=
⋅
−
=
−
=
−
Z
X
Y
X
Z
Y
X
(
)
X
X
X
Z
Y
E
4
1
)
0
(
2
5
,
0
0
2
=
−
+
=
−
(
)
8
7
1
2
5
,
0
1
2
var
2
=
⋅
−
=
−
X
Z
Y
(
)
2
5
4
10
4
3
4
7
4
3
16
1
2
8
7
16
1
8
7
16
1
8
7
)
2
(
4
2
2
2
2
2
=
=
+
=
⋅
⋅
+
⋅
=
+
=
+
=
−
EX
EX
X
X
E
X
Z
Y
E
(
)
(
)
2
1
)
0
0
(
2
2
1
)
,
cov(
2
)
,
cov(
2
)
2
(
=
+
−
=
+
−
+
=
−
=
−
EXEZ
Z
X
EXEY
Y
X
EXZ
EXY
Z
Y
X
E
(
)
4
9
4
1
10
4
1
2
5
2
1
2
5
)
2
(
var
2
=
−
=
−
=
−
=
−
Z
Y
X
Zadanie 3
∫
∫
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
<
2
2
2
0
2
0
1
2
2
)
(
t
t
θ
w
θ
t
x
θ
e
dw
e
θ
dw
xdx
w
x
xe
θ
t
X
P
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
)
(
d
t
θ
d
θ
t
θ
d
θ
e
e
e
e
d
X
P
t
X
d
P
d
X
t
X
P
−
−
−
−
−
−
=
−
=
>
<
<
=
>
<
(
)
(
)
)
;
(
)
(
)
(
2
2
2
∞
∈
=
=
=
>
<
−
−
d
y
y
f
t
f
te
θ
d
X
t
X
P
dt
d
d
t
θ
( )
−
=
∑
=
k
i
i
k
d
θ
k
y
θ
e
θ
L
1
2
exp
)
2
(
2
∑
=
−
+
=
k
i
i
y
θ
k
d
θ
θ
k
L
1
2
2
)
2
ln(
ln
∑
∑
∑
=
−
=
→
=
−
+
→
=
−
+
⋅
=
k
i
i
i
i
k
d
y
k
θ
θ
y
θ
k
d
θ
k
y
k
d
θ
k
L
θ
d
d
1
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
ln
max
0
2
2
2
→
<
−
=
θ
k
θ
d
d
∑
−
=
k
d
y
k
θ
i
2
2
ˆ
dla
( ) (
)
(
)
(
)
=
=
=
<
<
=
<
∞
∈
∫
∫
−
−
−
t
d
x
θ
t
d
d
θ
d
x
θ
xe
e
θ
dx
xe
θ
t
Y
d
P
t
Y
P
d
t
2
2
2
2
2
2
;
2
2
(
)
( )
∫
−
−
−
−
−
−
=
−
=
=
=
=
=
t
d
d
t
θ
t
θ
d
θ
d
θ
w
θ
d
θ
e
e
e
θ
e
θ
e
e
θ
dw
xdx
w
x
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
( )
2
2
; d
θ
wykl
Y
i
≅
- przesunięty wykładniczy
(
)
∑
Γ
≅
2
2
;
;
kd
θ
k
Y
i
∑
Γ
≅
−
)
;
(
2
2
θ
k
k
d
Y
i
∫
∫
∞
∞
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
Γ
Γ
=
=
−
=
=
Γ
=
Γ
=
0
0
1
1
2
1
1
)
1
(
)!
2
(
)!
