1

Dr Dariusz Barbucha
Katedra Systemów Informacyjnych
Akademia Morska w Gdyni

Wspomaganie decyzji - laboratorium

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka (skrót)

1. Elementy modelu sytuacji decyzyjnej w warunkach ryzyka i niepewności

1. Podmiot podejmujący decyzję (decydent)
2. Zbiór wariantów decyzyjnych (decyzji) dopuszczalnych – D
3. Zbiór stanów świata zewnętrznego (stanów natury) – S
4. Funkcja użyteczności U = f(D, S), często przedstawiana w postaci tzw. macierzy wypłat
5. Stopień niepewności co do stanów świata zewnętrznego - określa prawdopodobieństwo

zajścia (zrealizowania się) danego stanu. Jeżeli prawdopodobieństwo to jest znane (albo
można je określić np. na podstawie danych z przeszłości), to mamy do czynienia z
podejmowaniem decyzji w warunkach ryzyka. Jeżeli prawdopodobieństwo to nie jest znane i
nie można go określić, to ten typ sytuacji przyjęło się w teorii decyzji nazywać
podejmowaniem decyzji w warunkach niepewności. Oczywiście, jeżeli określamy
prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych stanów natury, to ich suma powinna
wynosić 1.

2. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności

Model formalny

Występuje niedeterminizm, brak danych o prawdopodobieństwie stanów

s

1

s

2

...

s

m

d

1

a

11

a

12

...

a

1m

d

2

a

21

a

22

...

a

2m

…

...

...

...

d

n

a

n1

a

n2

...

a

nm

gdzie:

d

i



D – warianty decyzji

s

j



S – stany natury

a

ij



D



S – konsekwencja wyboru wariantu d

i

przy wystąpieniu stanu natury s

j

2

Zarys procedury podejmowania decyzji w warunkach niepewności

1. Konstrukcja macierzy wypłat



Sporządź listę wszystkich dopuszczanych wariantów decyzyjnych



Sporządź listę wszystkich możliwych stanów świata zewnętrznego (stanów natury)



Znajdź (oblicz, oszacuj) wypłaty (np. zyski, dochody, itp. albo nakłady koszty, itp.), które
sensownie, w danej sytuacji, oceniają wyniki (konsekwencje) wyboru poszczególnych
wariantów decyzyjnych w zależności od każdego z wyróżnionych stanów świata
zewnętrznego.

2. Poszukiwanie i eliminacja zdominowanych wariantów decyzyjnych. Zdominowany wariant

decyzyjny to taki wariant D

z

, który charakteryzuje się co najwyżej takimi samymi wypłatami

(wynikami) dla wszystkich stanów świata zewnętrznego niż pewien wariant D

d

, zaś dla

przynajmniej jednego stanu jego wynik (wypłata) jest wyraźnie gorsza niż ten wariant D

d

.

3. Wybór i zastosowanie właściwego kryterium decyzyjnego


Kryteria podejmowania decyzji w warunkach niepewności

Kryterium Walda (kryterium pesymistyczne)

Znane również jako kryterium MaxiMin – w przypadku wypłat o charakterze dochodów, albo
kryterium MiniMax – w przypadku wypłat o charakterze kosztów.
Stosując to kryterium wybieramy minimalną wartość w każdym wierszu (w więc zakładamy, że zajdą
najbardziej niekorzystne warunki). Następnie z tych wartości wybieramy wartość maksymalną.
Odpowiadający jej wariant decyzyjny przyjmujemy jako najlepszy.
Szukamy więc takiego i

0

, dla którego

 

ij

j

i

i

a

a

min

max

0



Jest to niewątpliwie reguła decydenta ostrożnego, ale inteligentnego.


Kryterium MaxiMax (kryterium skrajnego optymizmu)

W przeciwieństwie do kryterium Walda, w tym kryterium zakładamy, że zajdzie najbardziej
optymistyczny stan, a więc wybieramy element o maksymalnej wartości w każdym wierszu, a
następnie spośród nich wybieramy znowu maksimum. Odpowiadający tej wartości wariant decyzyjny
przyjmujemy jako najlepszy.
Szukamy więc takiego i

0

, dla którego

 

ij

j

i

i

a

a

max

max

0



Kryterium Hurwicza (kryterium umiarkowanego optymizmu)

Jest to kryterium, które łączy chęć zapewnienia sobie wygranej na możliwie wysokim poziomie z
pewną skłonnością do ryzyka.
Niech

 

 

ij

j

i

ij

j

i

a

A

a

a

max

,

min





Ponadto, niech





[0;1] oznacza współczynnik skłonności do ryzyka. Im jest on większy, tym

decydent jest większym optymistą. Gdy



= 1, to mamy pełny optymizm, gdy



= 0 – skrajną

ostrożność (pesymizm).

