R´

ownania r´

o˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych

I.Newton sformu lowa l podstawowe zasady dynamiki. Druga zasada dynamiki ma

posta´c wzoru

F = ma .

F oznacza tu si le

,

dzia laja

,

ca

,

na cia lo o masie m , a oznacza przyspieszenie tego cia la.

Przyspieszenie to druga pochodna po lo˙zenia w chwili t , oczywi´scie przyspieszenie na

og´o l zale˙zy od czasu. Jest to oczywi´scie wielko´s´c wektorowa, wie

,

c dlatego stosujemy

„t lusty” druk albo strza lke

,

(to rzecz gustu). Oznaczaja

,

c po lo˙zenie w chwili t przez

x(t) = x

1

(t), x

2

(t), x

3

(t)

otrzymujemy a(t) = x

00

(t) . W og´olno´sci si la jest wekto-

rem zale˙znym od po lo˙zenia (np. grawitacyjna), pre

,

dko´sci poruszaja

,

cego sie

,

cia la (np.

tarcie) i czasu (np. zwie

,

kszamy lub zmniejszamy obroty silnika). Powinni´smy wie

,

c

traktowa´c wektor F jako funkcje

,

zale˙zna

,

od zmiennych x , x

0

oraz t . Wtedy druga

zasada dynamiki przyjmuje posta´c

F x(t), x

0

(t), t

= mx

00

(t) .

Z jednej strony wyste

,

puje druga pochodna funkcji x , a z drugiej funkcja zale˙zna od

x , x

0

oraz t . Zwykle naszym celem po napisaniu takiego r´ownania jest znalezienie

funkcji x — chcemy zbada´c ruch, czyli m´oc powiedzie´c w jakim punkcie w danej

chwili znajduje sie

,

poruszaja

,

cy sie

,

obiekt.

R´ownania tego typu nazywane sa

,

r´ownaniami r´o˙zniczkowymi, w tym konkretnym

przypadku drugiego rze

,

du, bowiem w r´ownaniu wyste

,

puja

,

pochodne drugiego rze

,

du

niewiadomej funkcji, a pochodne wy˙zszego rze

,

du ju˙z nie.

Je´sli r´ownanie nie daje sie

,

rozwia

,

za´c, to mo˙zemy pr´obowa´c przybli˙zy´c roz-

wia

,

zanie, czasem przybli˙zy´c r´ownanie i rozwia

,

za´c r´ownanie przybli˙zone w nadziei,

˙ze jego rozwia

,

zania przybli˙zaja

,

rozwia

,

zania wyj´sciowego r´ownania. Zagadnienia te

sa

,

trudne. W trakcie tego wyk ladu zajmowa´c sie

,

be

,

dziemy jedynie najprostszymi

typami r´owna´

n r´o˙zniczkowych i to tylko takimi, kt´ore mo˙zna rozwia

,

za´c u˙zywaja

,

c

jedynie elementarnych funkcji.

W szkole uczniowie spotykaja

,

sie

,

na lekcjach fizyki z wahad lem matematycz-

nym, poznaja

,

prawa jego ruchu. Zaczyna sie

,

to wszystko od stwierdzenia, ˙ze je´sli

x(t) oznacza ka

,

t o jaki wahad lo odchylone jest od pionu w chwili t , to spe lniona jest

r´owno´s´c x

00

(t) = − sin x(t) . Zak ladam tu, ˙ze jednostki sa

,

tak dobrane, ˙ze przyspie-

szenie ziemskie r´owne jest 1 , d lugo´s´c wahad la te˙z jest 1 i dlatego nie ma ˙zadnych

1

R´ownania r´o˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych

wsp´o lczynnik´ow w rodzaju g , l , . . . Naste

,

pnie nauczyciel o´swiadcza, ˙ze poniewa˙z

zajmujemy sie

,

jedynie sytuacja

,

, w kt´orej amplituda waha´

n jest ma la, wie

,

c mo˙zemy

przyja

,

´c, ˙ze sin x ≈ x ,* co pozwala na zaje

,

cie sie

,

r´ownaniem x

00

(t) = −x(t) . To

ostatnie daje sie

,

latwo rozwia

,

za´c, nauczymy sie

,

tego w nieodleg lej przysz lo´sci.

