Chmieliński Wykład z analizy funkcjonalnej

Jacek Chmieliński

Wybrane zagadnienia analizy funkcjonalnej

Wykład monograficzny dla V roku matematyki

Akademia Pedagogiczna w Krakowie

2005/6

One step closer to knowing

Niniejszy wykład stanowi pewne rozszerzenie kursowego wykładu z analizy funkcjonal-

nej. Wszelkie niewyjaśnione, a wykorzystywane, podstawowe pojęcia i twierdzenia można
znaleźć np. w skrypcie [6]. Tematem wykładu będą przede wszystkim pewne geometryczne
aspekty analizy funkcjonalnej

oraz równania funkcyjne w tej dyscyplinie.

Wszelkie uwagi dotyczące treści wykładu i prowadzonych zajęć proszę zgłaszać na adres:

jacek@ap.krakow.pl

Spis treści

1 Izometrie

1.1 Izometrie w przestrzeniach unormowanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Twierdzenie Mazura–Ulama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ścisła wypukłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Informacje uzupełniające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wokół twierdzenia Mazura-Ulama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Równanie Fischera–Musz´ely’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Twierdzenie Banacha-Stone’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Stabilność izometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Izometrie w przestrzeniach unitarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Równania ortogonalności i Wignera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Twierdzenie Wignera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 Stabilność równania ortogonalności i Wignera . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Przestrzenie liniowo-topologiczne

2.1 Podstawowe definicje i własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Interpretacje geometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Przestrzenie lokalnie wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Wypukłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funkcjonał Minkowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Definicja przestrzeni lokalnie wypukłej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3 Oddzielanie zbiorów wypukłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Punkty ekstremalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Przestrzenie dualne i związane z nimi topologie

3.1 Słaba zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Słaba topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Przestrzenie refleksywne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Słaba zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Geometryczne własności normy

4.1 Ścisła wypukłość i gładkość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Twierdzenie Bishopa-Phelpsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Funkcjonały realizujące normę . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.3 Własność przecięcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Jednostajna wypukłość i gładkość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Moduł wypukłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Moduł gładkości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Zmiana normy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Literatura

Rozdział 1

Izometrie

1.1 Izometrie w przestrzeniach unormowanych

1.1.1 Twierdzenie Mazura–Ulama

1.1 Definicja

Izometrią

z przestrzeni unormowanej (X, k·k

) w przestrzeń unormowaną (Y, k·k

) nazy-

wamy odwzorowanie f : X → Y spełniające warunek

kf(x

) − f(x

= kx

− x

dla x

, x

∈ X.

Łatwo wykazać, że każda izometria jest odwzorowaniem ciągłym i injektywnym; nie musi

być jednak bijekcją. W 1932 roku dwaj polscy matematycy — Stanisław Mazur i Stanisław
M. Ulam — udowodnili

1.2 Twierdzenie (Mazura–Ulama)

Niech (X,

k·k

) i (Y, k·k

) będą rzeczywistymi przestrzeniami unormowanymi; każda s u r-

j e k t y w n a izometria f : X

→ Y spełniająca warunek f(0) = 0 jest odwzorowaniem

liniowym.

Dowód:

Zaprezentujemy dowód pochodzący z pracy [25]. Inny dowód tego twierdzenia

można znaleźć np. w [6, twierdzenie B.3] lub [1, §10.4, Prop. 10, Th. 11].

1. Dla potrzeb dowodu wprowadźmy następujące pojęcie. Dla z ∈ X odbiciem przestrzeni

względem z nazwiemy odwzorowanie ψ : X → X określone wzorem ψ(x) := 2z − x dla

∈ X. Zauważmy, że złożenie ψ ◦ ψ jest identycznością na X, a zatem ψ jest bijekcją oraz

−1

= ψ. Ponadto, ψ jest izometrią, której jedynym punktem stałym jest punkt z oraz dla

dowolnego x ∈ X mamy

kψ(x) − zk = kx − zk,

kψ(x) − xk = 2kx − zk.

(1.1)

2. Niech a, b ∈ X będą dowolnie ustalonymi punktami. Połóżmy z :=

. Niech W

będzie rodziną wszystkich bijektywnych izometrii g : X → X, dla których a i b są punktami

stałymi i niech λ := sup

∈W

kg(z) − zk. Dla g ∈ W mamy kg(z) − ak = kg(z) − g(a)k =

kz − ak, a stąd

kg(z) − zk ¬ kg(z) − ak + ka − zk = 2ka − zk.

Z powyższej nierówności wynika, że λ < ∞.

Niech ψ będzie odbiciem X względem punktu z. Jeśli g ∈ W, to również g

∗

:= ψ ◦ g

−1

◦

◦ g ∈ W (bo mamy, w szczególności ψ(a) = b i ψ(b) = a), a zatem kg

∗

(z) − zk ¬ λ.

Ponieważ g

−1

jest izometrią, stąd i z (1.1) mamy

2kg(z)−zk = kψ◦g(z)−g(z)k = kg

−1

◦ψ◦g(z)−zk = kψ◦g

−1

◦ψ◦g(z)−zk = kg

∗

(z)−zk ¬ λ

ROZDZIAŁ 1. IZOMETRIE

dla wszystkich g ∈ W. Stąd otrzymujemy 2λ ¬ λ, a więc λ = 0. Stąd zaś: g(z) = z dla

wszystkich g ∈ W.

3. Połóżmy teraz z

(a)+f (b)

. Wykażemy, że f(z) = z

. Niech ψ

będzie odbiciem

przestrzeni Y względem punktu z

. Wówczas odwzorowanie h := ψ ◦ f

−1

◦ ψ

◦ f należy do

klasy W. Zatem h(z) = z, czyli ψ

(f(z)) = f(z). Ponieważ z

jest jedynym punktem stałym

dla ψ

, otrzymujemy f(z) = z

czyli f

(a)+f (b)

4. Z dowolności a, b wynika, że funkcja f spełnia następujące równanie funkcyjne Jen-

sena:

+ y

(x) + f(y)

dla x, y ∈ X.

(1.2)

W szczególności, dla dowolnego x ∈ X mamy (korzystając z założenia, że f(0) = 0)

= f

+ 0

(x) + f(0)

(x)

Ostatecznie, dla dowolnych x, y ∈ X mamy

(x + y) = f

2x + 2y

(2x)

(2y)

= f(x) + f(y),

czyli f jest funkcją addytywną. Jako izometria f jest ciągła; ale ciągła i addytywna funkcja
w przestrzeniach unormowanych jest liniowa (ćwiczenie), więc dowód został zakończony.

1.3 Uwaga

Można zadać naiwne pytanie, czy spełnianie przez funkcję f równania Jensena (1.2) nie jest
oczywiste. Dla układu dwóch dowolnych punktów a, b ∈ X punkt

jest jego środkiem.

Podobnie punkt

(a)+f (b)

jest środkiem układu punktów f(a), f(b). Skoro f jest izometrią,

to powinna przekształcać środek układu a, b na środek układu f(a), f(b). W takim rozu-
mowaniu popełnilibyśmy jednak błąd! Nie zakładając niczego dodatkowego o rozważanych
przestrzeniach musimy rozróżniać między środkiem algebraicznym układu a, b (czyli punktem

) a środkiem metrycznym czyli każdym (może być ich więcej!) punktem z, dla którego

zachodzi kz − ak = kz − bk =

1
2

ka − bk. Łatwo widać, że środek algebraiczny jest środkiem

metrycznym, ale nie na odwrót. Chyba, że przestrzeń jest ściśle wypukła (o czym będzie
dalej).

Założenie o surjektywności funkcji f w powyższym twierdzeniu jest istotne, co pokazuje

poniższy

1.4 Przykład

Niech X = R z normą kxk = |x| oraz niech Y = l

, czyli R

z normą k(x

, x

)k = |x

|+|x

Zdefiniujmy odwzorowanie f : R → R

wzorem

(x) :=







−

x
2

dla x ∈ [2k, 2k + 1),

x
2

+ 1, x −

x
2

− 1

dla x ∈ [2k + 1, 2k + 2).

∈ Z,

Przekształcenie to jest izometrią (przy rozważanej normie w R

), nie jest surjekcją i nie

jest liniowe.

1.1. IZOMETRIE W PRZESTRZENIACH UNORMOWANYCH

(-2)

(-1)

(0)

(1)

(2)

(3)

Obrazem R jest łamana na płaszczyźnie R

przedstawiona na powyższym rysunku. Od-

ległości punktów i ich obrazów są zachowywane.

Innym prostym przykładem może być odwzorowanie g : R → l

∞

(przeciwdziedziną jest

teraz R

z normą k(x

, x

)k = max{|x

|, |x

|}) zadane wzorem g(t) := (t, sin t), gdyż mamy

zawsze | sin t − sin s| ¬ |t − s| (szczegóły pozostawiamy jako ćwiczenie).

1.5 Uwaga

Z twierdzenia Mazura–Ulama wynika, w szczególności, że dwie rzeczywiste przestrzenie
unormowane X i Y są izometrycznie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje izometria
z X na Y .

1.6 Uwaga

Założenie o przeciwdziedzinie, że jest przestrzenią ściśle wypukłą (jak powiedzieliśmy wcześ-
niej, wówczas jedynym środkiem metrycznym dwóch punktów jest ich środek algebraiczny)
pozwala nam zrezygnować z założenia o surjektywności w twierdzeniu Mazura–Ulama).
Poniżej wykażemy ten fakt w jeszcze inny sposób.

Ścisła wypukłość

1.7 Definicja

Przestrzeń unormowaną (X, k·k

) nazywamy ściśle wypukłą, jeśli dla dowolnych wektorów

x, y

∈ X, ze związku kx + yk = kxk + kyk wynika liniowa zależność wektorów x i y.

Pozostawiamy jako ćwiczenie wykazanie równoważności poniższych warunków:

(a) X jest przestrzenią ściśle wypukłą (definicja 1.7);

(b) dla dowolnych x, y ∈ X, x, y 6= 0 równość kx + yk = kxk + kyk pociąga y = cx dla

pewnego c > 0;

(d) jeśli kxk = kyk = 1 oraz k

k = 1, to x = y;

(e) dla dowolnych x, y ∈ X równość kx + yk

= 2kxk

+ 2kyk

pociąga x = y.

W dalszej części wykładu podamy dalsze warunki charakteryzujące ścisłą wypukłość (zob.
ćwiczenie 2-16 i twierdzenie 4.13).

1.8 Twierdzenie (R. Ger [11])

Niech (G, +) będzie dowolną grupą (niekoniecznie przemienną) i niech (X,

k · k) będzie

przestrzenią unormowaną, ściśle wypukłą. Wówczas każda funkcja f : G

→ X spełniająca

kf(x + y)k = kf(x) + f(y)k, x, y ∈ G

(1.3)

jest addytywna.

ROZDZIAŁ 1. IZOMETRIE

Dowód:

1. Wykażemy, że dla każdego x ∈ G zachodzi równość

kf(2x) + f(x)k = kf(2x)k + kf(x)k.

(1.4)

Łatwo widać z (1.3), że

kf(2x)k = 2kf(x)k,

∈ G.

(1.5)

Dalej mamy

kf(3x)k = kf(2x + x)k = kf(2x) + f(x)k

¬ kf(2x)k + kf(x)k = 3kf(x)k;

kf(4x)k = kf(3x + x)k = kf(3x) + f(x)k

¬ kf(3x)k + kf(x)k ¬ 4kf(x)k;

kf(4x)k = kf(2x + 2x)k = kf(2x) + f(2x)k = 2kf(2x)k

= 4kf(x)k.

Stąd otrzymujemy kf(3x)k = 3kf(x)k i w konsekwencji (1.4).

2. Z równości (1.4) oraz ścisłej wypukłości wynika, że dla każdego x ∈ G takiego, że

(x) 6= 0 i f(2x) 6= 0 istnieje λ(x) > 0 takie, że f(2x) = λ(x)f(x). Z uwagi na (1.5),

(x) = 2. Gdy któraś z wartości f(x) lub f(2x) jest równa zero, to ta druga również. Zatem

równość: f(2x) = 2f(x) zachodzi dla wszystkich x ∈ G.

3. Wstawiając y = −x do (1.3) i uwzględniając, że f(0) = 0 zauważamy nieparzystość

funkcji f. Dla dowolnych x, y ∈ G mamy:

(x + y) −

1
2

(x)

= k2f(x + y) − f(x)k = kf(x + y + x + y) + f(−x)k
= kf(−x) + f(x + y + x + y)k = kf(y + x + y)k = kf(x + y) + f(y)k.

Z drugiej strony,

1
2

(x) + f(y)

= kf(x) + 2f(y)k = kf(x) + f(2y)k = kf(x + 2y)k
= kf(x + y) + f(y)k.

A zatem

(x + y) −

1
2

(x)

1
2

(x) + f(y)

(x + y) + f(y)

x, y

∈ G.

(1.6)

4. Ustalmy dowolnie x, y ∈ G i połóżmy u := f(x + y) −

1
2

(x) oraz v :=

1
2

(x) + f(y).

Wówczas z (1.6) otrzymamy

kuk = kvk =

+ v

Z uwagi na ścisłą wypukłość X daje nam to u = v czyli f(x + y) = f(x) + f(y). To kończy
dowód.

Jako wniosek otrzymujemy zapowiadane wcześniej twierdzenie Mazura–Ulama dla prze-

strzeni ściśle wypukłych.

1.1. IZOMETRIE W PRZESTRZENIACH UNORMOWANYCH

1.9 Twierdzenie

Niech X i Y będą rzeczywistymi przestrzeniami unormowanymi i niech przestrzeń Y będzie
ściśle wypukła. Wówczas każda izometria f : X

→ Y spełniająca warunek f(0) = 0 jest

odwzorowaniem liniowym.

Dowód:

Z założeń o f mamy, dla dowolnych x, y ∈ X,

kf(x)k = kf(x) − f(0) = kx − 0k = kxk

i podobnie kf(−x)k = kxk oraz

kf(x) − f(y)k = kx − yk = kf(x − y)k.

(1.7)

Ustalając dowolnie x ∈ X i kładąc w powyższej równości y = −x dostajemy

kf(x) − f(−x)k = 2kxk = kf(x)k + k − f(−x)k,

co, z uwagi na ścisłą wypukłość Y , daje nam

(x) = −λf(−x) dla pewnego λ  0.

Ponieważ kf(x)k = kxk = kf(−x)k, więc λ = 1, co oznacza nieparzystość funkcji f. Wyko-

rzystując tę własność oraz (1.7) otrzymujemy (podstawiając −y w miejsce y)

kf(x + y)k = kf(x) + f(y)k,

x, y

∈ X.

Powołując się na twierdzenie 1.8 stwierdzamy, że f jest addytywna. Jest też, jako izometria,
ciągła, a zatem jest liniowa (tu korzystamy z założenia, że przestrzenie są rzeczywiste).

Mamy też następującą charakteryzację przestrzeni ściśle wypukłych.

1.10 Twierdzenie

Przestrzeń unormowana X o wymiarze dim X

2 jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy,

gdy jedynymi ciągłymi rozwiązaniami f : R

→ X spełniającymi równanie

kf(x + y)k = kf(x) + f(y)k,

x, y

∈ R

(1.8)

są funkcje postaci

(t) = tx

∈ R

gdzie x

∈ X.

Dowód:

1. Jeśli X jest ściśle wypukła, to na mocy twierdzenia 1.8 każde ciągłe rozwią-

zanie (1.8) jest addytywne i ciągłe, a zatem musi być podanej postaci (ćwiczenie).

2. Dla dowodu w drugą stronę wystarczy pokazać, że dla dowolnej przestrzeni X niebę-

dącej ściśle wypukłą można znaleźć funkcję f : R → X spełniającą (1.8), która nie jest jest

liniowa. Załóżmy zatem, że X nie jest ściśle wypukła. Wobec tego istnieją a, b ∈ X, a 6= b
takie, że kak = kbk =

= 1. Gdyby, dla pewnego λ ∈ K było b = λa, to mielibyśmy

|λ| = 1 oraz |1 + λ| = 2 co oznaczałoby λ = 1 czyli a = b, sprzeczność. Zatem a, b są liniowo

niezależne. Zdefiniujmy

(t) :=











−a + (t + 1)b, t ∈ (−∞, −1),
ta,

∈ [−1, 1],

+ (t − 1)b,

∈ (1, ∞).

Tak określona funkcja f : R → X jest oczywiście ciągła i nie jest liniowa. Wykazanie,

że spełnia ona równanie (1.8) pozostawiamy jako ćwiczenie.

ROZDZIAŁ 1. IZOMETRIE

1.1.2 Informacje uzupełniające

Wokół twierdzenia Mazura-Ulama

1.11 Uwaga

Z założenia o surjektywności w twierdzeniu Mazura–Ulama możemy również zrezygnować,
jeśli przestrzenie X i Y są tego samego i skończonego wymiaru. Dokładniej, założenie
dim X = dim Y < ∞ implikuje surjektywność każdej izometrii T : X → Y (Z. Charzyński,

1953).

1.12 Uwaga

Jeśli X i Y są rzeczywistymi przestrzeniami unormowanymi, a f : X → Y ciągłą surjekcją

zachowującą równość odległości, tzn. taką, że dla dowolnych x

, x

, z

∈ X

− x

k = kz

− z

k =⇒ kf(x

) − f(x

)k = kf(z

) − f(z

oraz f(0) = 0, to f = λI gdzie λ ∈ R \ {0}, a I jest surjektywną izometrią. W szczególności
f

jest liniowa. Ponadto, jeśli dim X  2, to założenie o ciągłości funkcji f można pominąć

(A. Vogt 1973).

1.13 Uwaga

Izometria zachowuje każdą odległość. Możemy zażądać a priori mniej; niech f : X → Y

zachowuje jedynie ustaloną odległość k. Okazuje się, że w pewnych przypadkach jest to
równoważne zachowywaniu każdej odległości. Jeśli bowiem f : R

→ R

(1 < n < ∞)

zachowuje odległość (euklidesową) k > 0, tzn.

kx − yk = k =⇒ kf(x) − f(y)k = k dla x, y ∈ R

wówczas f jest izometrią (Twierdzenie Beckmana–Quarlesa).

Proponujemy samodzielne wykazanie tego twierdzenia w przypadku gdy n = 2 i k = 1.

Powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe dla przestrzeni R

(wystarczy rozważyć funkcję

(x) = [x]). Nie jest też prawdziwe dla dowolnej (nieskończenie wymiarowej) przestrzeni. W

szczególności nie jest ono prawdziwe dla przestrzeni l

. Twierdzenie nie utrzymuje się, gdy

metrykę euklidesową zastąpimy inną. Problemy pojawiają się również, gdy w dziedzinie i
przeciwdziedzinie mamy różne przestrzenie (można wówczas podać przykłady odwzorowań
zachowujących odległość 1 i niebędących izometriami, ale nierozstrzygnięty pozostaje np.
przypadek f : R

→ R

Równanie Fischera–Musz´ely’ego

Wróćmy jeszcze do równania funkcyjnego (1.3) (znanego pod nazwą równania Fischera–
Musz´ely’ego). Całkiem niedawno uzyskano pełny opis jego rozwiązań:

1.14 Twierdzenie (R. Ger [12])

Niech (G, +) będzie grupą abelową i niech (X,

k·k) będzie rzeczywistą przestrzenią unormo-

waną. Jeśli f : G

→ X jest rozwiązaniem równania (1.3), to istnieje rzeczywista przestrzeń

Banacha Y , operator addytywny A : G

→ Y oraz nieparzysta izometria I : A(G) → X

takie, że

(x) = I(A(x)),

∈ G.