2
(
)
1
(
)
(
1
)
(
)
(
k
θ
k
θ
k
k
k
θ
k
θ
k
k
θ
k
θ
β
k
α
e
x
k
θ
k
dx
e
x
k
θ
x
k
ODP
k
k
k
k
x
θ
k
k
x
θ
k
k
Zadanie 4
(
)
(
)
4
3
2
1
,
,
max
X
X
X
X
P
ODP
≥
=
(
)
(
)
(
)
3
5
,
0
4
3
2
1
,
,
max
t
e
t
X
X
X
P
−
−
=
<
(
)
(
)
2
5
,
0
5
,
0
5
,
0
2
5
,
0
max
1
5
,
1
5
,
0
1
3
)
(
t
t
t
t
e
e
e
e
t
f
−
−
−
−
−
=
⋅
−
=
t
X
e
t
f
−
=
)
(
1
(
)
(
)
∫ ∫
∫
∞ ∞
∞
−
−
−
−
−
−
−
=
+
−
=
−
⋅
=
0
0
5
,
0
5
,
0
2
5
,
0
5
,
0
2
1
5
,
1
1
5
,
1
x
x
x
x
x
x
x
y
e
e
e
e
dydx
e
e
e
ODP
(
)
∫
∞
−
−
−
=
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
0
5
,
2
2
5
,
1
10
1
15
1
2
3
15
6
15
10
2
3
5
2
1
3
2
2
3
5
,
2
1
2
2
5
,
1
1
5
,
1
2
5
,
1
x
x
x
e
e
e
Zadanie 5
VZ
X
V
Z
Y
Y
X
X
V
=
−
=
→
+
=
,
)
1
(
2
2
2
{
}
z
v
vz
z
Z
V
y
x
x
y
D
1
1
)
1
,
0
(
)
1
,
0
(
,
:
1
0
,
0
:
2
2
<
→
<
∈
∈
=
∆
→
<
+
>
>
)
1
(
4
1
2
1
1
2
2
2
)
,
(
)
,
(
v
v
z
v
v
z
z
v
v
z
z
v
D
y
x
D
−
=
−
−
−
=
z
v
v
v
z
zv
z
v
f
2
)
1
(
4
1
)
1
(
8
)
,
(
=
−
−
=
∫
∈
=
=
1
0
)
1
,
0
(
1
2
)
(
v
z
v
f
Zadanie 6
(
)
(
)
∑
∑
=
=
+
+
=
−
+
−
=
−
n
i
n
i
m
n
n
n
i
m
n
i
X
X
X
X
X
X
1
1
2
2
(
)
(
)(
)
(
)
∑
∑
∑
=
=
=
+
+
=
−
+
−
−
+
−
=
n
i
n
i
n
i
m
n
n
m
n
n
n
i
n
i
X
X
X
X
X
X
X
X
1
1
1
2
2
2
(
)
(
)
(
)
∑
∑
∑
=
=
=
+
+
+
=
−
+
+
−
−
+
−
=
n
i
n
i
n
i
m
n
n
m
n
n
n
m
n
i
i
n
n
i
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
1
1
1
2
2
2
2
(
)
[
]
∑
=
+
+
+
+
−
−
+
−
=
n
i
m
n
n
n
m
n
n
n
n
i
X
X
n
X
n
X
X
n
X
n
X
X
1
2
2
2
2
(
)
∑
=
+
+
+
+
−
+
+
−
=
+
−
+
n
i
m
n
n
m
n
n
n
i
m
n
m
n
n
n
X
X
n
X
n
X
n
X
X
X
n
X
X
n
X
n
1
2
2
2
2
2
2
2
(
)
)
1
(
2
1
2
−
=
−
∑
=
n
σ
X
X
E
n
i
n
i
≅
n
σ
µ
N
X
n
2
;
+
≅
+
m
n
σ
µ
N
X
m
n
2
;
( )
2
2
2
µ
n
σ
X
E
n
+
=
( )
2
2
2
µ
m
n
σ
X
E
m
n
+
+
=
+
(
)
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
m
n
X
X
X
X
n
X
X
E
X
X
E
m
n
n
n
n
m
n
n
...
...
...
1
1
1
(
)
(
)(
)
(
)
[
]
[
]
2
2
2
2
1
1
2
1
)
(
1
...
...
...