Mo˙zna r´ownanie x

00

(t) = − sin x(t) pomno˙zy´c stronami przez x

0

(t) , w wy-

niku otrzymamy x

00

(t)x

0

(t) = −x

0

(t) sin x(t) . Korzystaja

,

c z wzoru na pochodna

,

z lo˙zenia mo˙zemy napisa´c r´owno´s´c

1
2

x

0

(t)

2

0

= cos x(t)

0

. Wynika sta

,

d, ˙ze funkcja

1
2

x

0

(t)

2

− cos x(t) jest sta la. Fizycy te

,

funkcje

,

zwykli nazywa´c energia

,

i dodaja

,

c, ˙ze

1
2

x

0

(t)

2

to energia kinetyczna, a − cos x(t) to energia potencjalna. Nie ma wie

,

c nic

dziwnego w tym, ˙ze suma energii kinetycznej i potencjalnej jest sta la. Oznaczmy te

,

sta la

,

przez E . Mo˙ze ona przyjmowa´c r´o˙zne warto´sci, jednak nie moga

,

one by´c mniej-

sze ni˙z −1 . Je´sli

1
2

x

0

(t)

2

− cos x(t) = −1 , to musi by´c x

0

(t) = 0 i cos x(t) = 1 dla

ka˙zdej liczby t . Odpowiada to temu, ˙ze wahad lo znajduje sie

,

w swym najni˙zszym

po lo˙zeniu i nie porusza sie

,

. Zajmiemy sie

,

inna

,

ciekawa

,

z punktu widzenia autora tek-

stu warto´scia

,

E , mianowicie przyjmiemy, ˙ze E = 1 . Nasze r´ownanie ma wie

,

c teraz

posta´c:

1
2

x

0

(t)

2

− cos x(t) = 1

Nie jest trudno odgadna

,

´c jedno z rozwia

,

za´

n. Funkcja sta la x(t) = π spe lnia to

r´ownanie. Rozwia

,

zanie to odpowiada temu, ˙ze wahad lo znajduje sie

,

bez ruchu w

swych g´

ornym po lo˙zeniu. Oczywi´scie tego rodzaju bezruch jest bardzo niestabilny

i trudno go zrealizowa´c w praktyce. Przepiszmy r´ownanie w postaci

x

0

(t) = ±

p

2(1 + cos x(t)) = ±

q

4 cos

2 x(t)

2

= ±2 cos

x(t)

2

.

Zajmiemy sie

,

r´ownaniem x

0

(t) = 2 cos

x(t)

2

. Przepiszemy je w postaci

1 =

x

0

(t)

2 cos

x(t)

2

.

Ca lkuja

,

c obie strony otrzymujemy

t + C =

Z

1 · dt =

Z

x

0

(t)

2 cos

x(t)

2

dt

x=x(t)/2

===========

dx=x

0

(t)/2 dt

=

Z

dx

cos x

=

Z

cos xdx

1 − sin

2

x

=

z=sin x

=========

dz=cos x dx

Z

dz

1 − z

2

=

1
2

Z

1

1 − z

+

1

1 + z

dz =

*

Je´sli f jest funkcja, r´o˙zniczkowalna, w punkcie p , to dla dostatecznie ma lych |h| zachodzi r´owno´s´c

przybli˙zona f (p+h)≈f (p)+f

0

(p)h . Te, przybli˙zona, r´owno´s´c stosujemy tu dla f(x)=sin x , p=0 . Za-

ste,pujemy wie,c funkcje, sinus funkcja, liniowa,.

2

R´ownania r´o˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych

=

1
2

(− ln |1 − z| + ln |1 + z|) =

1
2

ln

1 + z
1 − z

=

1
2

ln

1 + sin

x(t)

2

1 − sin

x(t)

2

=

1
2

ln

1 + sin

x(t)

2

1 − sin

x(t)

2

=

=

1
2

ln

1 + sin

x(t)

2

2

cos

2 x(t)

2

.

Mo˙zna wie

,

c napisa´c

e

2(t+C)

=

(1 + sin

x(t)

2

)

2

cos

2 x(t)

2

=

(1 + sin

x(t)

2

)

2

1 − sin

2 x(t)

2

=

1 + sin

x(t)

2

1 − sin

x(t)

2

.