Na odwrót, dla dowolnej rzeczywistej przestrzeni unormowanej Y , dowolnego operatora
addytywnego A : G

→ Y i dowolnej nieparzystej izometrii I : A(G) → X funkcja f := I ◦ A

jest rozwiązaniem równania (1.3).

1.1. IZOMETRIE W PRZESTRZENIACH UNORMOWANYCH

Przestrzeń Y , o której mowa w pierwszej części twierdzenia jest przestrzenią B(T, R)

funkcji ograniczonych (z normą supremum) określonych na pewnym niepustym zbiorze T ⊂
R

Z abelowości grupy G korzysta się w dowodzie powyższego twierdzenia tylko w jednym

miejscu, wykorzystując pewną wersję twierdzenia Hahna–Banacha dla grup. Korzystając z
najnowszych (2005) wyników R. Badory założenie abelowości można osłabić.

Twierdzenie Banacha-Stone’a

Niech X będzie zwartą przestrzenią topologiczną Hausdorffa, a C(X) = CR(X) algebrą

funkcji ciągłych określonych na X o wartościach rzeczywistych z normą supremum. W szcze-
gólności, przez 1 i 0 będziemy oznaczać, odpowiednio, funkcję stałą równą 1 oraz funkcję
zerową. Przestrzeń C(X) nie jest ściśle wypukła (poza przypadkiem trywialnym, gdy X jest
zbiorem jednopunktowym).

Można wykazać (zob. np. [1, Theorem 10.13]) następujące twierdzenie:

1.15 Twierdzenie

Niech X i Y będą zwartymi przestrzeniami Hausdorffa. Niech P : C(X)

→ C(Y ) będzie

bijektywną izometrią spełniającą warunek P (0) = 0. Wówczas:

(1)P (fg) = P (f)P (g),

f, g

∈ C(X).

A więc, przy dodatkowym założeniu P (1) = 1, P jest operatorem addytywnym względem
działań mnożenia w algebrach C(X) i C(Y ).

Poniższe twierdzenie podał Banach w 1932 (w słynnej monografii o teorii operatorów

liniowych – zob. też [4]). Wynik Banacha (uzyskany dla przestrzeni metrycznych) uogólnił
w 1937 roku M.H. Stone:

1.16 Twierdzenie (Banacha–Stone’a)

Niech X i Y będą zwartymi przestrzeniami Hausdorffa. Przestrzenie C(X) i C(Y ) są izo-
metrycznie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy X i Y są homeomorficzne.

Ponadto, każda liniowa izometria I: C(X)

→ C(Y ) jest postaci

(f)(y) = σ(y)(f ◦ h)(y),

∈ Y, f ∈ C(X)

gdzie h: Y

→ X jest homeomorfizmem, a σ : Y → R ciągłą funkcją spełniającą warunek

|σ(y)| = 1 dla y ∈ Y .

(Dowód np. w [1, Theorem 10.14].)

Stabilność izometrii

Niech X i Y będzą rzeczywistymi przestrzeniami unormowanymi. Dla ε  0, funkcję f: X →
Y

nazwiemy ε-izometrią jeśli

| kf(x) − f(y)k − kx − yk | ¬ ε,

x, y

∈ X.

Problem tzw. stabilności izometrii postawili S. Ulam i D. Hyers. Czy dowolną ε-izometrię

można przybliżyć prawdziwą izometrią? I jakie jest to przybliżenie w zależności od ε; w
szczególności czy jest ono tym lepsze im mniejsze jest ε? W pracy z 1945 roku Hyers i Ulam
pokazali, że jeśli X = Y jest rzeczywistą przestrzenią Hilberta i f: X → X jest surjektywną
ε

-izometrią taką, że f(0) = 0, to istnieje izometria I: X → X taka, że kf(x) − I(x)k ¬ 10ε

dla wszystkich x ∈ X.

Ten wynik był w ciągu kolejnych 50 lat poprawiany. W 1983 roku został on uzyskany

przez J. Gevirtza dla dowolnych przestrzeni Banacha, ze stałą 5ε (w miejsce 10ε u Hyersa
i Ulama). Ostatecznie, w 1995 roku M. Omladiˇc i P. ˇSemrl [19] pokazali:

ROZDZIAŁ 1. IZOMETRIE

1.17 Twierdzenie

Niech X i Y będą rzeczywistymi przestrzeniami Banacha. Jeśli f : X

→ Y jest surjektywną

-izometrią i taką, że f (0) = 0, to istnieje dokładnie jedna liniowa izometria I: X

→ Y taka,

że

kf(x) − I(x)k ¬ 2ε,

∈ X.

Stała „2” w tezie powyższego twierdzenia (lepsza niż u Gevirtza) okazuje się być już

optymalna. Z k < 2 teza nie zachodzi, co widać z poniższego przykładu:

1.18 Przykład

Niech X = Y = R i niech

(x) :=

(

−3t, t ∈ [0,

1
2

− 1, t ∈ R \ [0,

1
2

Wówczas f jest (ćwiczenie) 1-izometrią. Jedyne liniowe izometrie z R na R, to I

(t) = t oraz

(t) = −t dla t ∈ R. Widać, że sup

∈

|f(t) − I

(t)| = ∞ oraz sup

∈

|f(t) − I

(t)| = 2.

Założenie o surjektywności jest istotne. Wskazuje na to poniższy przykład podany w

pracy Hyersa i Ulama.

1.19 Przykład

Niech X = R, Y = R

oraz ε > 0 i c > 0 takie, że

·max

(log x)

2x − 2

< ε.

Niech

(x) :=

(

(x, 0), t ¬ 1,

(x, c·log x), t > 1.

Wówczas f jest ε-izometrią. Jednak żadna z izometrii I : R → R

nie aproksymuje f (w

sensie podanym w twierdzeniu).

1.2 Izometrie w przestrzeniach unitarnych

1.2.1 Równania ortogonalności i Wignera

W tym rozdziale zakładamy, że H jest przestrzenią Hilberta (zespoloną) o wymiarze więk-
szym od 1.

Odwzorowanie T : H → H nazywamy addytywnym jeśli dla dowolnych x, y ∈ H zachodzi

(x + y) = T (x) + T (y). Operator T jest jednorodny jeśli dla dowolnego x ∈ H i dowolnego

∈ C spełnia warunek T (λx) = λT (x). Odwzorowanie addytywne i jednorodne nazywamy

liniowym

. Odwzorowanie T : H → H nazywamy antyliniowym jeśli jest addytywne i spełnia

warunek T (λx) = λT (x) dla wszystkich x ∈ H oraz λ ∈ C.

Będziemy rozważać odwzorowania zachowujące iloczyn skalarny tj. spełniające tzw. rów-

nanie ortogonalności

hT (x)|T (y)i = hx|yi ,

x, y

∈ H.

(1.9)

Łatwo wykazać, że są one liniowymi izometriami. Istotnie, dla dowolnych x, y ∈ H mamy

kT (x + y) − T (x) − T (y)k

= hT (x + y) − T (x) − T (y)|T (x + y) − T (x) − T (y)i
= hT (x + y)|T (x + y)i − hT (x + y)|T (x)i

− hT (x + y)|T (y)i − hT (x)|T (x + y)i + hT (x)|T (x)i

1.2. IZOMETRIE W PRZESTRZENIACH UNITARNYCH

+ hT (x)|T (y)i − hT (y)|T (x + y)i
+ hT (y)|T (x)i + hT (y)|T (y)i

= hx + y|x + yi − hx + y|xi − hx + y|yi − hx|x + yi

więc T jest addytywne.

Podobnie, dla x ∈ H oraz λ ∈ C

kT (λx) − λT (x)k

= hT (λx) − λT (x)|T (λx) − λT (x)i
= hT (λx)|T (λx)i − λ hT (λx)|T (x)i

−λ hT (x)|T (λx)i + λλ hT (x)|T (x)i

= hλx|λxi − λ hλx|xi − λ hx|λxi + λλ hx|xi
= 0,

co dowodzi jednorodności.

Dla dowolnego x ∈ H mamy

kT (x)k =

hT (x)|T (x)i =

hx|xi = kxk.

Korzystając z powyższego oraz z wykazanej liniowości T , dla dowolnych x, y ∈ H mamy

kT (x) − T (y)k = kT (x − y)k = kx − yk,

czyli T jest izometrią, a więc, w szczególności, injekcją. Jeśli założymy surjektywność funkcji
T

, będzie ona liniową bijekcją i izometrią, czyli izometrycznym izomorfizmem.

Na odwrót, jeśli T jest liniową izometrią (w przypadku gdy H jest rzeczywistą przestrze-

nią unitarną, a więc ściśle wypukłą, wystarczy zakładać, że T jest izometrią spełniającą
warunek T (0) = 0), to zastosowanie wzorów polaryzacyjnych pozwala stwierdzić, że T
zachowuje iloczyn skalarny:

hT (x)|T (y)i =

1
4

kT (x) + T (y)k

− kT (x) − T (y)k

−

1
4

kiT (x) + T (y)k

− kiT (x) − T (y)k

1
4

kT (x + y)k

− kT (x − y)k

−

1
4

kT (ix + y)k

− kT (ix − y)k

1
4

kx + yk

− kx − yk

−

1
4

kix + yk

− kix − yk

= hx|yi .

1.20 Definicja

Surjektywne odwzorowanie zachowujące iloczyn skalarny nazywane jest operatorem unitar-
nym

Będziemy też rozważać odwzorowania spełniające warunek

hT (x)|T (y)i = hx|yi, x, y ∈ H.

(1.10)

Rozumowanie analogiczne do przeprowadzonego powyżej pozwala stwierdzić, że T jest wów-
czas antyliniową izometrią. I na odwrót, antyliniowa izometria spełnia równanie (1.10).

ROZDZIAŁ 1. IZOMETRIE

1.21 Definicja

Surjektywne odwzorowanie spełniające (1.10) nazywane jest operatorem antyunitarnym.

Każde z odwzorowań spełniających równanie (1.9) lub (1.10) zachowuje, w szczególności,

moduł iloczynu skalarnego tj. spełnia następujące równanie Wignera

| hT (x)|T (y)i | = | hx|yi |, x, y ∈ H

(1.11)

1.2.2 Twierdzenie Wignera

1.22 Definicja

Dwa odwzorowania T, S : H → H nazywamy fazowo równoważnymi, jeśli istnieje funkcja
ϕ

: E → {z ∈ C : |z| = 1} taka, że

(x) = ϕ(x)S(x) dla każdego x ∈ H.

Relacja fazowej równoważności jest, oczywiście, relacją równoważności. Ponadto:

1.23 Lemat

Niech T, S : H

→ H będą dwoma, fazowo równoważnymi operatorami. Jeśli T spełnia

równanie Wignera (1.11), to również S spełnia to równanie.

Dowód:

Niech S(x) = σ(x)T (x), dla x ∈ H gdzie |σ(x)| = 1. Dla dowolnych x, y ∈ H

mamy wówczas

| hS(x)|S(y)i | = | hσ(x)T (x)|σ(y)T (y)i | = | hT (x)|T (y)i |

= | hx|yi |.

1.24 Twierdzenie (Wignera)

Każde rozwiązanie równania Wignera (1.11) jest fazowo równoważne z pewną liniową lub
antyliniową izometrią (tzn. z odwzorowaniem spełniającym (1.9) lub (1.10)).
Każdy surjektywny operator spełniający równanie Wignera (1.11) jest fazowo równoważny
z pewnym operatorem unitarnym lub antyunitarnym.

Zanim przystąpimy do dowodu twierdzenia Wignera udowodnimy szereg pomocniczych

lematów.

1.25 Lemat

Niech A : H

→ H. Jeśli A jest rozwiązaniem równania Wignera, to A zachowuje liniową

niezależność i liniową zależność pary wektorów.

Dowód:

Zauważmy, że A jako rozwiązanie równania (1.11) zachowuje prostopadłość tzn.

(x)⊥A(y) ⇐⇒ x⊥y

dla dowolnych x, y ∈ H. Odwzorowanie A zachowuje także normę wektora tzn. kA(x)k =
kxk dla x ∈ H.

Niech x, y ∈ H będą wektorami liniowo niezależnymi. Załóżmy dla dowodu nie wprost, że

ich obrazy A(x), A(y) są liniowo zależne, czyli np. A(x) = λA(y), dla pewnego λ. Dobierzmy
wektor z ∈ lin {x, y} taki, że z⊥y oraz z 6= 0. Ponieważ A zachowuje prostopadłość wek-

torów, to A(z)⊥A(y), a więc również A(z)⊥A(x). Korzystając jeszcze raz z zachowywania

prostopadłości otrzymujemy z⊥x, z⊥y co, wobec założenia z 6= 0, oznacza, że z 6∈ lin {x, y},

a więc sprzeczność. Zatem obrazy liniowo niezależnych wektorów są również liniowo nieza-
leżne.

1.2. IZOMETRIE W PRZESTRZENIACH UNITARNYCH

Załóżmy teraz, że x, y ∈ H są liniowo zależne. Mamy więc np. y = λx. Wówczas

| hA(x)|A(y)i | = | hA(x)|A(λxi | = | hx|λxi | = |λ|kxk

= kA(x)k·kA(y)k

tzn. zachodzi równość w nierówności Schwarza, co oznacza, że A(x) i A(y) są liniowo zależne.

1.26 Lemat

Jeśli A : H

→ H spełnia równanie Wignera (1.11), to dla dowolnych, niezerowych, ortogo-

nalnych wektorów x, y

∈ H oraz dla dowolnych skalarów α, β ∈ C istnieją skalary α

, β

∈ C

takie, że

(αx + βy) = α

(x) + β

(y)

oraz

|α

| = |α| i |β

| = |β|.

Dowód:

Dla dowolnych ortogonalnych, niezerowych wektorów x, y ∈ H oraz dla dowol-

nych skalarow α, β istnieją wówczas skalary α

, β

oraz wektor h ∈ H, h⊥lin {A(x), A(y)}

takie, że

(αx + βy) = α

(x) + β

(y) + h.

Mamy zatem (korzystając z zachowywania prostopadłości i normy):

| hA(αx + βy)|A(x)i | = |

(x) + β

(y) + h|A(x)

| = |α

|kxk

a z drugiej strony

| hA(αx + βy)|A(x)i | = | hαx + βy|xi | = |α|kxk

Stąd |α

| = |α|. Analogicznie mamy

|β|kyk

= | hαx + βy|yi | = | hA(αx + βy)|A(y)i |
= |

(x) + β

(y) + h|A(y)

= |β

|kyk

a stąd |β

| = |β|. Korzystając z prostopadłości wektorów x, y oraz T (x), T (y), h mamy też

|α|

kxk

+ |β|

kyk

= kαx + βyk

= kA(αx + βy)k

= kα

(x) + β

(y) + hk

= |α

kA(x)k

+ |β

kA(y)k

+ khk

= |α|

kxk

+ |β|

kyk

+ khk

co daje nam h = 0. Ostatecznie mamy więc

(αx + βy) = α

(x) + β

(y).

i |α

| = |α|, |β

| = |β|.

1.27 Lemat

Niech A : H

→ H będzie odwzorowaniem, którego zacieśnienie do każdej jednowymiaro-

wej podprzestrzeni jest addytywne. Załóżmy też, że A jest odwzorowaniem ortogonalnie
addytywnym, tzn. dla dowolnych wektorów x, y

∈ H zachodzi

⊥y

⇒

(x + y) = A(x) + A(y).

Wówczas A jest addytywne w H.

ROZDZIAŁ 1. IZOMETRIE

Dowód:

Niech x, y będą liniowo niezależnymi, nieortogonalnymi wektorami (w przeciw-

nym wypadku addytywność jest założona). Znajdziemy wektory u, v takie, że:

lin {u, v} = lin {x, y} oraz u⊥v.

Wówczas mamy, dla pewnych skalarów α, β, γ, δ ∈ C,

= αu + βv,

= γu + δv

a stąd i z założeń:

(x + y) = A((α + γ)u + (β + δ)v)

= A((α + γ)u) + A((β + δ)v)
= A(αu) + A(γu) + A(βv) + A(δv)
= A(αu + βv) + A(γu + δv)
= A(x) + A(y).

1.28 Lemat

Niech x i y będą dwoma niezerowymi, ortogonalnymi wektorami z przestrzeni Hilberta H.
Oznaczmy:

S := lin x,

T := lin y.

Jeśli A : H

→ H jest operatorem addytywnym na H oraz liniowym na S i antyliniowym na

T , to A nie spełnia (1.11).

Dowód:

Przypuśćmy, że A spełnia równanie Wignera tzn., zachowuje wartość bezwzglę-

dną iloczynu skalarnego. Wówczas mielibyśmy

kxk

+ kyk

= | hi(x + y)|x + yi |
= | hA(ix + iy))|A(x + y)i |
= |

(x) + iA(y)|A(x) + A(y)

= |i hA(x) − A(y)|A(x) + A(y)i |
= | kxk

− kyk

– sprzeczność.

1.29 Lemat

Niech A : H

→ H będzie operatorem addytywnym, spełniającym równanie Wignera (1.11)

i takim, że zacieśnienie do dowolnej podprzestrzeni jednowymiarowej jest liniowe albo an-
tyliniowe. Wówczas A jest liniowe lub antyliniowe na H.

Dowód:

Przypuśćmy, że S := lin x i T := lin y są jednowymiarowymi podprzestrzeniami

przestrzeni H, takimi, że zacieśnienie A do S jest liniowe, zaś zacieśnienie do T – antyli-

niowe. Z lematu 1.28 wynika, że wektory x i y nie mogą być prostopadłe. Możemy zatem
przedstawić wektor y w postaci

= αx + βz

gdzie z jest wektorem jednostkowym, prostopadłym do x. Z lematu 1.28 wynika, że zacie-
śnienie A do podprzestrzeni rozpiętej na wektorze z jest liniowe. A zatem:

(iy) = iA(y) = −iA(αx + βz) = −iA(αx) − iA(βz)

= −A(iαx) − A(iβz) = −A(iαx + iβz)
= −A(iy)

1.2. IZOMETRIE W PRZESTRZENIACH UNITARNYCH

skąd otrzymujemy A(iy) = 0, a więc sprzeczność, gdyż kA(iy)k = kiyk = kyk 6= 0. Zatem

na wszystkich jednowymiarowych podprzestrzeniach A jest liniowe lub na wszystkich an-
tyliniowe. Ponieważ z założenia A jest addytywne, oznacza to liniowość bądź antyliniowość
na całej przestrzeni H.

1.30 Lemat

Niech α, β

∈ C. Jeśli |α| = |β| i |1 + α| = |1 + β|, to α = β lub α = β.