)
(
1
µ
mn
µ
n
σ
n
m
n
n
X
X
X
X
E
X
X
E
m
n
n
m
n
n
n
n
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
(
)
(
)
∑
=
+
=
+
+
+
−
+
+
+
+
+
−
=
−
n
i
m
n
i
µ
mn
µ
n
σ
n
m
n
n
n
µ
n
σ
m
n
n
µ
n
σ
n
σ
X
X
E
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
2
)
1
(
+
−
+
+
=
+
−
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
=
=
m
n
n
n
m
n
n
σ
m
n
mn
m
n
n
n
n
µ
m
n
n
m
n
n
n
σ
2
)
(
2
2
2
1
1
2
0
2
2
2
4
4
4
4
8
4
4
4
4
7
6
2
2
2
2
2
2
2
)
)(
1
(
)
1
)(
(
1
)
1
)(
(
σ
m
n
n
m
n
m
n
m
mn
n
n
n
nm
n
σ
n
m
n
n
nm
n
σ
σ
ET
+
−
=
−
+
+
−
+
−
−
+
=
−
−
+
−
+
=
−
Zadanie 7
( ) ( )
)
(
)
(
x
f
θ
f
θ
x
f
x
θ
f
=
( )
2
2
2
θ
x
i
i
e
θ
θ
x
f
−
Π
=
( )
∑
−
Π
=
2
2
3
3
)
2
(
i
x
θ
e
θ
θ
x
f
∫
∫
∑
∞
∞
−
−
=
+
−
Π
=
Π
=
∑
0
0
2
4
3
2
2
2
3
3
2
exp
)
2
(
)
2
(
)
(
2
β
x
θ
θ
β
θ
d
e
θ
β
e
θ
x
f
i
βθ
x
θ
i
5
2
3
2
5
2
3
2
2
2
3
2
24
8
2
5
+
Π
=
+
Π
=
+
=
=
=
∑
∑
∑
β
x
β
β
x
β
β
x
β
α
i
i
i
( )
=
+
Π
−
Π
=
∑
∑
−
2
5
2
3
2
2
3
3
3
2
2
exp
8
β
β
x
e
θ
β
x
θ
θ
x
θ
f
i
βθ
i
+
Γ
≅
Γ
+
=
=
=
=
+
+
−
=
∑
∑
∑
∑
−
β
x
e
θ
β
x
β
α
β
x
β
x
θ
θ
i
θ
i
i
i
2
;
5
)
5
(
2
...
:
5
2
2
exp
24
1
2
(...)
4
5
2
5
2
2
4
β
x
β
OZN
i
+
=
∑
2
:
:
2
∫
∞
−
=
=
=
=
=
>
Π
a
x
β
dt
β
dx
β
t
x
t
x
β
e
x
β
x
a
θ
1
4
5
2
1
2
2
24
1
∫
∫
∫
∞
∞
∞
−
−
−
−
=
=
Γ
=
=
=
a
β
a
β
a
β
t
t
t
χ
e
t
e
β
t
β
dt
β
e
β
t
β
2
2
2
2
2
1
2
10
5
2
5
5
4
5
2
4
5
)
10
(
)
5
(
2
1
2
24
2
1
2
24
...
∫
∫
∫
=
=
=
=
=
=
<
Π
−
−
b
b
β
b
β
t
x
β
χ
e
β
t
β
x
t
x
β
e
x
β
x
b
θ
1
0
2
0
2
0
2
2
5
5
4
5
4
5
)
10
(
2
24
...
2
24
1
Z tego:
b
β
a
β
2
94
,
3
,
2
307
,
18
=
=
=
+
=
+
∑
∑
=
=
6
1
2
6
1
2
94
,
3
2
307
,
18
2
i
i
i
i
b
β
x
a
β
x
+
+
=
∑
∑
=
=
94
,
3
2
;
307
,
18
2
6
1
2
6
1
2
i
i
i
i
x
β
x
β
ODP
Zadanie 8
(
)
4
;
1
Y
:
H
przy
i
0
i
x
N
+
≅
(
)
4
;
2
1
:
H
przy
1
i
i
x
N
Y
+
−
≅
(
)
(
)
(
) (
)
[
]
=
>
=
>
Π
Π
=
>
∑
∑
∑
−
+
−
−
−
−
−
−
−
+
−
t
e
P
t
e
e
P
t
f
f
P
i
i
i
i
i
i
i
i
x
y
x
y
H
x
y
n
x
y
n
H
H
2
2
0
2
2
0
0
2
1
1
8
1
8
1
8
2
1
0
1
2
2
1
2
2
1
(
)
(
)
=
>
=
∑
+
−
−
+
+
−
+
+
−
+
−
t
e
P
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
y
x
x
y
y
x
x
y
x
y
y
H
2
2
2
2
0
4
4
4
1
2
2
2
1
2
8
1
(
)
=
>
=
∑
−
+
+
−
t
e
P
i
i
i
i
i
x
x
y
x
y
H
2
0
3
6
2
4
8
1
>
−
+
−
=
>
−
+
+
−
=
∑
∑
t
x
x
x
y
P
t
x
x
y
x
y
P
i
Z
i
i
i
i
H
i
i
i
i
i
H
ln
8
3
4
3
2
1
4
1
ln
8
3
4
3
4
1
2
1
2
2
0
0
4
4
4
4
3
4
4
4
4
2
1
dygresja:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
8
1
4
3
8
3
4
1
4
1
2
1
2
1
8
3
4
3
1
2
1
4
1
−
−
=
+
−
+
+
−
−
=
−
+
+
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
EZ
(
)
2
2
2
4
1
4
2
1
4
1
var
−
=
⋅
−
=
i
i
i
x
x
Z
(
)
(
)
∑
∑
∑
−
−
−
≅
=
2
2
2
4
1
;
2
8
1
i
i
i
x
x
N
Z
X
koniec dygresji