Sta

,

d wyznaczamy

sin

x(t)

2

=

e

2(t+C)

− 1

e

2(t+C)

+ 1

, czyli x(t) = 2 arcsin

e

2(t+C)

− 1

e

2(t+C)

+ 1

.

Bez trudu mo˙zna stwierdzi´c, ˙ze funkcja x jest na ca lej prostej (−∞, +∞) ´sci´sle ro-

sna

,

ca. Mamy te˙z x(t)−−−−→

t→∞

2

π

2

= π . Fizyczna interpretacja znalezionego rozwia

,

zania

jest naste

,

puja

,

ca: wahad lo zosta lo popchniete z taka

,

si la

,

, ˙ze be

,

dzie porusza´c sie

,

z ma-

leja

,

ca

,

pre

,

dko´scia

,

w kierunku swego g´ornego po lo˙zenia, ale nigdy go nie osia

,

gnie! W

szczeg´olno´sci to rozwia

,

zanie nie jest funkcja

,

okresowa

,

.

Rozwa˙zony przyk lad to szczeg´olny przypadek r´ownania o zmiennych rozdzielo-

nych

x

0

(t) = f (t)g x(t)

zapisywanego cze

,

sto nieca lkiem precyzyjnie w postaci x

0

= f (t)g(x) . W om´owionym

przyk ladzie mieli´smy f (t) = 1 dla ka˙zdego t ∈ R oraz g(x) = 2 cos

x

2

dla ka˙zdej

liczby x ∈ R .

Podamy bez dowodu twierdzenie, kt´orego og´olniejsza wersja zostanie podana

p´o˙zniej.

Twierdzenie 11.1 (o istnieniu i jednoznaczno´sci dla r´

ownania o zmiennych

rozdzielonych)

Je´sli funkcja f jest cia

,

g la na przedziale (α, β) , a funkcja g jest ma cia

,

g la

,

pochodna

,

na przedziale (a, b) , to dla ka˙zdej pary punkt´ow t

0

∈ (α, β) , x

0

∈ (a, b) istnieje liczba

δ > 0 taka, ˙ze na przedziale (t

0

− δ, t

0

+ δ) ⊆ (α, β) r´ownanie x

0

(t) = f (t)g x(t)

ma dok ladnie jedno rozwia

,

zanie x(t) spe lniaja

,

ce warunek x(t

0

) = x

0

. ×

Przyk lad 11.1

Zajmiemy sie

,

r´ownaniem

x

0

(t) = λx(t) ,

w kt´orym λ oznacza dana

,

liczbe

,

, a x poszukiwana

,

funkcje

,

zmiennej t . Nie jest

trudno zauwa˙zy´c, ˙ze funkcja e

λt

jest rozwia

,

zaniem tego r´ownania. Oczywi´scie nie

jedynym. Je´sli pomno˙zymy te

,

funkcje

,

np. przez

3

√

11 , to te˙z otrzymamy rozwia

,

zanie.

3

R´ownania r´o˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Og´olnie funkcja Ce

λt

jest rozwia

,

zaniem r´ownania x

0

(t) = λx(t) dla ka˙zdej liczby

C , bo Ce

λt

0

= λCe

λt

. Wyka˙zemy, ˙ze innych rozwia

,

za´

n to r´ownanie nie ma.

Je´sli x

0

(t) = λx(t) , to

x(t)e

−λt

0

= x

0

(t)e

−λt

− x(t)λe

−λt

= λx(t)e

−λt

−

x(t)λe

−λt

= 0 dla ka˙zdej liczby t . Oznacza to, ˙ze funkcja x(t)e

−λt

jest sta la na

przedziale, na kt´orym jest okre´slona (zak ladamy, ˙ze dziedzina

,

funkcji x jest pe-

wien przedzia l). Oznaczaja

,

c warto´s´c funkcji x(t)e

−kt

przez C otrzymujemy r´owno´s´c

x(t) = Ce

kt

. Wykazali´smy, ˙ze odgadnie

,

te rozwia

,

zania sa

,

jedynymi.