Dowód:

Niech α = a

+ ia

i β = b

+ ib

. Z założenia mamy a

+ a

= b

+ b

. Jeśli

|1 + α| = |1 + β|, to mamy (1 + a

)

+ a

= (1 + b

)

+ b

a stąd 2a

= 2b

i a

= b

. Stąd

= β lub α = β.

Dowód twierdzenia Wignera:

Niech T będzie ustalonym rozwiązaniem równania Wi-

gnera. Określimy odwzorowanie A : H → H – fazowo równoważne z T . W dalszym ciągu

będziemy sukcesywnie określać wartość σ(x) (taką, że A(x) = σ(x)T (x)) dla poszczególnych
x

∈ H. Oczywiście, jeśli A jest fazowo równoważne z T , to T jest fazowo równoważne z A.

Będziemy tak dobierać σ, aby A było liniowe lub antyliniowe. Wówczas A, jako odwzoro-
wanie zachowujące normę, będzie liniową bądź antyliniową izometrią.

Niech x będzie dowolnie ustalonym wektorem jednostkowym w H. Niech A(x) := T (x).

Oznaczmy przez S jednowymiarową podprzestrzeń rozpiętą przez x. Niech y będzie dowolnie

ustalonym wektorem jednostkowym z S

⊥

. Dla dowolnego α ∈ C określimy σ(x + αy) oraz

(αy). Wiemy, że

| hA(x + αy)|A(x)i | = | hT (x + αy)|T (x)i | = | hx + αy|xi | = 1

oraz

| hA(x + αy)|A(αy)i | = | hT (x + αy)|T (αy)i | = |α|

Możemy więc dobrać σ(x + αy) i σ(αy) tak, aby

hA(x + αy)|A(x)i = 1 oraz

hA(x + αy)|A(αy)i = |α|

(Korzystamy z tego, że jeśli |z| = r, to istnieje ξ ∈ C, |ξ| = 1 takie, że ξz = r.)

spełnia równanie Wignera, zatem, korzystając z lematu 1.26, mamy

(x + αy) = γA(x) + δA(αy)

gdzie |γ| = 1 i |δ| = 1. Mamy też

1 = hA(x + αy)|A(x)i = hγA(x) + δA(αy)|A(x)i = γkA(x)k

= γ

oraz

|α|

= hA(x + αy)|A(αy)i = hγA(x) + δA(αy)|A(αy)i = δkA(αy)k

= δ|α|

a zatem γ = δ = 1 czyli

(x + αy) = A(x) + A(αy).

(1.12)

Korzystając jeszcze raz z lematu 1.26 możemy zapisać

(x + αy) = γA(x) + α

(y)

gdzie |γ| = 1 i |α

| = |α|. Jak wyżej wykazujemy, że γ = 1 czyli

(x + αy) = A(x) + α

(y),

|α

| = |α|.

(1.13)

ROZDZIAŁ 1. IZOMETRIE

Z (1.13) i (1.12) dostajemy

(αy) = α

(y).

(1.14)

W szczególności, gdy α = 1, to również α

= 1 czyli

(x + y) = A(x) + A(y).

(1.15)

Z (1.13) i (1.15) dostajemy

| hA(x + αy)|A(x + y)i | = |

(x) + α

(y)|A(x) + A(y)

a zatem

| hx + αy|x + yi | = | hA(x)|A(x)i + α

hA(y)|A(y)i |

czyli

|1 + α| = |1 + α

| oraz |α

| = |α|.

Zgodnie z tezą lematu 1.30 stwierdzamy, że

= α lub α

= α.

Rozważmy teraz parę liczb zespolonych α, β. Mamy zatem (1.13) oraz

(x + βy) = A(x) + β

(y)

(1.16)

oraz β

= β lub β

= β. Z równości (1.13) i (1.16) otrzymujemy

| hA(x + αy)|A(x + βy)i | = |

(x) + α

(y)|A(x) + β

(y)

a stąd

|1 + αβ| = |1 + α

Stosując lemat 1.30 dostajemy α

= αβ lub α

= αβ. Ponieważ α

= α lub α

= α oraz

= β lub β

= β, otrzymujemy

= α, i β

= β

lub

= α, i β

= β.

W ten sposób wykazaliśmy (korzystając z (1.14)), że A zacieśnione do dowolnej jedno-

wymiarowej podprzestrzeni (generowanej przez y), przestrzeni S

⊥

jest albo liniowe, albo

antyliniowe.

Dalsze postępowanie jest konieczne gdy wymiar przestrzeni H jest większy niż 2.
Niech y, z będą dwoma jednostkowymi, ortogonalnymi wektorami należącymi do prze-

strzeni S

⊥

. Dobierzmy α, β ∈ C tak, żeby kαy + βzk = 1. Oczywiście x⊥αy + βz. Zatem

możemy zastosować do wektora αx + βy to, co ustaliliśmy wyżej. Korzystając z (1.15) oraz
z tezy lematu 1.26 mamy

(x + αy + βz) = A(x) + A(αy + βz) = A(x) + α

(y) + β

(z)

(1.17)

dla pewnych α

, β

∈ C takich, że |α

| = |α| i |β

| = |β|. Ze wzorów (1.13) i (1.17)

otrzymujemy

| hA(x + αy)|A(x + αy + βz)i | = |

(x) + α

(y)|A(x) + α

(y) + β

(z)

a stąd

| hx + αy|x + αy + βzi | = |1 + α

1.2. IZOMETRIE W PRZESTRZENIACH UNITARNYCH

czyli

|1 + αα| = |1 + α

| oraz |αα| = |α

Korzystając z lematu 1.30 mamy

αα

= α

lub αα = α

Korzystając z faktu, że α

= α lub α

= α otrzymujemy

= α

Analogicznie wykazujemy, że

= β

i otrzymujemy (korzystając z (1.14))

(αy + βz) = α

(y) + β

(z) = α

(y) + β

(z) = A(αy) + A(βz).

Biorąc w powyższym α = β =

ky+zk

(oczywiście mamy wtedy kαy + βzk = 1) i korzystając

z R-jednorodności (wiemy, że A jest liniowe bądź antyliniowe na każdej jednowymiarowej
podprzestrzeni przestrzeni S

⊥

) dostaniemy

(y + z) = ky + zkA

ky + zk

= ky + zkA

ky + zk

+ ky + zkA

ky + zk

= A(y) + A(z).

W ten sposób pokazaliśmy, że A zacieśnione do S

⊥

spełnia założenia lematu 1.27. Z jego

tezy wnioskujemy, że A zacieśnione do S

⊥

jest addytywne. To pozwala na skorzystanie z

lematu 1.29 i wnioskowanie, że A jest liniowe lub antyliniowe na S

⊥

Przypuśćmy, że A jest liniowe (analogicznie: antyliniowe) na S

⊥

. Rozszerzamy definicję

na całą przestrzeń H w sposób liniowy (odpowiednio: antyliniowy) tzn. dla w = αx + βy

(dla y⊥x) określamy A(w) := αA(x) + βA(y) (odpowiednio: A(w) := αA(x) + βA(y)).

Oczywiście, taka definicja gwarantuje liniowość (odpowiednio: antyliniowość) odwzorowania
A

na H.

Dzięki (1.13) i (1.14) oraz założeniu: α

= α (odpowiednio: α

= α), taka definicja

zgadza się z przyjętymi wcześniej określeniami (tzn. z określeniem wartości A dla x oraz dla
wektorów postaci x + αy i αy gdzie y⊥x i kyk = 1).

Pozostaje pokazać, że to ostatnie rozszerzenie utrzymuje fazową równoważność A i

. W przypadku liniowym (w antyliniowym analogicznie) dla αx ∈ S mamy A(αx) =

αA

(x) = αT (x) oraz kT (αx)k = kαxk = |α|kxk = |α|. Ponadto wiemy (lemat 1.25), że

(αx) = βT (x) oraz |β| = |α|. Zatem A(αx) =

α
β

(αx) i oczywiście

α
β

= 1. Zatem na S

odwzorowania A i T są fazowo równoważne. Sprawdzimy, że jest tak rownież dla dowolnych
wektorów postaci αx + βy (dla α 6= 0 i 0 6= y ∈ S

⊥

). Korzystając z lematu 1.25, faktu, że

zachowuje normę i z określenia A dla wektora postaci x + δy mamy

(αx + βy) = T (α(x + α

−1

βy

)) = ˜

αT

(x + α

−1

βy

) = ˜

αγA

(x + α

−1

βy

)

= α

−1

αγA

(αx + βy)

gdzie |˜α| = |α| i |γ| = 1 więc |α

−1

αγ

| = 1 co oznacza fazową rownoważność A i T . W ten

sposób wykazaliśmy pierwszą tezę twierdzenia.

ROZDZIAŁ 1. IZOMETRIE

Zauważmy, że jeśli operator T jest surjektywny, to również skontruowany przez nas

operator A jest surjektywny. Mamy bowiem T (x) = σ(x)A(x) dla x ∈ H gdzie σ(x) ∈ C i
|σ(x)| = 1 dla każdego x ∈ H. Zatem jeśli y

∈ H, to istnieje x

∈ H takie, że T (x

) = y

wówczas biorąc z

:= σ(x

gdy A jest liniowy lub z

:= σ(x

gdy A jest antyliniowy

mamy

) = σ(x

)A(x

) = T (x

) = y

Operator A jest więc surjektywny a więc unitarny lub antyunitarny.

1.31 Uwaga

Prezentowany wyżej dowód pochodzi z pracy [21]. Inny dowód można znaleźć np. w pracy
[13]. Twierdzenie Wignera można udowodnić w bardziej ogólnej postaci. Zamiast odwzo-
rowania T z przestrzeni Hilberta H w siebie można rozważać odwzorowania z przestrzeni
unitarnej X w przestrzeń unitarną Y (tzn. niekoniecznie X = Y i, co szczególnie ważne, za-
łożenie o zupełności przestrzeni X, Y można pominąć. Twierdzenie jest prawdziwe także dla
rzeczywistych przestrzeni unitarnych; w takim przypadku uzyskujemy fazową równoważność
(czyli równość z dokładnością do znaku: +1, −1) z liniową izometrią (rozwiązaniem (1.9)),

bądź (przy założonej surjektywności operatora) z odwzorowaniem unitarnym. Por. [20].

1.2.3 Stabilność równania ortogonalności i Wignera

Wyniki omawiane w tej części pochodzą od autora wykładu (w szczególności [3, 7, 8]).
Niech X będzie przestrzenią unitarną, a Y przestrzenią Hilberta. Prawdziwe jest następujące
twierdzenie:

1.32 Twierdzenie

Niech ε > 0 i p

∈ R \ {1}. Wówczas jeśli funkcja f: X → Y spełnia

| | hf(x)|f(y)i | − | hx|yi | | ¬ ε kxk

kyk

x, y

∈ X

(1.18)

(gdzie X

= X dla p  0 i X

= X \ {0} dla p < 0), to istnieje jedyne z dokładnością do

fazowej równoważności odwzorowanie I : X

→ Y spełniające równanie Wignera i takie, że

kf(x) − I(x)k ¬

√

kxk

∈ X

Stała √ε, która pojawia się w tezie twierdzenia jest optymalna. Zobaczmy to analizując

poniższy przykład.

1.33 Przykład

Niech f : l

→ l

będzie odwzorowaniem zadanym przez:

(x) := (

√

kxk

, t

, . . .

) dla x = (t

, t

, . . .

) ∈ l

Wówczas f spełnia (1.18) i I(x) := (0, t

, t

, . . .

) jest rozwiązaniem równania Wignera ta-

kim, że kf(x) − I(x)k =

√

kxk

dla x ∈ l

. Każde inne rozwiązanie J spełniające osza-

cowanie kf(x) − J(x)k ¬

√

kxk

musi być fazowo równoważne z I, a zatem J(x) =

(0, σ(x)t

, σ

(x)t

, . . .

) gdzie |σ(x)| = 1. Wówczas kf(x) − J(x)k 

√

kxk

, więc kf(x) −

(x)k =

√

kxk

W szczególności, dla p = 0, otrzymujemy klasyczną stabilność w sensie Hyersa–Ulama

równania Wignera.

W szczególnym przypadku, gdy X = Y = R

mamy do czynienia ze zjawiskiem super-

stabilności

1.2. IZOMETRIE W PRZESTRZENIACH UNITARNYCH

1.34 Twierdzenie

Każda funkcja f : R

→ R

spełniajaca

| | hf(x)|f(y)i | − | hx|yi | | ¬ ε kxk

kyk

x, y

∈ R

z p

∈ R \ {1}, musi być rozwiązaniem równania Wignera na R

Przypadek p = 1 jest przypadkiem osobliwym. Łatwo widać, że dla odwzorowania

: X → Y spełniającego

| | hf(x)|f(y)i | − | hx|yi | | ¬ ε kxk kyk,

x, y

∈ X

(1.19)

i dla dowolnego rozwiązania równania Wignera I: X → Y mamy

kf(x) − I(x)k ¬

1 +

√

1 + ε

kxk,

∈ X.

Jednakże, wykazując stabilność powinniśmy zastąpić stałą 1 +

√

1 + ε przez pewne δ(ε)

spełniające warunek lim

→0

(ε) = 0.

Generalnie (poza pewnymi szczególnymi przypadkami) ten problem pozostaje nieroz-

wiązany.

Dla p = 1 nie ma efektu superstabilności.

1.35 Przykład

Niech I : X → Y będzie rozwiązaniem równania Wignera. Wówczas odwzorowanie f: X →
Y

zadane przez

(x) =

√

1 + ε I(x),

∈ X

spełnia (1.19) ale nie jest rozwiązaniem równania Wignera (nie zachowuje normy).

Dla równania ortogonalności mamy analogiczne twierdzenia:

1.36 Twierdzenie

Niech ε > 0 i p

∈ R \ {1}. Wówczas jeśli funkcja f: X → Y spełnia

| hf(x)|f(y)i − hx|yi | ¬ ε kxk

kyk

x, y

∈ X

(1.20)

to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie I : X

→ Y spełniające równanie ortogonalności i

takie, że

kf(x) − I(x)k ¬

√

kxk

∈ X

Ponadto, jeśli dim X = dim Y <

∞, to każde rozwiązanie nierówności (1.20) jest w rzeczy-

wistości rozwiązaniem równania ortogonalności.

Również i dla równania ortogonalności przypadek p = 1 jest przypadkiem szczególnym.

Generalnie, nie wiadomo czy twierdzenie o stabilności zachodzi w tym przypadku (super-
stabilność na pewno nie). Jedyny rezultat udało się uzyskać pod założeniem skończoności
wymiaru dziedziny.

1.37 Twierdzenie

Niech X i Y będą przestrzeniami unitarnymi i niech X będzie przestrzenią skończenie wy-
miarową. Wówczas istnieje ciągłe odwzorowanie δ : [0, 1)

→ [0, +∞) (zależne tylko od wy-

miaru przestrzeni X) spełniające warunek lim

→0

(ε) = 0 i takie, że zachodzi następująca

własność. Dla każdego odwzorowania f : X

→ Y spełniającego

| hf(x)|f(y)i − hx|yi | ¬ εkxk kyk,

x, y

∈ X

(1.21)

istnieje rozwiązanie I : X

→ Y równania ortogonalności (czyli liniowa izometria) takie, że

kf(x) − I(x)k ¬ δ(ε)kxk,

∈ X.

ROZDZIAŁ 1. IZOMETRIE

Nie udało się wyrazić funkcji δ(ε) efektywnym wzorem (a tym bardziej znaleźć optymalnej
wartości δ(ε)).

Z powyższego twierdzenia można uzyskać następujący wniosek:

1.38 Wniosek

Niech X i Y będą przestrzeniami unitarnymi i niech X będzie przestrzenią skończenie
wymiarową. Wówczas dla każdego δ > 0 istnieje ε > 0 takie, że dla każdego odwzorowania
f

: X → Y spełniającego (1.21) istnieje liniowa izometria I : X → Y taka, że

kf(x) − I(x)k ¬ δkxk,

∈ X.

Przypadek nieskończenie wymiarowy pozostaje nierozstrzygnięty.

1.3 Ćwiczenia

1–1 Niech X i Y będą rzeczywistymi przestrzeniami unormowanymi (lub ogólniej, liniowo-topo-

logicznymi). Wykazać, że każda ciągła i addytywna funkcja f : X → Y jest liniowa. Ponadto,

jeśli X = R, to taka funkcja jest postaci

(t) = ty

∈ R

dla pewnego y

∈ Y .

1–2 Środki metryczne.

(a) Podać przykład przestrzeni unormowanej, w której można znaleźć więcej niż jeden

środek metryczny dla układu dwóch punktów.

(b) Wykazać, że w przestrzeni unormowanej ściśle wypukłej jedynym środkiem metrycz-

nym układu dwóch punktów jest ich środek algebraiczny.

1–3 Wykazać równoważność warunków definiujących ścisłą wypukłość.

1–4 Pokazać, że każda przestrzeń unitarna jest ściśle wypukła.

1–5 Pokazać, że funkcja g : R → l

∞

dana wzorem

(t) := (t, sin t),

jest przykładem nieafinicznej izometrii.

1–6 Nieafiniczne izometrie.

(a) Niech Y będzie dowolną rzeczywistą przestrzenią unormowaną, która nie jest ściśle

wypukła. Wybierzmy a, b ∈ Y tak, aby: a i b były liniowo niezależne, kak = kbk = 1

oraz ka+bk = kak+kbk (uzasadnić, że taki wybór jest możliwy). Dla x ∈ R zdefiniujmy

(x) =

dla x ¬ 1,

+ (x − 1)b

dla x > 1.

Udowodnić, że funkcja f : R → Y jest izometrią, ale nie jest afiniczna.

(b) Zdefiniujmy funkcję g : R

→ R

(x, y) =







dla 0 ¬ y ¬ x lub x ¬ y ¬ 0,

dla 0 ¬ x ¬ y lub y ¬ x ¬ 0,

w pozostałych przypadkach.

Niech X oznacza przestrzeń euklidesową R

oraz niech Y oznacza przestrzeń liniową

z normą (sprawdzić) daną wzorem

k(x, y, z)k = max(

+ y

|z|).

Wykazać, że funkcja f : X → Y dana wzorem

(x, y) := (x, y, g(x, y))

jest przykładem jednorodnej izometrii, która nie jest liniowa.

1.3. ĆWICZENIA

1–7 Niech X

i X

będą dwiema przestrzeniami unormowanymi (zespolonymi). Wykazać, że

surjektywna izometria T : X

→ X

, spełniająca warunek T (0) = 0, jest odwzorowaniem

-liniowym, ale niekoniecznie C-liniowym.

1–8 Wykazać, że odwzorowanie f : R

→ R

zachowujące odległość jednostkową, tzn. spełniające,

dla dowolnych x, y ∈ R

, warunek

kx − yk = 1

⇒

kf(x) − f(y)k = 1

jest izometrią.
Wskazówka: (S. Kołodziej) 1. Wykazać, że jeśli x, y, z

∈ R

są wierzchołkami trójkąta

równobocznego o boku długości 1, to również f(x), f(y), f(z) są wierzchołkami takiego trój-
kąta. 2. Jeśli pokryjemy płaszczyznę siatką przylegających do siebie trójkątów równobocz-
nych o boku długości 1, to obrazy wierzchołków takiej siatki utworzą analogiczną siatkę na
płaszczyźnie. 3. Punkty leżące na jednej prostej i odległe od siebie o liczbę całkowitą mają
obrazy leżące również na jednej prostej, w takiej samej odległości. 4. Jeśli kx − yk ¬ n, to
kf(x) − f(y)k ¬ n + 1 (dla dowolnej liczby naturalnej n. 5. Obrazem dowolnego okręgu o

promieniu jednostkowym jest również taki okrąg. 6. W konsekwencji, f jest izometrią.

