RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

Równania o zmiennych rozdzielonych f (y)dy = h(x)dx.

Przykład 1. Rozwiąż równanie:

p

y

2

+ 1 = xyy

0

.

Zapisujemy najpierw symbol pochodnej y

0

jako

dy
dx

:

p

y

2

+ 1 = xy

dy
dx

,

następnie rozdzielamy zmienne, to znaczy grupujemy wyrażenia zawierające x po jednej stronie
równanie oraz wyrażenia zawierające y po drugiej stronie równania. Pamiętajmy, że symbole dx
i dy muszą znajdować się w licznikach (nie mogą znajdować się w mianownikach!). W naszym
przypadku musimy zatem pomnożyć obustronnie przez dx:

p

y

2

+ 1dx = xydy,

teraz dzielimy obustronnie przez

p

y

2

+ 1; można to uczynić, ponieważ wyrażenie to jest nie-

zerowe:

dx =

xydy

p

y

2

+ 1

.

Podzielenie obustronne przez x dopełni rozdzielenia zmiennych:

dx

x

=

ydy

p

y

2

+ 1

:

Teraz z kolei dopisujemy symbole całek do obu stron równania:

Z

dx

x

=

Z

ydy

p

y

2

+ 1

.

Należy obliczyć obie całki nieoznaczone, dopisując stałą całkowania (C) jedynie po jednej stro-
nie równania. Obie całki są trywialne. Całkę z lewej strony znamy z tabeli całek podstawowych:

Z

dx

x

= ln |x|.

Natomiast całkę z prawej strony równania obliczamy przez podstawienie:

Z

ydy

p

y

2

+ 1

=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

t = y

2

+ 1

dt = 2dy

1

2

dt = dy

¯

¯

¯

¯

¯

¯

=

1
2

Z

dt

√

t

=

1
2

Z

t

−

1
2

dt =

1
2

t

1
2

1

2

+C =

√

t+C =

p

y

2

+ 1+C,

C ∈ R.

Porównując oba wyniki całek, otrzymujemy:

p

y

2

+ 1 + C = ln |x|.

1

Stałą C, która jest dowolną liczbą rzeczywistą, możemy (bez zmiany znaku - jako dowolną
liczbę) przenieść na prawą stronę równania:

p

y

2

+ 1 = ln |x| + C.

Teraz skorzystamy ze wzoru:

ln a + ln b = ln (ab)

oraz z faktu, że

C = ln C

1

dla pewnej stałej dodatniej C

1

.

Mianowicie:

p

y

2

+ 1 = ln |x| + C = ln |x| + ln C

1

= ln |C

1

x|,

C

1

> 0.

Podnosimy obustronnie do kwadratu (aby pozbyć się pierwiastka):

y

2

+ 1 = ln

2

|C

1

x|.

Odejmujemy obustronnie jedynkę:

y

2

= ln

2

|C

1

x| − 1,

a następnie pierwiastkujemy:

y = ±

q

ln

2

|C

1

x| − 1.

Odpowiedź: szukaną funkcją y jest funkcja dana wzorem:

y = ±

q

ln

2

|C

1

x| − 1,

C

1

> 0.

Przykład 2. Rozwiąż zagadnienie Cauchy’ego:

½

y

0

= y sin x

y(0) =

1

e

Zagadnienie Cauchy’ego polega na rozwiązaniu "zwykłego" równania różniczkowego, a nstęp-

nie na wybraniu z całej rodziny rozwiązań - jednego, spełniające wymagane wymogi.

Zapisujemy symbol pochodnej y

0

jako

dy
dx

:

dy
dx

= y sin x,

następnie rozdzielamy zmienne, czyli mnożymy obustronnie przez dx oraz dzielimy przez y.
Należy jednak pamiętać, że w przypadku dzielenia czynimy założenie, że nie dzielimy przez zero.
W naszym przypadku: y 6= 0. Jednocześnie sprawdzamy, czy y = 0 (które zostało niniejszym
wyłączone z dalszego ciągu rozwiązania) jest rozwiązaniem naszego równania różniczkowego -

2

podstawiamy za y wartość zero: czy 0

0

= 0 · sin x? Tak, 0 = 0, zatem y = 0 jest szczególnym

rozwiązaniem danego równania różniczkowego. Po rozdzieleniu zmiennych mamy więc:

dy

y

= sin xdx.

Dopisujemy symbole całek do obu stron równania:

Z

dy

y

=

Z

sin xdx.

Obie całki rozwiązujemy na sposób więcej niż trywialny (korzystając z tablicy całek):

ln |y| = − cos x + C,

C ∈ R.

Bierzemy obustronnie eksponentę:

e

ln |y|

= e

C−cos x

= e

C

e

− cos x

= C

1

e

− cos x

,

C

1

> 0.

Zatem

|y| = C

1

e

− cos x

,

C

1

> 0.

Pozbywając się symbolu modułu:

y = ±C

1

e

− cos x

,

C

1

> 0.

Włączając symbol ± w stałą C

1

, mamy:

y = C

2

e

− cos x

,

C

2

∈ R \ {0}.

Pamiętamy, że y = 0 jest rozwiązaniem, które możemy włączyć do ogólnej postaci rozwiązania
(zauważając, że gdyby C

2

= 0, to mielibyśmy y = 0). Przeto odpowiedź brzmi:

y = Ce

− cos x

,

C ∈ R.

Jednak z całej rodziny rozwiązań musimy wybrać takie rozwiązanie, dla którego y(0) =

1

e

. W

powyższym rozwiązaniu wstawiamy za x liczbę 0, zaś y liczbę

1

e

, otrzymujemy:

1
e

= Ce

− cos 0

= Ce

−1

,

stąd

C = 1.

Ostateczna odpowiedź do zadania:

y = e

cos x

.

3