Przy okazji mo˙zemy zauwa˙zy´c, ˙ze rozwia

,

zania te tworza

,

jednowymiarowa

,

prze-

strze´

n liniowa

,

. R´ownanie to pojawia sie

,

np. przy badaniu rozszerzalno´sci cieplnej

(d lugo´s´c jako funkcja temperatury), przy rozpadzie promieniotw´orczym (masa jako

funkcja czasu), badaniu liczebno´sci populacji (np. liczba zaje

,

cy na danym obszarze

jako funkcja czasu) i wielu innych okazjach.

Przyk lad 11.2

Rozwia

,

˙zemy r´ownanie x

0

(t) = tx(t) . Piszemy t =

x

0

(t)

x(t)

. Ca lku-

jemy obie strony wzgle

,

dem t . Otrzymujemy

1
2

t

2

+ C =

R

tdt =

R

x

0

(t)

x(t)

dt =

R

dx

x

= ln |x| .

Sta

,

d |x| = e

C

· e

t

2

/2

i wobec tego x(t) = ±e

c

· e

t

2

/2

. Niech C

1

oznacza dowolna

,

liczbe

,

rzeczywista

,

(dodatnia

,

, ujemna

,

lub 0 ) i niech x(t) = C

1

e

t

2

/2

. Ta funkcja

jest rozwia

,

zaniem r´ownania x

0

(t) = tx(t) , co mo˙zna bez trudu sprawdzi´c (z prze-

prowadzonych wcze´sniej oblicze´

n wynika, ˙ze tak jest dla C

1

6= 0 ). Innych rozwia

,

za´

n

nie ma, bowiem funkcja t jest cia

,

g la na ca lej prostej (a nawet r´o˙zniczkowalna i to

niesko´

nczenie wiele razy), funkcja x jest r´o˙zniczkowalna i jej pochodna jest cia

,

g la

(bo jest sta la), wie

,

c sa

,

spe lnione za lo˙zenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno´sci,

zatem teza te˙z. Przyjmuja

,

c C

1

= x

0

e

−t

2

0

i x(t) = C

1

e

t

2

/2

= x

0

e

t

2

/2−t

2

0

/2

otrzymu-

jemy rozwia

,

zanie spe lniaja

,

ce warunek x(t

0

) = x

0

, a to oznacza, ˙ze innych rozwia

,

za´

n

ju˙z nie ma.

Przyk lad 11.3

Zajmiemy sie

,

teraz r´ownaniem x

0

(t) =

3

p

x(t)

2

. Poste

,

puja

,

c tak,

jak poprzednio otrzymujemy

1 =

x

0

(t)

3

√

x(t)

2

, zatem t + C =

R

dt =

R

x

0

(t)

3

√

x(t)

2

dt =

R

1

3

√

x

2

dx = 3x

1/3

,

zatem x(t) =

t+c

3

3

.

Wydawa´c by sie

,

mog lo, ˙ze rozwia

,

zali´smy r´ownanie, czyli ˙ze znale´zli´smy wszystkie

jego rozwia

,

zania. Jednak tym razem mamy k lopot. W tym przypadku f (t) = 1 , wie

,

c

funkcja f jest cia

,

g la a nawet r´o˙zniczkowalna (bo jest sta la), ale funkcja g(x) =

3

√

x

2

nie jest r´o˙zniczkowalna w punkcie 0 . g

0

(0) istnieje, ale jest niesko´

nczona: g

0

(0) = ∞ .

4

R´ownania r´o˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Za lo˙zenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno´sci nie sa

,

spe lnione. Bez trudu

sprawdzamy, ˙ze funkcja okre´slona wzorami

x(t) =

t

3

27

dla x ≥ 0

0

dlax < 0

spe lnia r´ownanie x

0

(t) =

3

p

x(t)

2

, funkcja to˙zsamo´sciowo r´owna 0 , te˙z spe lnia to

r´ownanie, obie przyjmuja

,

warto´s´c 0 w punkcie t = 0 i oczywi´scie nie pokrywaja

,

sie

,

na ˙zadnym przedziale o ´srodku w punkcie 0 .

Przyk lad 11.4

Znajdziemy rozwia

,

zania r´ownania x

0

(t) = x(t)

2

. Mo˙zemy to

r´ownanie przepisa´c w postaci 1 =

x

0

(t)

x(t)

2

. Ca lkuja

,

c obie strony otrzymujemy

t + C =

R

dt =

R

x

0

(t)

x(t)

2

dt =

R

1

x

2

dx = −

1

x

.