1–9 Niech A będzie ośrodkiem w przestrzeni l

i niech f : l

→ A przyporządkowuje elementowi

∈ l

element a

∈ A taki, że kx − a

k <

1
2

. Niech g : A → l

przyporządkowuje elementowi

∈ A wektor

√

∞

i=1

∈ l

. Wykazać, że złożenie f z g zachowuje odległość jeden, ale

nie jest izometrią.

1–10 Rozważmy przestrzeń R

z metryką maksimum oraz odwzorowanie f : R

→ R

dane wzorem

(x) = f(t, s) = [t] + (t − [t])

[s] + (s − [s])

Wykazać, że f jest ciągłym odwzorowaniem zachowującym odległość jednostkową (w rozwa-
żanej metryce), ale nie jest izometrią.

ROZDZIAŁ 1. IZOMETRIE

Rozdział 2

Przestrzenie liniowo-topologiczne

Przestrzenie liniowo-topologiczne, a w szczególności przestrzenie liniowo-topologiczne lokal-
nie wypukłe, stanowią najbardziej ogólną strukturę, jaką zajmować się będziemy w trakcie
tego wykładu.

2.1 Podstawowe definicje i własności

2.1 Definicja

Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K liczb rzeczywistych lub zespolonych i niech
T będzie topologią w X.

Parę (X, T ) nazywamy przestrzenią liniowo-topologiczną, gdy T jest topologią Hausdorffa

oraz, gdy działania:

+ : X × X → X

· : K × X → X

są odwzorowaniami ciągłymi.
Jeśli topologia T pochodzi od metryki ρ, to parę (X, ρ) nazywamy przestrzenią liniowo-
metryczną

Uwaga:

traktujemy jako przestrzeń topologiczną z topologią naturalną, zaś w X × X i w K × X

obowiązuje topologia produktowa.

2.2 Przykład

Przestrzeń liniowa R

z określoną w niej metryką euklidesową jest przykładem przestrzeni

liniowo-topologicznej (liniowo-metrycznej). Ogólniej, każda przestrzeń unormowana (z to-
pologią wprowadzoną przez normę) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

2.3 Twierdzenie

W przestrzeni liniowo-topologicznej X, dla dowolnego, ustalonego wektora a

∈ X translacja

o ten wektor, tzn. odwzorowanie

: X 3 x 7→ x + a ∈ X,

jest ciągła. Podobnie, dla ustalonych λ

∈ K, a ∈ X, ciągłe są odwzorowania

: X 3 x 7→ λx ∈ X

oraz

: K 3 λ 7→ λa ∈ X.

Dowód:

Ciągłość dodawania i mnożenia (jako funkcji dwóch zmiennych) gwarantuje

nam definicja przestrzeni liniowo-topologicznej. Ciągłość odpowiednich funkcji przy ustalo-
nej jednej zmiennej wynika z ciągłości funkcji dwóch zmiennych oraz z definicji topologii

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE LINIOWO-TOPOLOGICZNE

produktowej. Dla przykładu wykażemy ciągłość translacji. Niech x

będzie dowolnym punk-

tem; jeśli W jest otoczeniem punktu f

) = x

+a, to — korzystając z ciągłości dodawania

— istnieje takie otoczenie V punktu (x

, a

) ∈ X × X, że x + y ∈ W dla (x, y) ∈ V . Zbiór

= {x ∈ X : (x, a) ∈ V } jest otoczeniem punktu x

∈ X. Zatem, jeśli x ∈ V

, to

(x, a) ∈ V , a więc x + a ∈ W . W rezultacie mamy: f

(x) ∈ W dla x ∈ V

, co dowodzi

ciągłości f

w punkcie x

2.4 Twierdzenie

Niech (X,

T ) będzie przestrzenią liniowo-topologiczną i niech x

, x

∈ X. Zbiór V

jest

otoczeniem punktu x

wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór V

= V

+ (x

− x

) jest otoczeniem

punktu x

Dowód:

Jeśli V

jest otoczeniem punktu x

, to x

∈ V

∈ T . Oczywiście x

∈ V

Pozostaje wykazać, że V

∈ T . Funkcja f : X 3 x 7→ x + (x

− x

) ∈ X jest translacją o

wektor a := x

− x

; jest to więc funkcja ciągła. Pozostaje zauważyć, że V

= f

−1

), co

wobec ciągłości f i faktu, iż V

jest zbiorem otwartym oznacza, że V

jest również elementem

topologii T , a więc jest otoczeniem punktu x

. Dowód w drugą stronę jest analogiczny.

2.5 Wniosek

Jeżeli

jest rodziną wszystkich otoczeń zera w przestrzeni liniowo-topologicznej (X,

T ) i

∈ X, to rodzina V

zbiorów postaci V

= V

+ x

, po wszystkich V

∈ V

, jest rodziną

wszystkich otoczeń punktu x

2.6 Twierdzenie

Niech (X,

T ) będzie przestrzenią liniowo-topologiczną i niech x

, x

∈ X. Rodzina V

oto-

czeń punktu x

jest bazą otoczeń tego punktu wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina

zbiorów

postaci V

= V

+ (x

− x

) (po wszystkich V

∈ V

) jest bazą otoczeń punktu x

Dowód:

Załóżmy, że V

jest bazą otoczeń punktu x

. Niech V

będzie dowolnym otocze-

niem punktu x

. Korzystając z twierdzenia 2.4 możemy stwierdzić, że dla pewnego otoczenia

punktu x

mamy V

= V

+ (x

− x

). Z definicji bazy otoczeń punktu x

wynika

istnienie takiego otoczenia V

∈ V

, że V

⊂ V

. Kładąc V

:= V

+ (x

− x

) otrzymujemy:

∈ V

oraz x

∈ V

⊂ V

+ (x

− x

) = V

. Wobec dowolności wyboru V

, dowód

faktu, że V

jest bazą otoczeń punktu x

został zakończony. Dowód w przeciwnym kierunku

przebiega podobnie.

2.7 Wniosek

Jeżeli

jest bazą otoczeń zera w przestrzeni liniowo-topologicznej (X,

T ) i x

∈ X, to

rodzina

zbiorów postaci V

= V

+ x

, po wszystkich V

∈ V

jest bazą otoczeń punktu

Ważną w analizie funkcjonalnej klasą operatorów liniowych są operatory liniowe i ciągłe.

Zauważmy, że ciągłość operatora liniowego (a nawet addytywnego) jest równoważna jego
ciągłości w zerze.

2.8 Twierdzenie

Niech X i Y będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Operator addytywny T : X

→ Y

jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły w punkcie 0.

Dowód:

Operator ciągły T jest, w szczególności, ciągły w 0. Na odwrót, załóżmy, że T

jest ciągły w 0; ustalmy dowolny punkt x

∈ X i oznaczmy y

= T (x

). Niech V

będzie

dowolnym otoczeniem punktu y

w przestrzeni Y . Zbiór V

:= V

− y

jest otoczeniem

0 w Y . Z założonej ciągłości w punkcie 0 ∈ X wynika istnienie W

— otoczenia 0 w X

2.2. PRZESTRZENIE LOKALNIE WYPUKŁE

takiego, że T (W

) ⊂ V

. Niech W

:= W

+ x

, zatem W

jest otoczeniem punktu x

Niech x ∈ W

, wówczas x = x

+ x

dla pewnego x

∈ W

. Zatem

T x

= T x

+ T x

∈ V

+ y

= V

czyli T (W

) ⊂ V

, co oznacza ciągłość w punkcie x

i kończy dowód.

Przypomnijmy, że zachodzi (por. ćwiczenie 1-1):

2.9 Twierdzenie

Niech X, Y będą rzeczywistymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Operator T : X

→

addytywny i ciągły jest liniowy.

Jako ćwiczenie pozostawiamy wykazanie poniższych własności:

2.10 Twierdzenie

Niech (X,

T ) będzie przestrzenią liniowo-topologiczną; A, B, K ⊂ X; 0 6= λ ∈ K. Wówczas:

1. jeśli A jest otwarty, to λA otwarty;

2. jeśli A jest domknięty, to λA domknięty;

3. jeśli A jest otwarty, to A + B, A − B, B − A są zbiorami otwartymi;

4. jeśli A jest domknięty a K zwarty, to zbiory A + K, A − K, K − A są domknięte.

2.1.1 Interpretacje geometryczne

Niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną, zaś f : X → R funkcjonałem liniowym

(ciągłym).

2.11 Definicja

Dla niezerowego funkcjonału f i stałej c ∈ R zbiór

f,c

:= {x ∈ X : f(x) = c}

nazywamy hiperpłaszczyzną w X (domkniętą, jeśli f jest ciągły).

Nietrudno zauważyć, że dla X = R

, dla dowolnego funkcjonału liniowego postaci

(x, y, z) = Ax + By + Cz oraz c ∈ R dostaniemy, jako H

f,c

, dwuwymiarową płaszczy-

znę.

2.12 Definicja

Dwie hiperpłaszczyzny H

f,c

i H

f,c

wyznaczone przez ten sam funkcjonał f oraz różne stałe

i c

nazywamy równoległymi.

Hiperpłaszczyzna H

f,c

dzieli przestrzeń X na dwie półprzestrzenie:

f,c

:= {x ∈ X : f(x)  c} oraz H

−

f,c

:= {x ∈ X : f(x) ¬ c} .

2.2 Przestrzenie lokalnie wypukłe

2.2.1 Wypukłość

Zacznijmy od przypomnienia pewnych definicji i faktów dotyczących wypukłości.

2.13 Definicja

Zbiór A w przestrzeni liniowej X nazywamy wypukłym, gdy dla dowolnych x, y ∈ A oraz
λ, µ

0 takich, że λ + µ = 1 zachodzi λx + µy ∈ A.

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE LINIOWO-TOPOLOGICZNE

2.14 Definicja

Otoczką wypukłą

zbioru A ⊂ X w przestrzeni liniowej X nazywamy najmniejszy (w sensie

relacji inkluzji) zbiór wypukły conv A, zawierający w sobie zbiór A. Otoczkę wypukłą zbioru
dwupunktowego {a, b} nazywamy odcinkiem o końcach a i b.

Łatwo wykazać, że otoczka wypukła zbioru A jest iloczynem wszystkich zbiorów wypu-

kłych zawierających zbiór A. Również poniższe własności pozostawiamy do samodzielnego
udowodnienia.

2.15 Twierdzenie

Niech X będzie przestrzenią liniową; A, B wypukłymi podzbiorami X oraz λ

∈ K. Wówczas

również zbiory λA, A+B, A

−B są wypukłe w X. Ponadto, jeśli X jest przestrzenią liniowo-

topologiczną i A jest zbiorem wypukłym, to jego wnętrze i domknięcie też są zbiorami
wypukłymi.

2.16 Definicja

Podzbiór V przestrzeni liniowej X nazywamy zbalansowanym jeśli dla dowolnego λ ∈ K

takiego, że |λ| ¬ 1 mamy: λV ⊂ V .

2.17 Definicja

Podzbiór V przestrzeni liniowej X nazywamy pochłaniającym jeśli dla dowolnego x ∈ X

istnieje λ > 0 takie, że x ∈ λV .

Funkcjonał Minkowskiego

2.18 Definicja

Niech A będzie wypukłym i pochłaniającym podzbiorem przestrzeni liniowej X. Wówczas,
poprawnie określony funkcjonał

(x) := inf{λ > 0 : x ∈ λA}, x ∈ X,

(2.1)

nazywamy funkcjonałem Minkowskiego.

Poprawność powyższej definicji (istnienie kresu dolnego) wynika z założenia, że A jest zbio-
rem pochłaniającym.

2.19 Twierdzenie (własności funkcjonału Minkowskiego)

Dla dowolnego podzbioru wypukłego i pochłaniającego A w przestrzeni liniowej X zachodzą
następujące warunki:

1. p

2. p

(x + y) ¬ p

(x) + p

(y), x, y ∈ X;

3. p

(λx) = λp

(x), x ∈ X, λ  0;

. jeśli, dodatkowo, A jest zbalansowany, to

(λx) = |λ|p

(x), x ∈ X, λ ∈ K;

4. p

(x) = 0 ⇔ {λx : λ  0} ⊂ A, x ∈ X;

5. {x ∈ X : p

(x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ X : p

(x) ¬ 1}.

Dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.

2.2. PRZESTRZENIE LOKALNIE WYPUKŁE

2.2.2 Definicja przestrzeni lokalnie wypukłej

Przestrzenie liniowo-topologiczne okazują się być strukturami zbyt ogólnymi, by uzyskać
pewne oczekiwane wyniki. Dodanie pewnego założenia, dodatkowo łączącego topologię ze
strukturą algebraiczną, pozwoli na uzyskanie interesujących wyników, bez zbytniego ogra-
niczenia klasy rozważanych przestrzeni.

2.20 Definicja

Przestrzeń liniowo-topologiczną (X, T ) nazywamy lokalnie wypukłą, jeśli istnieje w niej baza
V

otoczeń zera, której elementy są zbiorami wypukłymi, zbalansowanymi i pochłaniający-

mi.

2.21 Przykład

Przestrzeń euklidesowa R

jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą. Bazą

otoczeń zera spełniającą warunki powyższej definicji jest rodzina kul otwartych o środku w
punkcie (0, 0) i dowolnym promieniu.

2.22 Uwaga

Mając bazę wypukłych otoczeń zera, można (ćwiczenie) skonstruować bazę wypukłych,
zbalansowanych i pochłaniających otoczeń zera. Zatem wymaganie by elementy bazy były
zbalansowane i pochłaniające może być, bez straty ogólności, pominięte.

2.2.3 Oddzielanie zbiorów wypukłych

Załóżmy, że X jest rzeczywistą przestrzenią liniową. Niech A i B będą dowolnymi podzbio-
rami X.

2.23 Definicja

Powiemy, że funkcjonał liniowy f : X → R oddziela zbiory A i B, jeśli istnieje taka liczba

rzeczywista c, że

(a)  c f(b) dla a ∈ A, b ∈ B.

(2.2)

Mówimy, że funkcjonał liniowy f : X → R oddziela silnie zbiory A i B, jeśli istnieją takie

liczby rzeczywiste c i ε > 0, że

(a)  c > c − ε f(b) dla a ∈ A, b ∈ B.

(2.3)

2.24 Uwaga

Poniższe rozważania można prowadzić również w przestrzeniach zespolonych. Mówimy wte-
dy, że funkcjonał f oddziela zbiory A i B jeśli istnieje taka liczba rzeczywista c, że

Re f(a)  c  Re f(b) dla a ∈ A, b ∈ B.

Analogicznie określamy silne oddzielanie. Dla wygody zapisu ograniczamy się do przypadku
rzeczywistego. Zainteresowanych przypadkiem zespolonym odsyłamy do [18].

2.25 Uwaga (interpretacja geometryczna)

Nierówności (2.2) oznaczają, że istnieje hiperpłaszczyzna H

f,c

(por. definicja 2.11) taka, że A

i B znajdują się w różnych półprzestrzeniach H

f,c

i H

−

f,c

; mówimy więc, że hiperpłaszczyzna

f,c

oddziela

zbiory A i B. Nierówności (2.3) można interpretować w ten sposób, że zbiory

i B można rozdzielić pasem zawartym pomiędzy hiperpłaszczyznami wyznaczonymi przez

funkcjonał f i stałe, odpowiednio, c i c − ε.

Własność oddzielania zbiorów wypukłych funkcjonałami (czy hiperpłaszczyznami) ma zwią-
zek z twierdzeniem Hahna-Banacha. Przypomnijmy to twierdzenie.

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE LINIOWO-TOPOLOGICZNE

2.26 Definicja

Funkcjonał p, określony w przestrzeni liniowej X (rzeczywistej lub zespolonej), o wartościach
rzeczywistych, nazywamy funkcjonałem podliniowym (lub funkcjonałem Banacha), jeśli speł-
nia on warunki

(x + y) ¬ p(x) + p(y) dla x, y ∈ X,

(αx) = αp(x) dla x ∈ X, α  0.

Funkcjonał Minkowskiego jest przykładem funkcjonału Banacha.

2.27 Twierdzenie (Hahna–Banacha)

Niech X

będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej rzeczywistej X oraz niech

będzie funkcjonałem Banacha określonym w X. Dla każdego funkcjonału liniowego f

określonego w X

i takiego, że f

(x) ¬ p(x) dla x ∈ X

, istnieje funkcjonał liniowy f ,

określony w przestrzeni X i taki, że f (x) = f

(x) dla x ∈ X

oraz f (x)

¬ p(x) dla x ∈ X.

Dowód powyższego twierdzenia można znaleźć np. w [6]. Wracając do problemu oddzielania
zbiorów wykażmy teraz następujące kryterium:

2.28 Twierdzenie

Funkcjonał liniowy f oddziela niepuste zbiory A i B w przestrzeni liniowej X wtedy i tylko
wtedy, gdy oddziela on zbiory A

− B i {0}.

Dowód:

Załóżmy, że f oddziela A i B, tzn. f(a)  c f(b) dla pewnej stałej c ∈ R i dla

wszystkich a ∈ A, b ∈ B. Niech x ∈ A − B ma postać x = a − b (a ∈ A, b ∈ B). Wówczas

(x) = f(a) − f(b)  c − c = 0 = f(0),

co oznacza, że f oddziela A − B i {0}.

Załóżmy teraz, że istnieje stała d ∈ R taka, że f(x)  d f(0) = 0 dla x ∈ A − B.

Niech teraz a ∈ A i b ∈ B będą dowolnymi elementami. Oczywiście a − b ∈ A − B, więc
f

(a − b) 0. Stąd mamy (dzięki liniowości f)

(a) − f(b) = f(a − b) 0,

a więc f(a)  f(b). Możemy stwierdzić, że zbiór liczb postaci f(b), po wszystkich b ∈ B, jest

ograniczony z góry (przez f(a) dla dowolnego a ∈ A). Niech zatem c := sup{f(b) : b ∈ B}.

Mamy więc dla dowolnych a ∈ A, b ∈ B:

(a) sup{f(b) : b ∈ B} = c f(b),

a więc f oddziela A i B.

2.29 Twierdzenie (o oddzielaniu zbiorów wypukłych)

Niech K i L będą niepustymi, rozłącznymi, domkniętymi i wypukłymi zbiorami w lokalnie
wypukłej, rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej X i niech K będzie zbiorem zwar-
tym. Wówczas istnieje niezerowy ciągły funkcjonał liniowy f nad X, oddzielający silnie
zbiory K i L.