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
645
,
1
2
4
1
2
8
1
ln
05
,
0
2
4
1
2
8
1
ln
2
4
1
2
8
1
2
2
2
2
2
2
=
−
−
+
→
=
−
−
+
>
−
−
+
=
∑
∑
∑
∑
∑
i
i
i
i
i
i
x
x
t
x
x
t
x
x
X
P
(
)
(
)
=
−
−
−
>
−
+
−
=
∑
∑
∑
2
2
2
2
8
1
2
4
1
645
,
1
8
3
4
3
2
1
4
1
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
y
x
K
(
)
(
) (
)(
)
(
)
=
−
⋅
>
−
−
−
−
+
−
−
=
∑
∑
2
2
2
1
645
,
1
2
2
8
1
2
8
3
2
4
1
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
y
x
(
)
(
)
=
−
⋅
>
−
+
+
−
−
=
∑
∑
2
2
2
1
645
,
1
8
1
4
1
8
3
4
1
2
i
i
i
i
i
x
x
x
y
x
(
)(
)
(
)
=
−
⋅
>
+
+
−
−
=
∑
∑
2
2
2
1
645
,
1
1
2
4
1
i
i
i
i
x
x
y
x
(
)(
)
(
)
→
>
−
−
−
−
=
∑
∑
=
=
29
,
3
2
1
2
1
2
1
n
i
i
n
i
i
i
i
x
x
Y
x
A jest prawidłową odpowiedzią
Zadanie 9
(
)
0
=
−
i
i
Y
X
E
(
)
(
)
2
2
2
2
4
5
2
2
4
,
cov
2
var
var
var
ρσ
σ
σ
ρσ
σ
σ
Y
X
Y
X
Y
X
i
i
i
i
i
i
−
=
⋅
−
+
=
−
+
=
−
(
)
2
2
4
5
;
0
ρσ
σ
N
Y
X
i
i
−
≅
−
(
)
i
i
i
i
Y
X
Z
W
−
=
0
0
=
⋅
=
p
EW
i
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
5
var
ρσ
σ
p
Y
X
E
EZ
W
i
i
i
i
−
=
−
=
(
)
)
1
,
0
(
4
5
2
2
2
N
n
ρσ
σ
p
W
i
→
−
∑
(
)
(
)
)
1
,
0
(
4
5
2
2
2
N
ρσ
σ
p
n
T
S
n
n
→
−
−
czyli
(
)
(
)
(
) (
)
)
4
5
(
;
0
4
5
;
0
2
2
2
ρ
σ
p
N
ρσ
σ
p
N
n
T
S
n
n
−
=
−
→
−
Zadanie 10
Z TEORII SERII
8 – a
6 – b
n=8
m=6
2k=6 stąd k=3 (6 serii)
=
+
=
Ω
6
14
6
6
8
−
−
−
−
=
1
3
1
6
1
3
1
8
2
A
143
20
2
13
11
30
5
24
5
2
14
13
12
11
10
9
6
5
24
5
2
7
6
6
5
24
14
13
12
11
10
9
2
5
4
2
7
6
2
6
14
2
5
2
7
2
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
ODP
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2008.03.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2001 03 24 prawdopodobie stwo i statystykaid 21605
2008.06.02 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.05.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2008 12 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 26466
2003 05 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21698
2008 06 02 prawdopodobie stwo i statystykaid 26454
2008.10.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.12.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.01.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2006.03.20 prawdopodobie stwo i statystyka
2001.03.24 prawdopodobie stwo i statystyka
2006 03 20 prawdopodobie stwo i statystykaid 25453
1999.03.27 prawdopodobie stwo i statystyka
2000 06 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21573
2005 01 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 25338
1999 03 27 prawdopodobie stwo i statystykaid 18592
2001 03 24 prawdopodobie stwo i statystykaid 21605
więcej podobnych podstron