Wynika sta

,

d od razu, ˙ze x(t) =

−1

t+C

. Je´sli chcemy, by x(t

0

) = x

0

, gdzie t

0

i x

0

sa

,

dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to musi by´c spe lniona r´owno´s´c x

0

=

−1

t

0

+C

,

zatem C = −t

0

−

1

x

0

. Wynika sta

,

d, ˙ze x(t) =

−1

t−t

0

−

1

x0

=

x

0

1−x

0

(t−t

0

)

.

Zwykle ˙za

,

da sie

,

, by rozwia

,

zania r´ownania r´o˙zniczkowego okre´slone by ly na pew-

nym przedziale (by´c mo˙ze niesko´

nczonym). W tym przypadku nale˙zy wykluczy´c z

dziedziny rozwia

,

zania punkt t

0

+

1

x

0

. Dzieli on prosta

,

na dwie p´o lproste. Dziedzina

,

poszukiwanego rozwia

,

zania tego r´ownania jest ta z nich, kt´ora zawiera punkt t

0

:

je´sli x

0

> 0 , to dziedzina

,

jest p´o lprosta (−∞, t

0

+

1

x

0

) , a je´sli x

0

< 0 , to dziedzina

,

rozwia

,

zania jest p´o lprosta (t

0

+

1

x

0

, ∞) .

5

R´ownania r´o˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Zwykle uk lad r´owna´

n

x

0

(t) = f (t, x),

x

0

(t

0

) = x

0

,

nazywany jest zagadnieniem Cauchy’ego:

dane sa

,

funkcja f oraz liczby t

0

, x

0

. Nale˙zy znale´z´c funkcje

,

x .

Kilka zada´

n

11. 01 Rozwia

,

za´c r´ownanie x

0

+ tx

2

= 0 .

11. 02 Rozwia

,

za´c r´ownanie x

0

+ t

2

x = 0 .

11. 03 Rozwia

,

za´c r´ownanie x

0

+ tx

2

= t .

11. 04 Rozwia

,

za´c r´ownanie x

0

+ tx = 0 .

11. 05 Rozwia

,

za´c r´ownanie tx

0

+ x = 0 .

11. 06 Rozwia

,

za´c zagadnienie Cauchy’ego tx

0

+ x = 0 , x(0) = 0 .

11. 07 Rozwia

,

za´c r´ownanie tx

0

− x = 0 .

11. 08 Rozwia

,

za´c zagadnienie Cauchy’ego tx

0

− x = 0 , x(0) = 0 .

11. 09 Rozwia

,

za´c zagadnienie Cauchy’ego x

0

+ tx = 0, x(0) = 1 .

11. 10 Rozwia

,

za´c r´ownanie x

0

+ t sin x = 0 .

11. 11 Rozwia

,

za´c zagadnienie Cauchy’ego x

0

+ t sin x = 0, x(0) = π .

11. 12 Rozwia

,

za´c zagadnienie Cauchy’ego (t

2

− 1)x

0

+ 2tx

2

= 0, x(0) = 1 .

11. 13 Rozwia

,

za´c r´ownanie 2t

2

xx

0

+ x

2

= 2 .

11. 14 Rozwia

,

za´c r´ownanie x

0

− tx

2

= 2tx .

11. 15 Rozwia

,

za´c r´ownanie x

0

= cos(t − x) . Mo˙zna ewentualnie podstawi´c y = x − t .

11. 16 Rozwia

,

za´c r´ownanie x

0

=

√

4t + 2x − 1 . Tu te˙z mo˙zna co´s podstawi´c, ale co?

11. 17 Rozwia

,

za´c r´ownanie (t + 1)x

0

+ tx = 0 .

11. 18 Rozwia

,

za´c r´ownanie tx

0

x =

√

1 + x

2

.

11. 19 Rozwia

,

za´c zagadnienie Cauchy’ego tx

0

+ x = x

2

, x(1) =

1
2

.

11. 20 Rozwia

,

za´c zagadnienie Cauchy’ego x

0

ctg t + x = 2 , x(0) = −1 .

11. 21 Rozwia

,

za´c zagadnienie Cauchy’ego x

0

− x = 3t − 3 , x(0) = 0 .

6