Powyższe twierdzenie ma prostą interpretację geometryczną na płaszczyźnie euklidesowej.
Każde dwa niepuste, domknięte i wypukłe podzbiory K i L, z których przynajmniej je-
den jest ograniczony (a więc zwarty), możemy rozdzielić pasem (o niezerowej szerokości ε)
zawartym pomiędzy dwiema równoległymi prostymi.

Dowód:

Zbiór A := K − L jest zbiorem domkniętym i wypukłym (zob. twierdzenia 2.10

i 2.15), nie zawierającym 0 (bo K i L są rozłączne). Zbiór X \ A jest więc otoczeniem zera.

2.2. PRZESTRZENIE LOKALNIE WYPUKŁE

Ponieważ przestrzeń X jest lokalnie wypukła, znajdziemy V ⊂ X \ A — otwarte, wypukłe,

zbalansowane i pochłaniające otoczenie zera (definicja 2.20). Ustalmy a

∈ A i zdefiniujmy

:= V − A + a

— otoczenie zera nie zawierające punktu a

(w przeciwnym razie, dla

pewnych x ∈ V i a ∈ A, byłoby a

= x −a+a

, czyli x = a, czyli V ∩A 6= ∅, wbrew definicji

). Zbiór B jest zbiorem wypukłym i pochłaniającym (bo V ⊂ B).

Rozważmy funkcjonał Minkowskiego p

, który, jak wiemy, jest funkcjonałem Banacha.

Niech X

będzie podprzestrzenią złożoną z elementów postaci λa

przy dowolnym λ ∈ R.

Określmy funkcjonał liniowy f

w X

następującym wzorem: f

(λa

) := λp

). Zachodzi

wówczas nierówność f

(λa

) ¬ p

(λa

). Istotnie, dla λ  0 mamy f

(λa

) = λp

) =

(λa

), zaś dla λ < 0 mamy f

(λa

) = λp

) ¬ 0 ¬ p

(λa

). Na mocy twierdzenia

Hahna–Banacha, istnieje funkcjonał liniowy f na X taki, że f(x) = f

(x) dla x ∈ X

oraz

(x) ¬ p

(x) dla x ∈ X. Jeśli teraz b ∈ B, to p

(b) ¬ 1, a więc również f(b) ¬ 1. Z drugiej

strony f(a

) = f

) = p

) 1. Czyli funkcjonał f oddziela zbiory {a

} i B, a więc

rozdziela również zbiory a

− B i {0}, czyli A − V i {0}, a zatem również A i V .

Wykażemy teraz, że f jest funkcjonałem ciągłym. Skoro f oddziela zbiory A i V , to

istnieje d ∈ R takie, że f(x) ¬ d dla x ∈ V (możemy przyjąć, że d > 0). Mamy więc
f

(V ) ⊂ (−∞, d]. Skoro −V ⊂ V (V jest zbiorem zbalansowanym), to dla dowolnego x ∈ V

mamy −x ∈ V , więc −f(x) = f(−x) ¬ d, czyli f(x)  −d. A zatem f(V ) ⊂ [−d, d]. Niech

teraz δ będzie dowolną liczbą dodatnią. Zdefiniujmy V

δ
d

. Zbiór V

jest otoczeniem

zera; ponadto, jeśli x ∈ V

, to

d
δ

∈ V , więc

d
δ

¬ d, a stąd |f(x)| ¬ δ, co dowodzi

ciągłości f w zerze, a więc i w całym X.

Pozostaje dowieść istnienia stosownych liczb c i ε. Ponieważ f oddziela A i V , to istnieje

liczba rzeczywista d taka, że f(v) ¬ d ¬ f(a) dla dowolnych v ∈ V , a ∈ A. Niech x

∈ X

będzie takie, że f(x

) 6= 0. Dla z =

)

mamy f(z) = 1, czyli f(εz) = ε dla dowolnego

rzeczywistego ε. Dobierzmy ε > 0 tak, aby εz ∈ V (V jest pochłaniający); wówczas ε =
f

(εz) ¬ d. Dla dowolnych k ∈ K i l ∈ L mamy k − l ∈ K − L = A, więc

(k) − f(l) = f(k − l)  d ε,

czyli f(l) ¬ f(k) − ε. Przyjmijmy c := inf{f(k) : k ∈ K} (zbiór, którego kres wyznaczamy,

jest ograniczony, bo f jest ciągłe a K zwarty; gwarantuje to istnienie skończonego kresu
dolnego). Dla dowolnych k ∈ K i l ∈ L mamy wreszcie

(k)  c oraz f(l) ¬ inf{f(k) − ε : k ∈ K} = inf{f(k) : k ∈ K} − ε = c − ε.

Biorąc w powyższym twierdzeniu K = {x} i L = {y} otrzymujemy natychmiast

2.30 Wniosek

Jeśli x i y są dwoma różnymi punktami w lokalnie wypukłej rzeczywistej przestrzeni liniowo-
topologicznej X, to istnieje funkcjonał liniowy ciągły f nad X taki, że f (x)

6= f(y).

Jeśli weźmiemy x = 0 i y 6= 0 (zakładając, że X jest przestrzenią nietrywialną, tzn. nie

jest X = {0}), to otrzymamy taki wniosek:

2.31 Wniosek

Dla dowolnej nietrywialnej, rzeczywistej, lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej
X

istnieje nad nią niezerowy funkcjonał liniowy ciągły.

Pozbycie się założenia o lokalnej wypukłości przestrzeni liniowo-topologicznej nie jest

możliwe:

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE LINIOWO-TOPOLOGICZNE

2.32 Uwaga

Rozważmy przestrzeń funkcji L

(Ω) dla p ∈ (0, 1). Funkcjonał x := (

Ω

|x(t)|

dµ

)

1
p

nie

jest wówczas normą (jest tylko tzw. F-normą — por. [18]), ale, podobnie jak dla normy,
funkcjonał ρ(x, y) := x − y jest metryką. Z topologią wprowadzoną przez tę metrykę,

przestrzeń L

(Ω) jest w tym przypadku przestrzenią liniowo-topologiczną, która nie jest

lokalnie wypukła. Można też pokazać, że jedynym funkcjonałem liniowym ciągłym nad tą
przestrzenią jest funkcjonał zerowy.

Prawdziwe jest także następujące twierdzenie o oddzielaniu (zob. [23, Ch. II, 9.1])

2.33 Twierdzenie

Niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Załóżmy, że zbiory A, B

⊂ X są niepu-

ste, wypukłe oraz int A

6= ∅ i int A ∩ B = ∅. Wówczas istnieje funkcjonał liniowy ciągły

rozdzielający B i A. Inaczej mówiąc, istnieje domknięta hiperpłaszczyzna H rozdzielająca
B

i A.

2.2.4 Punkty ekstremalne

Niech A będzie dowolnym podzbiorem w przestrzeni liniowej X.

2.34 Definicja

Punkt e ∈ A nazywamy punktem ekstremalnym zbioru A, jeśli z równości e = (1 − λ)x + λy

dla pewnego λ ∈ (0, 1) oraz x, y ∈ A, wynika x = y = e.

A więc punkt e jest punktem ekstremalnym zbioru A, jeśli nie leży wewnątrz żadnego

odcinka łączącego punkty ze zbioru A (za wyjątkiem odcinka „trywialnego”, redukującego
się do singletonu {e}).

2.35 Definicja

Niepusty zbiór B ⊂ A nazywamy zbiorem ekstremalnym zbioru A, jeśli z relacji (1−λ)x+λy ∈
B

dla pewnego λ ∈ (0, 1) i x, y ∈ A, wynika, że x, y ∈ B.

A zatem, element zbioru ekstremalnego nie może należeć do wnętrza odcinka, którego

końcami są elementy zbioru A \ B. Nietrudno zauważyć (ćwiczenie 2-14), że zbiór złożony

z punktów ekstremalnych zbioru A (niekoniecznie wszystkich) jest zbiorem ekstremalnym
zbioru A oraz, że cały zbiór A (o ile jest niepusty) jest swoim własnym zbiorem ekstremal-
nym.

2.36 Przykład

1. Punktami ekstremalnymi koła {(x, y) ∈ R

: x

+ y

¬ 1} na płaszczyźnie, są wszyst-

kie punkty z okręgu {(x, y) ∈ R

: x

+ y

= 1}.

2. Dla zbioru

= {(x, y) ∈ R

: |x| + |y| ¬ 1}

punktami ekstremalnymi są tylko punkty

(1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1).

Zbiór {(x, y) ∈ R

: |x| + |y| = 1} jest zbiorem ekstremalnym dla A.

Uzasadnienie powyższego przykładu pozostawiamy jako ćwiczenie. Istnieją zbiory bez

punktów ekstremalnych (np. prosta lub koło bez brzegu na płaszczyźnie). Wykażemy jednak,
że pewne zbiory mają zawsze punkty ekstremalne. Ze względu na konieczność stosowania
twierdzeń z poprzedniego paragrafu, zakładamy, że X jest rzeczywistą przestrzenią liniową.
Poniższe twierdzenia są jednak prawdziwe również w przestrzeniach zespolonych.

2.2. PRZESTRZENIE LOKALNIE WYPUKŁE

2.37 Twierdzenie

Niepusty, zwarty zbiór A w rzeczywistej, lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej
X

ma punkty ekstremalne.

Dowód:

Oznaczmy przez R rodzinę wszystkich zwartych zbiorów ekstremalnych zbioru

. Rodzina ta jest niepusta, gdyż na pewno należy tam sam zbiór A. Za pomocą relacji „⊃”

wprowadzamy w R częściowy porządek. Dla dowolnego łańcucha L w R zbiór

∈L

jest

również zbiorem ekstremalnym zbioru A (ćwiczenie 2-15), a przy tym jest to zbiór zwarty
i niepusty, więc należy do R. Ponadto, jest to majoranta łańcucha L. Spełnione są więc

założenia lematu Kuratowskiego–Zorna, zatem istnieje zbiór A

∈ R taki, że jeśli A

⊃ A

i A

∈ R, to A

= A

Wykażemy, że A

składa się z jednego punktu, co zakończy dowód, gdyż zbiór jedopunk-

towy {a

} jest zbiorem ekstremalnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy a

jest punktem

ekstremalnym zbioru A. Załóżmy zatem przeciwnie, że x

, y

∈ A

oraz x

6= y

. Na pod-

stawie wniosku 2.30, istnieje funkcjonał liniowy ciągły f nad X taki, że f(x

) 6= f(y

Oznaczmy

:= {x : x ∈ A

, f

(x) = γ} ,

gdzie γ := inf {f(y) : y ∈ A

}. Pokażemy, że A

∈ R. Zbiór A

jest zwarty i f jest ciągły

w A

, więc istnieje punkt x ∈ A

taki, że f(x) = inf{f(y) : y ∈ A

} = γ, co oznacza

niepustość zbioru A

. Z ciągłości funkcjonału f i definicji zbioru A

wynika, że jest on

domknięty, a więc zwarty. Wreszcie, zauważmy, że A

jest zbiorem ekstremalnym zbioru A.

Niech bowiem dla pewnych x, y ∈ A i λ ∈ (0, 1) zachodzi (1−λ)x+λy ∈ A

. Skoro A

⊂ A

więc (1 − λ)x + λy ∈ A

, a stąd x, y ∈ A

(bo A

jest zbiorem ekstremalnym zbioru A).

Zatem f(x)  γ i f(y)  γ. Skoro (1 − λ)x + λy ∈ A

, to f((1 − λ)x + λy) = γ, czyli

(1 − λ)f(x) + λf(y) = γ. Mamy zatem

(1 − λ)f(x) + λf(y) ¬ f(x) i (1 − λ)f(x) + λf(y) ¬ f(y).

Z pierwszej nierówności dostajemy f(y) ¬ f(x), zaś z drugiej f(x) ¬ f(y), więc f(x) =
f

(y). Oznaczając δ := f(x) = f(y), dostajemy (1 − λ)δ + λδ = γ, skąd δ = γ i dalej

(x) = f(y) = γ, co oznacza, że x, y ∈ A

. To oznacza, że A

jest zbiorem ekstremalnym

zbioru A, a więc A

∈ R. Skoro f(x

) 6= f(y

), to co najmniej jeden z punktów x

, y

nie

należy do A

, a więc A

⊃ A

i A

6= A

. Oznacza to jednak sprzeczność z maksymalnością

zbioru A

i kończy dowód twierdzenia.

W przestrzeni liniowo-topologicznej, domkniętą otoczką wypukłą zbioru A nazywamy

(por. ćwiczenie 2-8), równoważnie, domknięcie otoczki wypukłej conv A, najmniejszy zbiór
domknięty i wypukły zawierający A lub przecięcie wszystkich domkniętych i wypukłych
nadzbiorów zbioru A.

Zróbmy teraz następującą, trywialną, obserwację. Na płaszczyźnie euklidesowej rozważ-

my dowolny n-kąt A. Domknięta otoczka wypukła zbioru A jest równa domkniętej otoczce
wypukłej zbioru jego wszystkich wierzchołków. Poza tym, jeśli wielokąt A nie jest wypukły,
to niektórych wierzchołków można nie brać pod uwagę przy wyznaczaniu otoczki (nietrudno
zauważyć, że tych, które nie są punktami ekstremalnymi). Jeśli A jest n-kątem wypukłym, to
domknięta otoczka zbioru jego wierzchołków pokrywa się z nim samym. Wierzchołki n-kąta
wypukłego, to wszystkie jego punkty ekstremalne. Tak więc, w tym szczególnym przypadku,
znajomość punktów ekstremalnych zbioru wystarcza do jego opisu. Ten elementarny fakt
zostanie teraz uogólniony.

2.38 Twierdzenie (Krejna–Milmana)

Niech A będzie zwartym podzbiorem rzeczywistej, lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-to-
pologicznej X. Wówczas A zawiera się w domkniętej otoczce wypukłej zbioru wszystkich

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE LINIOWO-TOPOLOGICZNE

swoich punktów ekstremalnych E

, tzn.

⊂ conv E

Ponadto, gdy A jest zbiorem zwartym i wypukłym, zachodzi równość

= conv E

Dowód:

Dla A = ∅ twierdzenie zachodzi w sposób trywialny. Załóżmy zatem, że A 6= ∅

jest zbiorem zwartym. Na mocy poprzedniego twierdzenia, zbiór E

jest także niepusty.

Gdyby warunek A ⊂ conv E

nie był spełniony, to istniałby punkt a

∈ A taki, że a

6∈

conv E

. Z twierdzenia 2.29 (o oddzielaniu zbiorów wypukłych) wiemy, że można silnie

oddzielić zbiory K = {a

} i L = conv E

, tzn., że istnieje funkcjonał liniowy ciągły f nad

oraz liczby c ∈ R i ε > 0 takie, że

)  c oraz f(x) ¬ c − ε dla x ∈ conv E

Ponieważ funkcja ciągła osiąga swoje kresy na zbiorze zwartym, więc istnieje x

∈ A taki,

że

:= sup{f(a) : a ∈ A} = f(x

Niech A

:= {x ∈ A : f(x) = γ}; oczywiście A

jest niepusty, gdyż x

∈ A

. Ponadto,

jest domknięty (znów z uwagi na ciągłość f i domkniętość A), a zatem, jako domknięty

podzbiór zbioru zwartego A, A

jest zbiorem zwartym.

jest zbiorem ekstremalnym zbioru A. Istotnie, niech x, y ∈ A, λ ∈ (0, 1). Przypuśćmy,

że (1 − λ)x + λy ∈ A

, a zatem, (1 − λ)f(x) + λf(y) = γ. Ponieważ x, y ∈ A

⊂ A,

to oczywiście f(x) ¬ γ i f(y) ¬ γ. To daje (analogicznie jak w poprzednim dowodzie)
f

(x) = f(y) = γ, czyli x, y ∈ A

Ponieważ a

∈ A, więc γ f(a

)  c, czyli f(x)  c dla x ∈ A

. Ponieważ mamy

też f(x) ¬ c − ε dla x ∈ conv E

, więc musi być A

∩ conv E

= ∅, a więc tym bardziej

∩ E

= ∅.

Z drugiej strony, A

jako zbiór zwarty w lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topo-

logicznej ma punkty ekstremalne. Pokażemy, że każdy punkt ekstremalny zbioru A

jest

punktem ekstremalnym zbioru A. Niech zatem a

∈ E

. Przypuśćmy, że dla x, y ∈ A i

∈ (0, 1) mamy (1 − λ)x + λy = a

. Wówczas (1 − λ)x + λy ∈ A

, a ponieważ A

jest

zbiorem ekstremalnym zbioru A, więc x, y ∈ A

. Ale to oznacza (w związku z faktem, iż

jest punktem ekstremalnym zbioru A

), że x = y = a

. Wykazaliśmy zatem, że a

jest

punktem ekstremalnym zbioru A, co oczywiście przeczy temu, że A

∩ E

= ∅. Uzyskana

sprzeczność oznacza, że A ⊂ conv E

Założymy dodatkowo, że A jest zbiorem wypukłym. Wówczas z faktu, że E

⊂ A i z

definicji domkniętej otoczki otrzymamy conv E

⊂ A, co razem z pokazaną już inkluzją

daje nam żądaną równość A = conv E

2.3 Ćwiczenia

2–1 Udowodnić twierdzenie 2.15.

2–2 Wykazać, że dla dowolnych elementów a i b z przestrzeni liniowej X zbiór

{(1 − λ)a + λb : λ ∈ [0, 1]}

jest odcinkiem o końcach a i b, tzn. otoczką wypukłą conv {a, b} zbioru {a, b}.

2.3. ĆWICZENIA

2–3 W przestrzeni liniowej X zdefiniujmy odwzorowanie T : P(X) → P(X) dane wzorem

(A) :=

[

a,b∈A

conv {a, b} dla A ⊂ X.

Niech T

oznacza i-tą iterację operatora T , tzn. T

:= T oraz T

n+1

= T ◦T

dla n = 1, 2, . . ..

Wykazać, że

conv A =

∞

[

i=1

(A).

Czy i kiedy powyższą sumę można zastąpić sumą skończoną?

2–4 Czy R z naturalnymi działaniami i topologią dyskretną jest przestrzenią liniowo-topologiczną?

2–5 Pokazać, że jeśli V jest otoczeniem zera w przestrzeni liniowo-topologicznej (X, T ), to istnieje

takie otoczenie zera V

w tej przestrzeni, że V

− V

⊂ V oraz V

+ V

⊂ V .

2–6 Pokazać, że dla każdego otwartego otoczenia U punktu 0 w przestrzeni liniowo-topologicznej

, istnieje otoczenie domknięte V punktu 0 takie, że V ⊂ U.

2–7 Udowodnić twierdzenie 2.10 (do pkt. 4. — zob. [18], twierdzenie 13.7). Wykazać istotność

założenia o zwartości zbioru K.

2–8 Udowodnić, że w przestrzeni liniowo-topologicznej X, dla danego podzbioru A ⊂ X, nastę-

pujące definicje określają ten sam zbiór, który możemy nazwać domkniętą otoczką wypukłą
zbioru A:

(a) domknięcie otoczki wypukłej zbioru A, tzn. conv A;

(b) najmniejszy zbiór domknięty i wypukły zawierający A;

2–9 Wykazać własności funkcjonału Minkowskiego podane w twierdzeniu 2.19.

