N ={0,1,2,3,…n-3,n-2,n-1}

Zbiór liczb naturalnych

C={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Zbiór liczb całkowitych

Def.Liczba wymierna to taka liczba którą można zapisad w
postaci ułamka zwykłego.
(Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest skooczone lub
nieskooczone-okresowe)

W

Nawiasy[,(,),].
Pierwiastki,Potęgi
Iloczyn, Iloraz
Suma,różnica

Cechy podzielności liczb naturalnych

Liczba naturalna jest podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnia cyfra jest
jedną z następujących: 0, 2, 4, 6 lub 8.

Liczba naturalna jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli
się przez 3.

Liczba naturalna jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wyrażona
dwiema ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 4.

Liczba naturalna jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą jest
0 lub 5.

Liczba naturalna jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez 2 i
przez 3.

Liczba naturalna jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między
liczbą wyrażoną trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną pozostałymi
cyframi tej liczby dzieli się przez 7.

Liczba naturalna jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wyrażona
trzema ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 8.

Liczba naturalna jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli
się przez 9.

Liczba naturalna jest podzielna przez 10 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą
jest 0.

Liczba naturalna jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy różnica sumy jej
cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach
nieparzystych dzieli się przez 11.

Jeżeli

jest dowolną liczbą naturalną to:

liczba postaci

jest podzielna przez 2,

liczba postaci

lub

jest podzielna przez 6, gdyż wśród trzech

kolejnych liczb co najmniej jedna dzieli się przez 2 i jedna dzieli się przez 3.
Jeżeli w takim iloczynie liczb środkowa jest nieparzysta, to wyrażenie dzieli się przez
24, bo co druga liczba parzysta dzieli się przez 4.

PROCENTY

Procenty to ułamki o mianowniku 100.

Ogólnie można zapisać:

Zamiana liczby na procent
Aby zamienić liczbę na procent należy pomnożyć tą liczbę przez 100 i dopisać znak
%.
Przykład
Należy zamienić liczbę 2 na procent.
Aby rozwiązać to zadanie mnożymy liczbę przez 100 i dopisujemy znak %:

Zamiana procentu na liczbę
Aby zamienić procent na liczbę należy podzielić liczbę wyrażającą procent przez 100.
Przykład
Należy zamienić 25% na liczbę.

Obliczanie procentu z liczby
Aby obliczyć procent z danej liczby należy pomnożyć liczbę przez ten procent.
Przykład
Należy obliczyć 20% z liczby 150.

Obliczanie liczby z danego jej procentu
Aby obliczyć liczbę z danego jej procentu należy podzielić liczbę przez dany procent.
Przykład

20 % pewnej liczby jest równe 30. Jaka to liczba?

Obliczanie jakim procentem pierwszej liczby jest druga liczba
Aby obliczyć jakim procentem pierwszej liczby jest druga liczba należy drugą liczbę
podzielić przez pierwszą i otrzymany wynik przedstawić w procentach.
Przykład
Jakim procentem liczby 20 jest liczba 4?

WZÓR NA PROCENR SKŁADNY

Oznaczmy:

K - wielkość kapitału początkowego
K

1

- wielkość kapitału po upływie 1 okresu

K

2

- wielkość kapitału po upływie 2 okresu

K

3

- wielkość kapitału po upływie 3 okresu

K

n

- wielkość kapitału po upływie n-tego okresu

p - stopa zwrotu (oprocentowanie) w procentach liczone za jeden okres
Dla takich oznaczeń prawdziwe są następujące wzory:

Ostatni wzór jest wartością kapitału po uływie n-okresów dla podanych warunków.
Procent składany - zadania
Zadanie 1
Zainwestowano w lokatę kwotę 1000 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 7% w
stosunku rocznym.Ile będzie wynosił kapitał po 12 latach? Odsetki są kapitalizowane
co rok.

Zadanie 2
Jaki trzeba zainwestować kapitał w lokatę, aby po 10 latach uzyskać 5000 zł przy
rocznym oprocentowaniu 5%. Odsetki są kapitalizowane co rok.