3

Reguła Hurwicza polega na wyznaczeniu wielkości d

i

ze wzoru:

i

i

i

a

A

d

)

1

(











Decyzja optymalna w sensie powyższego kryterium określona zostanie przez wartość maksymalną
wielkości d

i

.

Zauważmy, że w przypadku, gdy



=1 kryterium Hurwicza jest identyczne z kryterium Walda.

Kryterium Savage’a (Niehansa-Savage’a)

Spełnia postulat minimalizacji oczekiwanych strat wynikłych z podjęcia przez nas decyzji gorszej niż
najlepsza możliwa dla danego stanu natury. Wyznaczenie decyzji na podstawie reguły Savage’a
dokonuje się w dwóch etapach. W pierwszym etapie tworzymy macierz zwaną „macierzą żalu”.
Macierz ta zdefiniowana jest w następujący sposób:

 

 

ij

ij

i

ij

ij

a

a

r

r

R







max

gdzie

,

Następnie, w tak określonej macierzy, dla każdego wiersza poszukuje się elementu maksymalnego, a
następnie spośród nich wybiera się element o wartości najmniejszej, który wyznacza decyzję
optymalną, tzn.

 

ij

j

i

r

R

i

max

min

:

0

0



Regułę tę można wyjaśnić w następujący sposób: Dla każdej pary (decyzja, stan natury) wyznaczamy
wielkość utraconych korzyści (strat), które moglibyśmy osiągnąć (w stosunku do decyzji najlepszej
przy danym stanie natury). Strata jest różnicą między największą wygraną możliwą dla danego stanu
natury a wygraną odpowiadającą naszej decyzji. Musimy liczyć się z zaistnieniem najbardziej
niekorzystnego stanu natury, więc dla każdej strategii znajdujemy maksymalną stratę. W końcu
wybieramy tę strategię, dla którego strata (w stosunku do najlepszego stanu) jest najmniejsza. Jest to
najlepsza decyzja w sensie kryterium Savage’a.


Kryterium Bayesa-Laplace’a

Według tego kryterium najlepszą jest ta strategia, która daje największą przeciętną wygraną. Dla
każdej strategii należy więc obliczyć przeciętną wygraną jako średnią arytmetyczną (zakładamy, że
wszystkie stany natury są jednakowo prawdopodobne).
Można to zapisać w następujący sposób: znajdź takie k, dla którego:

















j

ij

i

k

a

n

E

1

max

4

3. Podejmowania decyzji w warunkach ryzyka

Model formalny

Występuje niedeterminizm, pełna informacja o rozkładzie prawdopodobieństw stanów

s

1

s

2

...

s

m

p(s

1

)

p(s

2

)

p(s

m

)

d

1

a

11

a

12

...

a

1m

d

2

a

21

a

22

...

a

2m

…

...

...

...

d

n

a

n1

a

n2

...

a

nm

gdzie:

d

i

, s

j

, a

ij

– oznaczenia jak poprzednio

p(s

j

) – prawdopodobieństwo wystąpienia stanu natury s

j

Kryteria podejmowania decyzji w warunkach ryzyka

Kryterium maksymalnej oczekiwanej korzyści

Wybieramy taką decyzję, dla której wartość oczekiwana zysku będzie największa, tzn.

 







j

ij

j

a

i

a

i

i

a

k

k

a

s

p

E

E

E

d

)

(

gdzie

,

max

:

Kryterium minimalnej oczekiwanej straty

Konstruujemy macierz strat (żalu), jak poprzednio.
Wybieramy taką decyzję, dla której wartość oczekiwanej straty („żalu”) będzie najmniejsza, tzn.

 







j

ij

j

r

i

r

i

i

r

k

k

r

s

p

E

E

E

d

)

(

gdzie

,

max

:

W ogólnym modelu podejmowania decyzji w warunkach ryzyka posiadamy doskonałą informację
wtedy, gdy przed podjęciem decyzji znamy stan natury.


Oczekiwana korzyść przy doskonałej informacji (OKDI) wynosi:









m

j

ij

i

j

j

j

a

a

a

s

p

OKDI

1

max

,

)

(

Jeżeli nie posiadamy doskonałej informacji to wybieramy decyzję zgodnie z zasadą maksymalizacji
oczekiwanej korzyści (OK)







m

j

ij

j

i

a

s

p

OK

1

)

(

max

Wobec tego oczekiwaną wartość doskonałej informacji (OWDI) możemy obliczyć następująco:

OK

OKDI

OWDI