2–10 Niech X będzie przestrzenią liniową funkcji rzeczywistych lub zespolonych, określonych w

niepustym zbiorze Ω. Niech B będzie rodziną zbiorów postaci

= V

, t

, . . . , t

; ε) :=

i=1

{x ∈ X : |x(t

) − x

)| < ε}

dla x

∈ X, t

, t

, . . . , t

∈ Ω, ε > 0, m = 1, 2, . . . . Wykazać, że B jest bazą topologii w X

oraz, że X przy tej topologii jest przestrzenią liniowo-topologiczną, lokalnie wypukłą.

2–11 Przedyskutować istotność wszystkich warunków w definicji 2.20 przestrzeni lokalnie wypukłej

(por. uwaga 2.22).

2–12 Wykazać, że w przestrzeni liniowo-metrycznej każde otoczenie zera jest pochłaniające.

2–13 Wykazać, że jeśli podprzestrzeń X

przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej X

zawiera zbiór o niepustym wnętrzu, to X

= X.

2–14 Pokazać, że:

(a) punkt e ∈ A jest punktem ekstremalnym wypukłego zbioru A wtedy i tylko wtedy,

gdy A \ {e} jest zbiorem wypukłym;

(b) zbiór

złożony

punktów

ekstremalnych

zbioru

(niekoniecznie

wszystkich), jest zbiorem ekstremalnym zbioru A;

(d) zbiór {a

} jest zbiorem ekstremalnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy a

jest punk-

tem ekstremalnym zbioru A.

ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE LINIOWO-TOPOLOGICZNE

2–15 Niech R będzie niepustą rodziną zbiorów ekstremalnych niepustego zbioru A w przestrze-

ni liniowej X. Wykazać, że A

:= T

B∈R

, o ile jest zbiorem niepustym, jest też zbiorem

ekstremalnym zbioru A.

2–16 Wykazać, że przestrzeń unormowana X jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy każdy

punkt sfery jednostkowej jest jej punktem ekstremalnym.

2–17 Przeanalizować przykład 2.36.

2–18 W dowolnej przestrzeni liniowej X określamy wnętrze algebraiczne zbioru A ⊂ X:

∈ alg int A ⇔ ∀ y ∈ X \ {0} ∃ ε > 0 : x

+ λy ∈ A dla λ ∈ [0, ε).

Możemy teraz zdefiniować topologię T w X:

∈ T ⇔ alg int U = U.

Pokazać, że T jest rzeczywiście topologią w X oraz, że – względem tej topologii – działania

dodawania i mnożenia przez skalar są ciągłe ze względu na każdą ze zmiennych z osobna,
ale niekoniecznie ze względu na obie zmienne jednocześnie. Para (X, T ) nie musi być więc

przestrzenią liniowo-topologiczną.

Rozdział 3

Przestrzenie dualne i związane z
nimi topologie

Jak wiadomo, wprowadzając normę w przestrzeni wektorowej X, określamy w niej pewną
topologię. Tę topologię (zadaną przez normę) będziemy w tym rozdziale określać mianem
topologii mocnej. Używana przez nas do tej pory zbieżność w przestrzeniach unormowanych
(zbieżność względem normy albo zbieżność mocna, jak ją będziemy określać) związana jest
z mocną topologią przestrzeni unormowanej. Za chwilę zdefiniujemy inną zbieżność, która
określi nam inną topologię w przestrzeni unormowanej.

Przypomnijmy, że z twierdzenia Hahna-Banacha o rozszerzaniu funkcjonałów wynika

następujący fakt (por. [6], Twierdzenie 4.28)

3.1 Twierdzenie (o wydobywaniu normy)

Dla każdego elementu x

6= 0 przestrzeni unormowanej X istnieje funkcjonał liniowy ciągły

∗

nad X taki, że

∗

k = 1 i x

∗

= kx

Z twierdzenia tego w łatwy sposób wynika praktyczny wniosek.

3.2 Wniosek

Jeśli x jest elementem przestrzeni unormowanej X, to

kxk = sup

∗

k¬1

∗

3.1 Słaba zbieżność

3.3 Definicja

Ciąg (x

) elementów przestrzeni unormowanej X nazywamy słabo zbieżnym do elementu

∈ X, co zapisujemy symbolicznie

s-lim

→∞

= x

lub

* x

jeśli dla dowolnego funkcjonału liniowego ciągłego ϕ ∈ X

∗

zachodzi

) → ϕ(x

gdy n → ∞.

Ciąg (x

) może mieć tylko jedną słabą granicę x

. Istotnie, gdyby x

* x

oraz x

* y

to dla dowolnego ϕ ∈ X

∗

mielibyśmy ϕ(x

) → ϕ(x

) oraz ϕ(x

) → ϕ(y

), skąd wynikałoby

) = ϕ(y

), czyli ϕ(x

− y

) = 0. Wobec dowolności ϕ oznacza to, że x

= y

przeciwnym wypadku, istniałby funkcjonał liniowy ciągły ϕ taki, że ϕ(x

−y

) = kx

−y

k 6=

0).

Podobnie jak słabą zbieżność definiujemy słabą ograniczoność.

ROZDZIAŁ 3. PRZESTRZENIE DUALNE I ZWIĄZANE Z NIMI TOPOLOGIE

3.4 Definicja

Ciąg (x

) elementów przestrzeni unormowanej X nazywamy słabo ograniczonym, jeśli dla

dowolnego funkcjonału liniowego ciągłego ϕ ∈ X

∗

, ciąg (ϕ(x

)) jest ograniczony.

Zauważmy najpierw, że użyte w powyższych definicjach określenia „słabo” i „mocno”

mają swoje uzasadnienie. Niech bowiem ciąg (x

) będzie zbieżny (mocno) do x

. Wówczas

dla dowolnego funkcjonału ϕ ∈ X

∗

mamy

|ϕ(x

) − ϕ(x

)| ¬ kϕk·kx

− x

k → 0,

gdy n → ∞,

a więc x

* x

. Podobnie, jeśli ciąg (x

) jest (mocno) ograniczony przez stałą M, to dla

funkcjonału ϕ ∈ X

∗

mamy

|ϕ(x

)| ¬ Mkϕk,

co oznacza słabą ograniczoność ciągu (x

A teraz pokażemy, że ciąg słabo zbieżny nie musi być zbieżny.

3.5 Przykład

Ciąg (e

) w rzeczywistej przestrzeni l

, dany wzorem e

= (δ

)

∞
i

, jest przykładem ciągu

słabo zbieżnego, lecz nie zbieżnego.
Istotnie, ponieważ ke

− e

k =

√

2 dla n 6= m, więc ciąg ten nie jest zbieżny (nie spełnia

bowiem warunku Cauchy’ego). Pokażemy, że jest on słabo zbieżny do zera. Przypomnijmy,
że każdy funkcjonał liniowy ciągły nad przestrzenią l

ma postać

(x) =

∞

dla x = (t

, t

, . . .

) ∈ l

przy pewnym ciągu (s

, s

, . . .

) ∈ l

. Wobec tego

) =

∞

= s

Ponieważ (s

) ∈ l

, więc s

→ 0, gdy n → ∞, a więc ϕ(e

) → 0, co wobec dowolności ϕ

oznacza, że e

0 w l

3.6 Definicja

Przestrzenie unormowane, w których zbieżność słaba jest równoważna zbieżności mocnej
noszą nazwę przestrzeni Schura.

3.7 Przykład

Pokażemy, że przestrzeń l

jest przestrzenią Schura. Załóżmy, że ciąg o wyrazach x

, t

, . . . , t

) ∈ l

jest słabo zbieżny do x

= (t

, t

, . . . , t

). A zatem, dla dowolnego

funkcjonału liniowego ciągłego ϕ w l

mamy ϕ(x

− x

) → 0. Wiedząc, że ϕ musi być

postaci (dla pewnych liczb s

, . . . , s

)

(x) =

dla x = (t

, t

, . . . , t

) ∈ l

otrzymujemy, dla dowolnych s

, . . . , s

− t

) → 0 przy k → ∞.

Ustalmy wskaźnik i

∈ {1, 2, . . . , n}. Kładąc s

= 1 i s

= 0 dla i 6= i

dostajemy t

−t

→ 0

przy k → ∞. Ostatecznie mamy

− x

k =

v
u
u
t

− t

→ 0 przy k → ∞.

3.1. SŁABA ZBIEŻNOŚĆ

A więc, w rozważanej przestrzeni słaba zbieżność oznacza zbieżność według normy. Podobnie
zresztą słaba ograniczoność jest równoważna mocnej ograniczoności w tej przestrzeni. Z
uwagi na równoważność norm w skończenie wymiarowej przestrzeni, można pokazać, że
każda skończenie wymiarowa przestrzeń unormowana jest przestrzenią Schura. Skończoność
wymiaru nie jest jednak konieczna na to, by przestrzeń była przestrzenią Schura; można
wykazać, że przestrzeń l

jest właśnie taką przestrzenią.

Wykażemy teraz pewien związek między słabą i mocną zbieżnością.

3.8 Twierdzenie (Mazura)

Jeśli (x

) jest ciągiem w rzeczywistej

przestrzeni unormowanej X, słabo zbieżnym do

∈ X, to x

∈ conv {x

, x

, . . .

}, tzn., istnieje ciąg wypukłych kombinacji liniowych zbioru

elementów ciągu

, x

, . . .

} zbieżny mocno do x

Dowód:

Gdyby x

6∈ conv {x

, x

, . . .

}, to na podstawie twierdzenia 2.29 (o oddzielaniu

zbiorów wypukłych) zastosowanego do zbiorów {x

} i conv {x

, x

, . . .

} istniałby funkcjonał

— liniowy i ciągły na X oraz ε > 0 i c ∈ R takie, że

)  c oraz f(x) ¬ c − ε dla x ∈ conv {x

, x

, . . .

Otrzymujemy stąd f(x

) ¬ c − ε dla n = 1, 2, . . . . Ponieważ f(x

) → f(x

), to

¬ f(x

) = lim

→∞

) ¬ c − ε,

sprzeczność.

3.9 Twierdzenie

Jeśli ciąg (x

) w przestrzeni unormowanej X jest słabo zbieżny do x

∈ X, to ciąg norm

(kx

k) jest ograniczony.

Dowód:

Dla dowolnego funkcjonału liniowego ciągłego ϕ ∈ X

∗

i n ∈ N niech T

). Łatwo sprawdzić, że T

jest funkcjonałem liniowym nad przestrzenią Banacha X

∗

Jest to funkcjonał ograniczony gdyż

| = |ϕ(x

)| ¬ kx

k·kϕk

więc kT

k ¬ kx

k dla n ∈ N. Oczywiście, jeśli dla pewnego n ∈ N, x

= 0, to również

= 0 i kT

k = kx

k = 0. Jeśli x

6= 0, to na mocy twierdzenia o wydobywaniu normy

istnieje funkcjonał ψ

∈ X

∗

taki, że kψ

k = 1 oraz ψ

) = kx

k. Stąd mamy

k = sup

kϕk¬1

| |T

| = |ψ

)| = kx

Razem z wcześniej otrzymaną nierównością daje to równość

k = kx

Z założonej słabej zbieżności x

* x

mamy ϕ(x

) → ϕ(x

), czyli T

→ ϕ(x

)

przy n → ∞. A zatem pokazaliśmy, że dla dowolnego ϕ ∈ X

∗

ciąg (T

) jest zbieżny,

a więc i ograniczony. Na mocy twierdzenia Banacha–Steinhausa (zob. [6, Twierdzenie 4.25])
wnosimy, że ciąg (kT

k), równy (kx

k), jest ograniczony.

Słaba zbieżność okazała się własnością istotnie słabszą niż mocna zbieżność. W przy-

padku słabej ograniczoności jest inaczej:

Twierdzenie to pozostaje prawdziwe również w przypadku zespolonym; por.uwagę 2.24.

ROZDZIAŁ 3. PRZESTRZENIE DUALNE I ZWIĄZANE Z NIMI TOPOLOGIE

3.10 Twierdzenie

Ciąg (x

) słabo ograniczony w przestrzeni unormowanej X jest ograniczony.

A zatem pojęcia słabej i mocnej ograniczoności pokrywają się.

Dowód:

Słaba ograniczoność (x

) oznacza, że

∀ ϕ ∈ X

∗

∃ M  0 ∀ n ∈ N |ϕ(x

)| ¬ M.

(3.1)

Zdefiniujmy ciąg funkcjonałów ψ

: X

∗

→ K określony wzorem:

(ϕ) := ϕ(x

∈ X

∗

Nietrudno wykazać, że ψ

są funkcjonałami liniowymi i ciągłymi na X

∗

. Warunek (3.1)

przybiera postać:

∀ ϕ ∈ X

∗

∃ M  0 ∀ n ∈ N |ψ

(ϕ)| ¬ M,

co oznacza punktową ograniczoność ciągu (ψ

) funkcjonałów określonych na zupełnej prze-

strzeni X

∗

. Korzystając z twierdzenia Banacha-Steinhausa stwierdzamy, że ciąg (kψ

k) jest

ograniczony, a zatem

∃ M  0 ∀ n ∈ N ∀ ϕ ∈ X

∗

|ψ

(ϕ)| ¬ Mkϕk

czyli

∃ M  0 ∀ n ∈ N ∀ ϕ ∈ X

∗

|ϕ(x

)| ¬ Mkϕk.

Ponieważ dla każdego n ∈ N znajdziemy taki funkcjonał ϕ

∈ X

∗

, że kϕ

k = 1 oraz

) = kx

k (twierdzenie o wydobywaniu normy), z ostatniego warunku otrzymujemy

∃ M  0 ∀ n ∈ N

k ¬ M

czyli ograniczoność (mocną) ciągu (x

3.2 Słaba topologia

Niech X będzie przestrzenią unormowaną, a X

∗

jej przestrzenią dualną. Dla dowolnie usta-

lonego elementu x

∈ X, liczby ε > 0 i m ∈ N oraz dla dowolnie wybranych funkcjonałów

liniowych ciągłych x

∗

, x

∗

, . . . , x

∗

∈ X

∗

zdefiniujmy zbiór

∗

, x

∗

, . . . , x

∗

; ε) :=

{x ∈ X : |x

∗

− x

∗

| < ε} .

Rodzina V, wszystkich zbiorów postaci V

∗

, x

∗

, . . . , x

∗

; ε), jest bazą pewnej topologii

w X. Oznaczmy tę topologię przez T

∗

. Przestrzeń (X, T

∗

) jest wówczas (por. ćwiczenie 2-

10) lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Bazę otoczeń zera w tej topologii
stanowi rodzina zbiorów

∗

, x

∗

, . . . , x

∗

; ε).

3.11 Definicja

Topologię T

∗

w przestrzeni unormowanej X, określoną powyżej, nazywamy słabą topologią

lub X

∗

-topologią

w X.

3.12 Uwaga

Można wykazać, że słaba topologia jest najuboższą topologią, względem której wszystkie
funkcjonały z X

∗

pozostają ciągłe.

Wykażemy teraz nieprzypadkowe podobieństwo w nazwach słaba topologia i słaba zbież-

ność

3.3. PRZESTRZENIE REFLEKSYWNE

3.13 Twierdzenie

Ciąg (x

) elementów przestrzeni unormowanej X jest słabo zbieżny do x

∈ X wtedy i

tylko wtedy, gdy jest on zbieżny do x

w słabej topologii w X.

Dowód:

Załóżmy, że x

* x

i niech V

∗

, x

∗

, . . . , x

∗

; ε) będzie dowolnym elementem

z bazy otoczeń punktu x

w słabej topologii T

∗

. Dobierzmy N

, N

, . . . , N

tak, aby |x

∗

−

∗

| < ε dla n > N

(i = 1, 2, . . . , m). Wówczas, dla n > N := max{N

, N

, . . . , N

mamy |x

∗

− x

∗

| < ε dla i = 1, 2, . . . , m, co oznacza, że x

∈ V

∗

, x

∗

, . . . , x

∗

; ε). A

zatem, x

→ x

w X

∗

-topologii.

Załóżmy teraz, że x

→ x

w słabej topologii w X. Dla dowolnego ε > 0 i dla dowolnego

∈ X

∗

weźmy V

= V

(ϕ; ε). Istnieje wówczas N takie, że x

∈ V

dla n > N, tzn.

|ϕ(x

) − ϕ(x

)| < ε dla n > N

czyli ϕ(x

) → ϕ(x

), co oznacza (wobec dowolności ϕ i ε) słabą zbieżność x

* x

Przy definiowaniu słabej topologii w przestrzeni unormowanej X posłużyliśmy się jej

przestrzenią dualną X

∗

. Sytuację tę można jednak odwrócić, tzn. przy pomocy X wprowa-

dzić topologię w X

∗

. Dla ustalonego ϕ ∈ X

∗

oraz ε > 0, m ∈ N i elementów x

, x

, . . . , x

przestrzeni X (m ∈ N), zdefiniujmy

, x

, . . . , x

; ε) :=

∗

∈ X

∗

: |x

∗

− ϕ(x

)| < ε} .

Rodzina U wszystkich zbiorów postaci U

, x

, . . . , x

; ε) jest bazą topologii w X

∗

Oznaczmy tę topologię przez

∗

T . Przestrzeń (X

∗

T ) jest przestrzenią liniowo-topologiczną,

lokalnie wypukłą.

3.14 Definicja

Topologię

∗

T w przestrzeni unormowanej X

∗

, określoną powyżej, nazywamy słabą wstecz

topologią

(X-topologią, słabą-∗ topologią) w X

∗

Relacje pomiędzy zdefiniowanymi do tej pory różnymi topologiami w X i X

∗

ustala

poniższe twierdzenie.

3.15 Twierdzenie

Topologia mocna (wprowadzona przez normę) w przestrzeni unormowanej X jest mocniejsza
od X

∗

-topologii w X. Z kolei, topologia mocna w przestrzeni dualnej X

∗

jest mocniejsza

od X-topologii w X

∗

Dowód tego twierdzenia pozostawiamy jako ćwiczenie. Dla pokazania, że jedna topologia

jest mocniejsza od drugiej należy wykazać, że każde otoczenie zera w tej drugiej topologii
jest też otoczeniem zera w pierwszej.

Zauważmy, że do tej pory wprowadziliśmy dwie topologie w przestrzeni dualnej X

∗

;

mocną topologię (wprowadzoną przez normę w X

∗

) i słabą wstecz topologię. Rozważając

przestrzeń bidualną X

∗∗

:= (X

∗

)

∗

, możemy w X

∗

wprowadzić X

∗∗

-topologię (słabą topologię

w X

∗

). Jest to już trzecia topologia w X

∗

. Można wykazać (co proponujemy zrobić jako

ćwiczenie), że ta ostatnia X

∗∗

-topologia jest mocniejsza niż X-topologia w X

∗

(ale słabsza

niż mocna topologia w X

∗

3.3 Przestrzenie refleksywne

Każdemu elementowi x z przestrzeni unormowanej X przyporządkujmy funkcję κx : X

∗

→

, zadaną wzorem

(κx)(x

∗

) := x

∗

dla x

∗

∈ X

∗

(3.2)

Takie przyporządkowanie ma następujące własności:

ROZDZIAŁ 3. PRZESTRZENIE DUALNE I ZWIĄZANE Z NIMI TOPOLOGIE

3.16 Twierdzenie

Dla każdego x

∈ X, zdefiniowane powyżej κx jest funkcjonałem liniowym ciągłym nad X

∗

(a więc elementem przestrzeni bidualnej X

∗∗

). Obraz κ(X) zbioru X jest podprzestrzenią

przestrzeni X

∗∗

, izometrycznie izomorficzną z przestrzenią X, przy czym κ jest izomorfi-

zmem i izometrią X na κ(X).