POTĘGI

Dodawanie ułamków zwykłych
Jeżeli dwa ułamki mają identyczne mianowniki to aby je dodać należy dodać liczniki
tych ułamków a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Przykład 1

Jeśli mianowniki ułamków są różne, wówczas należy najpierw sprowadzić ułamki do
wspólnego mianownika.
Przykład 2

Odejmowanie ułamków zwykłych
Jeżeli dwa ułamki mają identyczne mianowniki to aby je odjąć należy odjąć liczniki
tych ułamków a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Przykład 1

Jeśli mianowniki ułamków są różne, wówczas należy najpierw sprowadzić ułamki do
wspólnego mianownika.
Przykład 2

Mnożenie ułamków zwykłych
Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe należy wymnożyć ze sobą liczniki i mianowniki:

Przykład 1

Dzielenie ułamków zwykłych
Podzielenie ułamków zwykłych jest równoznaczne z wymnożeniem pierwszego
ułamka przez odwrotność drugiego:

Przykład 1

Skracanie ułamków zwykłych
Licznik i mianownik dowolnego ułamka można podzielić przez tą samą liczbę różną
od 0. Operację tą nazywa się skracaniem ułamków.
Przyklad 1
W tym przykładzie ułamek 4/20 skracamy przez 4.

Przy skracaniu ułamków może być pomocny
Sprowadzanie do wspólnego mianownika
Jeśli dwa ułamki, które chcemy na przykład dodać mają różne mianowniki to należy
najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika. Dąży się do tego aby wspólny
mianownik był możliwie najmniejszy. Zwykle staramy się aby był on Najmniejszą
Wspólną Wielokrotnością (NWW) istniejących mianowników. Przy sprowadzaniu do
wspólnego mianownika postępujemy w sposób następujący:
1. Wyznaczamy NWW dla istniejących mianowników.
2. Wymnażamy licznki istniejących ułamków tak aby nowe ułamki były równe
danym.
Przykład 1

Porównywanie ułamków zwykłych
Aby porównać dwa ułamki zwykłe należy najpierw sprowadzić je do wspólnego
mianownika. Następnie porównujemy liczniki ułamków.
Przykład 1

Działania Na Potęgach

Mnożenie potęg o jednakowych podstawach.
a

n

· a

m

= a

n+m

Dzielenie potęg o jednakowych podstawach.
a

n

: a

m

= a

n-m

Potęga potęgi.
( a

n

)

m

= a

n · m

Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach.
a

n

· b

n

= (a · b)

n

Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach.
a

n

: b

n

= (a : b)

n

dla b różnego od 0

Przykład 1
Należy obliczyć wartość wyrażenia:

Rozwiązanie

Działania na pierwiastkach :

- mnożenie pierwiastków tego samego

stopnia

- dzielenie pierwiastków tego samego stopnia (b

różne od 0)

- potęgowanie pierwiastka

- pierwiastkowanie pierwiastka

Inne wzory dotyczące potęg :

- potęga o wykładniku 0 (a różne od 0)

- potęga o wykładniku ujemnym (a różne od 0,

n- liczba naturalna)

- potęga o wykładniku w postaci ułamka (

)

- potęga o wykładniku w postaci ułamka

ujemnego (

)

WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

Kwadrat sumy
(a+b)

2

=a

2

+2ab+b

2

Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:
(a+b)

2

=(a+b)(a+b)=a

2

+ab+ba+b

2

=a

2

+2ab+b

2

Kwadrat różnicy
(a-b)

2

=a

2

-2ab+b

2

Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:
(a-b)

2

=(a-b)(a-b)=a

2

-ab-ba+b

2

=a

2

-2ab+b

2

Różnica kwadratów
(a-b)(a+b)=a

2

-b

2

Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:
(a-b)(a+b)=a

2

+ab-ab-b

2

=a

2

-b

2

Sześcian sumy
(a+b)

3

=a

3

+3a

2

b+3ab

2

+b

3

Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie (dla ułatwienia wykorzystamy wzór na
kwadrat sumy):
(a+b)

3

=(a+b)

2

(a+b)=(a

2

+2ab+b

2

)(a+b)= a

3

+2a

2

b+ab

2

+a

2

b+2ab

2

+b

3

=a

3

+3a

2

b+3ab

2

+b

3

Sześcian różnicy
(a-b)

3

=a

3

-3a

2

b+3ab

2

-b

3

Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie (dla ułatwienia wykorzystamy wzór na
kwadrat różnicy):
(a-b)

3

=(a

2

-2ab+b

2

)(a-b)= a

3

-2a

2

b+ab

2

-a

2

b+2ab

2

-b

3

=a

3

-3a

2

b+3ab

2

-b

3

Suma sześcianów
(a+b)(a

2

-ab+b

2

)=a

3

+b

3

Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:
(a+b)(a

2

-ab+b

2

)=a

3

-a

2

b+ab

2

+ba

2

-ab

2

+b

3

=a

3

+b

3

Różnica sześcianów
(a-b)(a

2

+ab+b

2

)=a

3

-b

3

Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:
(a-b)(a

2

+ab+b

2

)=a

3