Dowód:

Dla dowolnych x

∗

, y

∗

∈ X

∗

oraz λ ∈ K mamy

(κx)(x

∗

+ y

∗

) = (x

∗

+ y

∗

)x = x

∗

+ y

∗

= (κx)(x

∗

) + (κx)(y

∗

(κx)(λx

∗

) = (λx

∗

)(x) = λ(x

∗

) = λ(κx)(x

∗

co dowodzi liniowości funkcjonału κx. Jego ciągłość (ograniczoność) wynika z następującej
nierówności:

|(κx)x

∗

| = |x

∗

| ¬ kxk·kx

∗

A więc, κx ∈ X

∗∗

oraz kκxk ¬ kxk (po lewej stronie norma w X

∗∗

, po prawej norma w X).

Korzystając z wniosku 3.2 mamy

kκxk = sup

∗

k¬1

|(κx)x

∗

| = sup

∗

k¬1

∗

| = kxk.

Z liniowości x

∗

wynika liniowość κ. Załóżmy, że κx = κy. Wówczas dla każdego x

∗

∈

∗

, x

∗

= x

∗

, czyli x

∗

(x − y) = 0, co wobec dowolności x

∗

oznacza, że x − y = 0, a

więc κ jest odwzorowaniem różnowartościowym. Odwzorowanie κ jest więc izometrycznym
izomorfizmem.

W związku z powyższym twierdzeniem, opisane w nim odwzorowanie κ : X → X

∗∗

nazywamy zanurzeniem kanonicznym X w X

∗∗

Obraz zanurzenia kanonicznego κ(X) jest podprzestrzenią przestrzeni X

∗∗

i może to

być podprzestrzeń właściwa. Przestrzeń bidualna X

∗∗

jest zawsze przestrzenią Banacha,

więc gdyby κ(X) = X

∗∗

, to κ(X) byłaby przestrzenią Banacha. Ale κ jest izometrycz-

nym izomorfizmem, a zatem zupełność przestrzeni κ(X) oznacza zupełność przestrzeni X.
Warunkiem koniecznym na to, by κ(X) = X

∗∗

jest więc zupełność przestrzeni X.

3.17 Definicja

Przestrzeń Banacha X nazywamy refleksywną, gdy jej obraz w zanurzeniu kanonicznym κ
pokrywa się z całą przestrzenią bidualną X

∗∗

Wprost z definicji widzimy, że jeśli X jest przestrzenią refleksywną, to X i X

∗∗

są

izometrycznie izomorficzne. Implikacja odwrotna nie zachodzi, tzn. z izometrycznej izomor-
ficzności X i X

∗∗

nie wynika refleksywność X.

3.18 Przykład

Przykładem przestrzeni Banacha nierefleksywnej może być przestrzeń ciągowa l

. Do uza-

sadnienia tego stwierdzenia skorzystamy z faktu, że przestrzeń dualna l

∗

jest izometrycz-

nie izomorficzna z l

∞

(zob. [18], twierdzenie 18.2). Przestrzeń l

∞

jest nieośrodkowa, więc

również przestrzeń l

∗∗

∼ (l

∞

)

∗

jest nieośrodkowa, gdyż nieośrodkowość przenosi się na

przestrzenie dualne (zob. twierdzenie 17.8 w [18]). Refleksywność l

oznaczałaby więc izo-

metryczną izomorficzność dwóch przestrzeni, z których jedna jest ośrodkowa, a druga nie,
co nie jest możliwe.

Zauważmy, że jeśli X jest przestrzenią refleksywną, to w przestrzeni dualnej X

∗

topolo-

gie: słaba i słaba wstecz pokrywają się. Jako ćwiczenie pozostawiamy wykazanie, że każda
skończenie wymiarowa przestrzeń unormowana jest refleksywna.

3.4. SŁABA ZWARTOŚĆ

3.19 Twierdzenie

Każda przestrzeń Hilberta jest refleksywna.

Dowód:

Skorzystamy z twierdzenia Riesza–Fr´echeta. Dla każdego funkcjonału liniowego

ciągłego x

∗

nad X istnieje (jednoznacznie wyznaczony) element y taki, że x

∗

= hx|yi dla

dowolnego x ∈ X; i na odwrót, element y definiuje nam pewien funkcjonał w X

∗

. Niech

zatem Ux

∗

= y; operator U jest bijektywny, R-liniowy i ciągły (wiadomo, że kUx

∗

k = kx

∗

k),

więc również U

−1

jest ciągły (na mocy twierdzenia o operatorze odwrotnym). Ponadto,

(λx

∗

) = λU(x

∗

) dla x

∗

∈ X

∗

, λ

∈ K,

a stąd

−1

(λy) = λU

−1

(y) dla y ∈ X, λ ∈ K.

Niech x

∗∗

∈ X

∗∗

. Zdefiniujmy funkcjonał

∗

= x

∗∗

−1

) dla y ∈ X.

Funkcjonał y

∗

jest liniowy i ciągły, czyli y

∗

∈ X

∗

. Istnieje więc (znów twierdzenie Riesza–

Fr´echeta) taki element x ∈ X, że

∗

= hy|xi dla y ∈ X.

A więc,

∗∗

∗

= y

∗

= hy|xi = hx|yi = x

∗

czyli

∗∗

= κx ∈ κ(X).

Pokazaliśmy zatem, że X

∗∗

⊂ κ(X). Inkluzja przeciwna zawsze zachodzi, czyli X jest prze-

strzenią refleksywną.

Mocniejsze twierdzenie zaprezentujemy w następnym rozdziale.

3.4 Słaba zwartość

Z ustalonej w poprzednim paragrafie relacji pomiędzy różnymi topologiami (w szczególności
twierdzenie 3.15) oraz z faktu, iż jeśli zbiór jest zwarty w danej topologii, to jest on zwarty
w każdej topologii słabszej, wynika następujące twierdzenie:

3.20 Twierdzenie

W przestrzeni unormowanej X, każdy zbiór zwarty jest również zwarty w X

∗

-topologii w

. Każdy zbiór zwarty w przestrzeni dualnej X

∗

jest też zwarty w X

∗∗

-topologii w X

∗

, a

każdy zbiór zwarty w X

∗∗

-topologii w X

∗

jest zwarty w X-topologii w X

∗

Przyjmijmy teraz następujące definicje:

3.21 Definicja

Zbiór A w przestrzeni unormowanej X nazywamy słabo zwartym, jeśli jest on zwarty w
słabej topologii w X (tzn. w X

∗

-topologii w X). Zbiór A nazywamy ciągowo słabo zwartym,

jeśli każdy ciąg (x

) elementów z A zawiera podciąg słabo zbieżny do pewnego elementu

∈ A.

Zbiór A nazywamy warunkowo ciągowo słabo zwartym, jeśli każdy ciąg (x

) elementów z A

zawiera podciąg słabo zbieżny do pewnego elementu x

∈ X.

Wiemy, że kula jednostkowa nie musi być zbiorem zwartym w mocnej topologii. Przy

pomocy twierdzenia Tichonowa można wykazać (zob. [18], §22) następujące twierdzenie:

ROZDZIAŁ 3. PRZESTRZENIE DUALNE I ZWIĄZANE Z NIMI TOPOLOGIE

3.22 Twierdzenie (Banacha-Alaoglu)

Jeśli X jest przestrzenią Banacha, to kula jednostkowa w przestrzeni dualnej,

∗

:= {x

∗

∈ X

∗

: kx

∗

k ¬ 1} ⊂ X

∗

jest zbiorem zwartym w X-topologii w X

∗

(czyli zbiorem słabo wstecz zwartym lub słabo-

∗

zwartym

Słabe zwartości wykorzystać można przy charakteryzowaniu przestrzeni refleksywnych.

W szczególności, można udowodnić (przy pomocy m.in. twierdzenia Banacha-Alaoglu) na-
stępujące twierdzenie:

3.23 Twierdzenie

Niech X będzie przestrzenią Banacha. Wówczas następujące warunki sa równoważne:

1. X jest refleksywna;

2. kula jednostkowa jest słabo zwarta w X;

3. kula jednostkowa jest warunkowo ciągowo słabo zwarta w X.

Równoważność warunków 1 i 2 podał dla przestrzeni ośrodkowych Banach (podobnie

jak twierdzenie uogólnione przez Alaoglu), a w przypadku ogólnym Kakutani i Szmulian
(zob. dowód w podręczniku [18]). Równoważność 1 i 3 podał Eberlein.

3.5 Ćwiczenia

3–1 Niech (x

)

∞
n=1

, gdzie x

= (t

)

∞
i=1

dla n = 1, 2, . . . będzie ciągiem w przestrzeni l

(dla

1 < p < ∞) i niech x

= (t

) ∈ l

. Wykazać, że x

* x

wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej

stałej M > 0 mamy P

n
i=1

¬ M oraz t

→ t

przy n → ∞ dla i = 1, 2, . . . .

3–2 Ciąg (ϕ

) w przestrzeni dualnej X

∗

nazywamy słabo wstecz ograniczonym jeśli dla każdego

∈ X ciąg (ϕ

(x)) jest ciągiem ograniczonym.

Pokazać, że każdy ciąg (ϕ

) ograniczony w X

∗

jest też słabo wstecz ograniczony, a jeśli X

jest przestrzenią zupełną, to także na odwrót.

3–3 Wykazać, że przestrzeń l

jest przestrzenią Schura.

3–4 Wykazać, że słaba topologia jest najuboższą topologią, względem której wszystkie funkcjo-

nały z X

∗

pozostają ciągłe.

3–5 Wykazać, że słaba wstecz topologia w X

∗

jest najsłabszą topologią, względem której dla

dowolnego x ∈ X odwzorowanie κx: X

∗

→ K, określone wzorem (3.2), jest ciągłe.

3–6 Pokazać, że zbieżność ciągu funkcjonałów (ϕ

)

∞

n=1

w X

∗

w słabej wstecz topologii oznacza

zbieżność punktową tzn. dla każdego x ∈ X ciąg (ϕ

(x))

∞

n=1

jest zbieżny w K.

3–7 Zbiór A w przestrzeni liniowo-topologicznej X nazywamy ograniczonym, gdy dla dowolnego

otoczenia zera V

istnieje liczba δ > 0 taka, że dla |λ| < δ jest λA ⊂ V

. Pokazać, że dla

dowolnego zbioru A w przestrzeni unormowanej X, jego ograniczoność w słabej topologii jest
równoważna słabej ograniczoności, tzn. ograniczoności zbioru {x

∗

: x ∈ A} dla wszystkich

∗

∈ X

∗

3–8 Zbadać refleksywność przestrzeni Banacha: c, c

, C[a, b].

3–9 Wykazać, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń unormowana jest refleksywna.

3–10 Pokazać, że przestrzeń Banacha X jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy X

∗

jest reflek-

sywna.

3–11 Przedstawić dowód twierdzenia Banacha-Alaoglu.

Rozdział 4

Geometryczne własności normy

Od początków rozwoju teorii przestrzeni Banacha, zajmowano się problemem związku po-
między pewnymi własnościami analitycznymi danej przestrzeni, a geometrycznymi własno-
ściami samej normy.

4.1 Ścisła wypukłość i gładkość

Jedną z takich własności, ścisłą wypukłość, rozważaliśmy już wcześniej (Definicja 1.7).
Wprowadźmy teraz pojęcie gładkości.

Dla rzeczywistego funkcjonału liniowego i ciągłego f : X → R, hiperpłaszczyzna

:= {x ∈ X : f(x) = kfk}

ma tę własność, że kula jednostkowa zawiera się w półprzestrzeni H

−

, tzn.

{x ∈ X : kxk ¬ 1} ⊂ {x ∈ X : f(x) ¬ kfk}

(istotnie, f(x) ¬ |f(x)| ¬ kfk·kxk ¬ kfk). Własności powyższej nie ma żadna z hiper-

płaszczyzn równoległych {x ∈ X : f(x) = kfk − ε} (dla ε > 0). W związku z powyższym,

hiperpłaszczyznę H nazywamy hiperpłaszczyzną podpierającą dla kuli jednostkowej. Można
sprawdzić, że taką hiperpłaszczyzną podpierającą dla kuli jednostkowej w przestrzeni eukli-
desowej R

, dla funkcjonału f(x, y) = ax + by, jest prosta styczna do okręgu jednostkowego

w punkcie

√

+ b

√

+ b

Twierdzenie 3.1 (o wydobywaniu normy) możemy zinterpretować w następujący sposób.

Przez każdy punkt x

na sferze jednostkowej przechodzi jej hiperpłaszczyzna podpierająca.

Dowód tej własności dla n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej podał Minkowski. Taka
hiperpłaszczyzna nie musi być jedyna.

4.1 Definicja

Punkt x należący do sfery jednostkowej, przez który przechodzi dokładnie jedna hiperpłasz-
czyzna podpierająca, lub inaczej, dla którego istnieje dokładnie jeden funkcjonał podpiera-
jący

(o normie równej jeden, i którego wartość w x jest równa jeden) nazywamy punktem

gładkości sfery

Jeśli każdy punkt ze sfery jednostkowej jest jej punktem gładkości, to przestrzeń nazy-

wamy gładką.

4.2 Przykład

Oczywiście, R

z normą euklidesową jest, a z normą maksimum nie jest przestrzenią gładką.

Przestrzeń L

(Ω) (z dowolnym 1 < p < ∞) jest przykładem przestrzeni ściśle wypukłej i

gładkiej. Przestrzenie L

oraz C(Ω) nie są ani gładkie, ani ściśle wypukłe.

ROZDZIAŁ 4. GEOMETRYCZNE WŁASNOŚCI NORMY

Spróbujmy teraz zastanowić się, jaka jest analityczna interpretacja gładkości. Niech

∈ X, kxk = 1. Ustalmy dowolny punkt y ∈ X oraz funkcjonał x

∗

∈ X

∗

taki, że kx

∗

k =

∗

(x) = 1. Wówczas dla dowolnego t ∈ R mamy

kxk + tx

∗

(y) = x

∗

(x) + tx

∗

(y) = x

∗

(x + ty) ¬ |x

∗

(x + ty)| ¬ kx

∗

k kx + tyk = kx + tyk.

A zatem, gdy t > 0,

∗

(y) ¬

kx + tyk − kxk

Łatwo pokazać (korzystając m.in. z nierówności trójkąta), że funkcja t 7→

kx+tyk−kxk

jest

rosnąca na przedziale (0, ∞). Ponieważ jest też ograniczona z dołu przez x

∗

(y), to istnieje

granica prawostronna w zerze oraz:

∗

(y) ¬ lim

→0

kx + tyk − kxk

Podobnie, gdy t < 0, mamy

∗

(y)

kx + tyk − kxk

i funkcja t 7→

kx+tyk−kxk

jest rosnąca na przedziale (−∞, 0) więc

∗

(y) lim

→0

−

kx + tyk − kxk

Jeśli obie granice są sobie równe (czyli gdy norma ma pochodną kierunkową w x, w

kierunku y), to wartość x

∗

(y) jest jednoznacznie wyznaczona. W przeciwnym przypadku (x

i y muszą być wtedy liniowo niezależne), dla dowolnego λ takiego, że

lim

→0

−

kx + tyk − kxk

¬ λ ¬ lim

→0

kx + tyk − kxk

będzie istniał funkcjonał x

∗

∈ X

∗

taki, że kx

∗

k = x

∗

(x) = 1 oraz x

∗

(y) = λ (można to

pokazać korzystając z twierdzenia Hahna-Banacha, podobnie jak w dowodzie twierdzenia o
wydobywaniu normy). Nie ma więc jednoznaczności, o jakiej mowa w definicji 4.1.

A zatem, punkt x jest punktem gładkości sfery jednostkowej wtedy i tylko wtedy, gdy

dla dowolnego y ∈ X istnieje granica

∗

(y) = lim

→0

kx + tyk − kxk

Mówimy wtedy, że norma jest różniczkowalna w sensie Gˆateaux (lub G-różniczkowalna) w
punkcie x. Przestrzeń X jest gładka wtedy i tylko wtedy, gdy norma jest G-różniczkowalna
w każdym punkcie sfery jednostkowej.

4.3 Uwaga

Ogólnie, mówimy, że funkcja f : X → Y odwzorowująca przestrzeń unormowaną X w

przestrzeń unormowaną Y jest G-różniczkowalna w punkcie x

∈ X jeśli istnieje liniowy i

ciągły operator T : X → Y taki, że dla dowolnego u ∈ X:

T u

= lim

→0

+ tu) − f(x

)

(4.1)

Jeśli powyższa zbieżność jest jednostajna względem u na sferze jednostkowej, to mówimy,

że f jest różniczkowalna w sensie Fr´echeta (lub F-różniczkowalna) w punkcie x

. Wówczas

lim

3h→0

+ h) − f(x

) − T (h)

khk

= lim

→0

+ khk

khk

) − f(x

) − T (khk

khk

)

khk

= lim

→0

+ tu

) − f(x

) − T (tu

)

= 0

4.1. ŚCISŁA WYPUKŁOŚĆ I GŁADKOŚĆ

gdzie t = khk oraz u

khk

. Ostatnia granica jest równa 0 dzięki założonej jednostajnej

zbieżności w (4.1).

Warunek

lim

→0

+ h) − f(x

) − T (h)

khk

= 0

przyjmuje się często jako definicję różniczkowalności (F-różniczkowalności) funkcji f w punk-
cie x

. Operator T nazywamy wówczas różniczką funkcji f w punkcie x

i oznaczamy (df)

Podstawowe informacje na temat rachunku różniczkowego w przestrzeniach unormowanych
można znaleźć np. w [6], rozdział 5.2.

4.4 Uwaga

Jeśli norma jest F-różniczkowalna, to mamy wówczas (przy wcześniejszych oznaczeniach i
założeniach: x

∗

) = kx

k = 1 = kx

∗

lim

→0

+ hk − kx

k − x

∗

(h)

khk

= 0

czyli

+ hk − kx

k − x

∗

(h) = o(khk).

A zatem x

∗

(funkcjonał podpierający w punkcie x

) jest różniczką normy w punkcie x

Powyższe stwierdzenie jest prawdziwe również dla punktów x

poza sferą jednostkową.

4.1.1 Twierdzenie Bishopa-Phelpsa

Następujący lemat bedzie wykorzystany w dowodzie twierdzenia.

4.5 Lemat

Jeśli (Z, d) jest przestrzenią metryczną zupełną, f : Z

→ R funkcją ciągłą i ograniczoną, to

dla każdego ε > 0 istnieje z

∈ Z takie, że

)  f(z) − εd(z, z

∈ Z.

(4.2)

Dowód:

Wprowadzamy częściowy porządek w Z; dla z

, z

∈ Z

≺ z

:⇔ f(z

) ¬ f(z

) − εd(z

, z

Niech L będzie łańcuchem w Z. Jeśli w L istnieje element największy, to jest on majorantą

tego łańcucha. Załóżmy więc, że w L nie ma elementu największego. Ponieważ f jest funkcją

ograniczoną, to M := sup f(L) < ∞. Niech (y

) będzie ciągiem w L takim, że f(y

) → M

przy n → ∞. Z założenia, że w L nie ma elementu największego wynika, że można wybrać

ciąg (x

) w L taki, że x

= y

oraz x

i x

. Oczywiście ciąg (x

) spełnia

warunek

≺ x

≺ · · · .

(4.3)

Ponadto zachodzi

∀ z ∈ L ∃n ∈ N z ≺ x

(4.4)

Istotnie, przypuśćmy, że istnieje z ∈ L takie, że x

≺ z dla n ∈ N. Wówczas byłoby, dla

dowolnego n,

−1

) ¬ f(x

) ¬ f(z) − εd(z, x

) ¬ f(z).

Zmierzając z n do nieskończoności mielibyśmy M ¬ f(z) czyli f(z) = M. Ponieważ w L

nie ma elementu największego, to istnieje z

∈ L takie, że z

z oraz z

6= z. Zatem

= f(z) ¬ f(z

) − εd(z, z

) < f(z

)

ROZDZIAŁ 4. GEOMETRYCZNE WŁASNOŚCI NORMY

czyli f(z

) > M, sprzeczność. Zatem (4.4) zachodzi.

Z (4.3) wynika, w szczególności, że (f(x

)) jest ciągiem rosnącym; jest to też ciąg

ograniczony. Ciąg (f(x

)) jest zatem zbieżny, spełnia więc warunek Cauchy’ego. Dla do-

wolnych m > n mamy x

≺ x

, więc f(x

) ¬ f(x

) − εd(x

, x

). Stąd zaś mamy

, x

) ¬

1
ε

(f(x

) − f(x

)) i widać, że (x

) spełnia warunek Cauchy’ego. Ponieważ

przestrzeń metryczna Z jest zupełna, istnieje granica x

= lim

→∞

w Z. Zobaczmy, że

jest majorantą łańcucha L. Dla dowolnego z ∈ L mamy bowiem, dzięki (4.4),

∃ n

∀ n n

≺ x

czyli

(z) ¬ f(x

) − εd(x

, z

dla n n

Zmierzając z n do nieskończoności otrzymamy (dzięki ciągłości f)

(z) ¬ f(x

) − εd(x

, z

)

czyli z ≺ x

W ten sposób pokazaliśmy, że każdy łańcuch w (Z, ≺) ma majorantę. Na podstawie

lematu Kuratowskiego–Zorna wnioskujemy o istnieniu elementu maksymalnego z

w Z.

Dla tego z

zachodzi teza lematu. Istotnie, gdyby dla pewnego z ∈ X było

) < f(z) − εd(z, z

to mielibyśmy z

≺ z, z 6= z

— sprzeczność z maksymalnością z

. Zatem (4.2) zachodzi.

4.6 Twierdzenie (Bishopa–Phelpsa, [5])

Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią Banacha, C

⊂ X – niepustym, domkniętym, ogra-

niczonym i wypukłym podzbiorem. Rozważmy rodzinę tych funkcjonałów liniowych i cią-
głych na X, które osiągają maksimum na zbiorze C:

:= {ϕ ∈ X

∗

: ∃ c

∈ C : ϕ(c

) = sup

∈C

(c)}.

Wówczas

jest gęsty w X

∗

Dowód:

Ustalmy niepusty, domknięty, ograniczony i wypukły zbiór C ⊂ X, funkcjonał

∈ X

∗

oraz ε > 0. Chcemy pokazać, że istnieje ψ ∈ A

taki, że kϕ − ψk ¬ ε.

Skorzystajmy z poprzedniego lematu biorąc Z = C z metryką d pochodzącą od normy

i indukowaną na C (zupełną dzięki zupełności X i domkniętości C). Istnieje zatem c

∈ C

takie, że

)  ϕ(c) − εkc − c

∈ C.

Zdefiniujmy zbiory

:= {(c, t) : c ∈ C, t ¬ ϕ(c)};

:= {(x, t) : x ∈ X, t ϕ(c

) + εkx − c

k}.

Zbiory K

i K

są niepustymi zbiorami wypukłymi w X × R. Ponadto int K

6= ∅ oraz

int K

∩ K

= ∅. Skorzystajmy z twierdzenia o oddzielaniu 2.33. Zbiory K

i K

można

rozdzielić hiperpłaszczyzną H w X × R. W X × R określamy normę produktową k(x, t)k :=
kxk + |t|; każdy funkcjonał liniowy i ciągły f na X × R ma postać f(x, t) = χ(x) + at dla

pewnego χ ∈ X

∗

i a ∈ R. A zatem istnieją χ ∈ X

∗

, a ∈ R oraz α ∈ R takie, że

= {(x, t) ∈ X × R : χ(x) + at = α}, K

⊂ H

−

czyli

(x) + at α dla (x, t) ∈ K

oraz χ(x) + at ¬ α dla (x, t) ∈ K

4.1. ŚCISŁA WYPUKŁOŚĆ I GŁADKOŚĆ

Widać, że a musi być liczbą ujemną (w pierwszej nierówności możemy podstawiać t zmie-
rzające do −∞, w drugiej t dowolnie duże). Bez straty ogólności można przyjąć, że a = −1

(wystarczy podzielić obie powyższe nierówności przez −a i zastąpić χ przez −

1
a

oraz α

przez −

). Mamy więc

(x) − t α dla (x, t) ∈ K

oraz χ(x) − t ¬ α dla (x, t) ∈ K

Ponieważ (c

, ϕ

)) ∈ K

∩ K

dostajemy χ(c

) − ϕ(c

) = α. Niech ψ := ϕ − χ. Wówczas

) = −α. Dla dowolnego c ∈ C mamy (c, ϕ(c)) ∈ K

, więc χ(c) − ϕ(c)  α, a zatem

)

co oznacza, że ψ osiąga maksimum na C w punkcie c

, a zatem ψ ∈ A

Niech x ∈ X będzie dowolnym elementem i niech t := ϕ(c

)+εkxk. Wówczas (x+c

, t

) ∈

. A zatem,

(x + c

) − t ¬ α = −ψ(c

) = χ(c

) − ϕ(c

Stąd

(x) + χ(c

) − ϕ(c

) − εkxk ¬ χ(c

) − ϕ(c

)

czyli

(x) ¬ εkxk,

∈ X.

Wstawiając −x do powyższej nierówności otrzymamy −χ(x) = χ(−x) ¬ εk − xk czyli
χ

(x)  −εkxk więc ostatecznie

|χ(x)| ¬ εkxk,

∈ X.

Zatem kχk ¬ ε, więc kϕ − ψk = kχk ¬ ε.

4.1.2 Funkcjonały realizujące normę

Przyjmijmy następującą definicję:

4.7 Definicja

Funkcjonał ϕ ∈ X

∗

realizuje

(osiąga) swoją normę, jeśli istnieje x

∈ X, kx

k = 1 taki, że

) = kϕk.

Niech B oznacza kulę jednostkową w rzeczywistej przestrzeni Banacha X. Ponieważ B jest
zbiorem zbalansowanym, dla dowolnego funkcjonału ϕ ∈ X

∗

zbiór jego wartości na B jest

symetryczny względem zera. Mamy więc

sup

∈B

(x) = sup

∈B

|ϕ(x)| = kϕk,

a zatem

= {ϕ ∈ X

∗

: ∃ x

∈ B : ϕ(x

) = kϕk}.

Zauważmy jednak, że ten kres jest osiągany na sferze jednoskowej. Istotnie mamy

¬ sup

kxk=1

(x) = sup

kxk=1

|ϕ(x)| ¬ sup

kxk¬1

|ϕ(x)| = kϕk;

stąd ϕ(x

) ¬ kx

k kϕk czyli kϕk ¬ kx

k kϕk, kx

k  1, a więc kx

k = 1. Ostatecznie

= {ϕ ∈ X

∗

: ∃ x

: kx

k = 1, ϕ(x

) = kϕk}.

Klasa A

jest więc klasą wszystkich funkcjonałów z przestrzeni dualnej X

∗

, które realizują

swoją normę. Oczywiście B jest zbiorem niepustym, wypukłym, domkniętym i ograniczo-
nym. Jako wniosek z twierdzenia Bishopa–Phelpsa otrzymujemy:

ROZDZIAŁ 4. GEOMETRYCZNE WŁASNOŚCI NORMY

4.8 Twierdzenie

Zbiór funkcjonałów liniowych ciągłych określonych na rzeczywistej przestrzeni Banacha X
i realizujących swą normę jest gęsty w X

∗

Przestrzeń unormowaną, dla której zbiór liniowych i ciągłych funkcjonałów osiągających
normę jest gęsty w przestrzeni dualnej, nazywamy przestrzenią podrefleksywną (subreflek-
sywną). Powyższe twierdzenie możemy więc wypowiedzieć w następującej formie:

4.9 Wniosek

Każda rzeczywista przestrzeń Banacha jest podrefleksywna.

W przestrzeni Banacha, zbiór funkcjonałów realizujących normę jest gęsty w X

∗

ale, gene-

ralnie, nie musi być równy X

∗

. Inaczej mówiąc, mogą istnieć funkcjonały liniowe i ciągłe,

które nie realizują normy. Zachodzi jednak następujące twierdzenie.

4.10 Twierdzenie

W przestrzeni refleksywnej X, każdy funkcjonał liniowy i ciągły osiąga normę.

Dowód:

Jeśli ϕ ∈ X

∗

, to z twierdzenia o wydobywaniu normy wiemy, że istnieje taki

funkcjonał F ∈ X

∗∗

o normie równej jeden, że F (ϕ) = kϕk. Ponieważ przestrzeń X jest

refleksywna, to X

∗∗

= κ(X), więc istnieje x ∈ X takie, że κx = F czyli, w szczególności,

kxk = kκxk = kF k = 1 oraz

(x) = κx(ϕ) = F (ϕ) = kϕk

czyli ϕ realizuje normę

Odwrotna teza jest również prawdziwa.

4.11 Twierdzenie (Jamesa)

Rzeczywista przestrzeń Banacha X jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy funk-
cjonał z X

∗

realizuje normę.

Dowód powyższego twierdzenia jest trudny i nie będziemy go prezentować. Inne twier-

dzenie (pochodzące od tego samego autora) charakteryzuje słabą zwartość bez odwoływania
się bezpośrednio do słabej topologii.

4.12 Twierdzenie (Jamesa)

Niepusty, domknięty i wypukły podzbiór C przestrzeni Banacha X jest słabo zwarty wtedy
i tylko wtedy, gdy każdy funkcjonał x

∗

∈ X

∗

osiąga maksimum na C.

Ponieważ realizowanie normy przez funkcjonał oznacza osiąganie maksimum na kuli

jednostkowej, z obu powyższych twierdzeń Jamesa wynika natychmiast znana nam już cha-
rakteryzacja refleksywności (por. twierdzenie 3.23): przestrzeń Banacha jest refleksywna
wtedy i tylko wtedy, gdy domknięta kula jednostkowa jest zbiorem słabo zwartym.

Można też wykazać następującą (kolejną w tym wykładzie) charakteryzację przestrzeni

ściśle wypukłych.

4.13 Twierdzenie

Przestrzeń unormowana X jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego nieze-
rowego funkcjonału ϕ

∈ X

∗

istnieje co najwyżej jeden punkt x

ze sfery jednostkowej, w

którym ϕ realizuje swoją normę tzn. ϕ(x

) = kϕk.

Powyższa charakteryzacja pozwala m.in. na wykazanie nastepującego twierdzenia:

4.14 Twierdzenie

Jeśli przestrzeń dualna X

∗

jest ściśle wypukła, to X jest gładka. Jeśli przestrzeń dualna X

∗

jest gładka, to X jest ściśle wypukła.

Implikacje odwrotne nie są prawdziwe.

4.2. JEDNOSTAJNA WYPUKŁOŚĆ I GŁADKOŚĆ

4.1.3 Własność przecięcia

4.15 Definicja

Przestrzeń unormowana X ma własność przecięcia (Mazura) jeśli każdy domknięty, ogra-
niczony i wypukły podzbiór A przestrzeni X można przedstawić jako przecięcie pewnej
rodziny kul domkniętych.

4.16 Uwaga

Zauważmy, że domknięty, ograniczony i wypukły zbiór C w przestrzeni unormowanej X jest
przecięciem pewnej rodziny kul domkniętych wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x 6∈ C

istnieje domknięta kula K w X taka, że C ⊂ K i x 6∈ K.

4.17 Twierdzenie (Mazura)

Jeśli norma w przestrzeni Banacha X jest różniczkowalna w sensie Fr´echeta, to rozważana
przestrzeń ma własność przecięcia.

Dowód:

Niech C będzie domkniętym, ograniczonym i wypukłym zbiorem w X. Skorzy-

stamy z warunku z uwagi 4.16. Ustalmy zatem dowolny punkt a 6∈ C; bez straty ogólności

możemy założyć, że a = 0 (należy dokonać odpowiedniego przesunięcia). Wystarczy teraz
pokazać, że istnieją x ∈ X oraz r > 0 takie, że C ⊂ x + rB oraz 0 6∈ (x + rB), gdzie B

oznacza kulę jednostkową w X.

Ponieważ 0 6∈ C oraz C jest wypukły, istnieje funkcjonał ϕ ∈ X

∗

, kϕk = 1 taki, że

inf ϕ(C) > 0 (zastosować twierdzenie o odzielaniu zbiorów wypukłych do zbiorów C i {0}).

Korzystając z twierdzenia 4.8, znajdziemy funkcjonał ψ ∈ X

∗

, kψk = 1 realizujący normę i

dowolnie bliski ϕ. W szczególności może on być tak bliski ϕ, aby inf ψ(C) > 0. Niech x ∈ X,
kxk = 1 będzie punktem, w którym ψ realizuje normę czyli ψ(x) = 1. Wówczas (por. uwaga

4.4) ψ jest różniczką normy w punkcie x. Połóżmy ε :=

1
2

inf ψ(C) oraz rozważmy rodzinę

kul B

:= nεx + (n − 1)εB, n  2. Oczywiście, dla każdego n  2 mamy 0 6∈ B

. Pokażemy,

że dla pewnego n jest C ⊂ B

, co zakończy dowód. Gdyby tak nie było, to dla każdego

2 moglibyśmy wybrać x

∈ C \ B

. Wówczas kx

− nεxk > (n − 1)ε, a zatem

−

nε

1 −

(4.5)

Korzystając teraz z F-różniczkowalności normy i tego, że ψ jest jej różniczką w punkcie x
mamy

kx + hk − kxk − ψ(h) = r(h) oraz

lim

→0

(h)

khk

= 0.

(4.6)

Podstawiając w powyższym h = −

nε

, korzystając z (4.5) oraz z równości ε =

1
2

inf ψ(C)

otrzymamy

−

nε

−

nε

− 1 + ψ

nε

 −

inf ψ(x

)

nε

 −

inf ψ(C)

nε

Zatem

−

nε

−

nε

sup

jest zbiorem ograniczonym, a {x

} ⊂ C, więc lim

→∞

nε

= 0 oraz sup

k < ∞ i

otrzymujemy sprzeczność z (4.6).

4.2 Jednostajna wypukłość i gładkość

Przedstawimy jeszcze krótko dwie geometryczne własności normy.

ROZDZIAŁ 4. GEOMETRYCZNE WŁASNOŚCI NORMY

4.18 Definicja

Przestrzeń unormowaną X nazywamy jednostajnie wypukłą, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje
δ >

0 taka, że dla dowolnych elementów x, y ∈ X:

jeśli kxk ¬ 1, kyk ¬ 1, kx − yk ε, to

+ y

¬ 1 − δ.

Równoważnie, możemy powiedzieć, że przestrzeń unormowana X jest jednostajnie wy-

pukła, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla dowolnych elementów x, y ∈ X:

jeśli kxk = 1, kyk = 1, kx − yk = ε, to

+ y

¬ 1 − δ.

Jeszcze inny, równoważny (ćwiczenie), warunek jednostajnej wypukłości: dla dowolnych

ograniczonych ciągów (x

) i (y

) w X:

jeśli lim

→∞

2(kx

+ ky

) − kx

+ y

= 0, to lim

→∞

− y

k = 0.

Moduł wypukłości

W dowolnej przestrzeni unormowanej X, dla ε > 0 możemy określić δ

(ε) 0 w następu-

jący sposób:

(ε) := 1 − sup

kx + yk

: kxk ¬ 1, kyk ¬ 1, kx − yk ε

= 1 − sup

kx + yk

: kxk = kyk = 1, kx − yk = ε

= inf

1 −

+ y

: kxk = kyk = 1, kx − yk = ε

Tak określoną funkcję δ

nazywamy modułem wypukłości przestrzeni X. Przestrzeń X jest

jednostajnie wypukła, jeśli δ

(ε) > 0 dla ε > 0.

Łatwo sprawdzić, że przestrzeń jednostajnie wypukła jest ściśle wypukła. Istnieją prze-

strzenie ściśle wypukłe, które nie są jednostajnie wypukłe. Jednak w przestrzeniach skoń-
czenie wymiarowych obie definicje są równoważne.

Przestrzeń unitarna jest przestrzenią jednostajnie wypukłą. Można łatwo wykazać, że

dla przestrzeni unitarnej H moduł wypukłości wyraża sie wzorem

(ε) = 1 −

1 −

Przestrzenie unitarne są „najbardziej jednostajnie wypukłymi” przestrzeniami. Wykazuje
się, że dla dowolnej przestrzeni unormowanej X (o wymiarze nie mniejszym niż 2) mamy

(ε) ¬ δ

(ε),

ε >

Istnieją jednak przestrzenie jednostajnie wypukłe, w których norma nie pochodzi od iloczy-
nu skalarnego (takimi są np. przestrzenie l

z 1 < p < ∞, p 6= 2). Uogólnieniem twierdze-

nia 3.19 jest następujące (zob. np. [2], twierdzenie III.16.1 lub [15] str. 31) twierdzenie:

4.19 Twierdzenie (Clarksona–Milmana)

Jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jest refleksywna.

4.3. ZMIANA NORMY

Moduł gładkości

W przestrzeni unormowanej X możemy też określić moduł gładkości:

(τ) := sup

kx + τyk + kx − τyk

− 1 : kxk = kyk = 1

Jeśli lim

→0

(τ )

= 0, to mówimy, że przestrzeń X jest jednostajnie gładka.

Podobnie, jak w twierdzeniu Clarksona–Milmana, można wykazać, że każda jednostajnie

gładka przestrzeń Banacha jest refleksywna. Zachodzi też dualność pomiędzy jednostajną
gładkością i jednostajną wypukłością: przestrzeń X jest jednostajnie wypukła wtedy i tylko
wtedy, gdy X

∗

jest jednostajnie gładka. Prawdziwy jest bowiem wzór (zob. [15], str. 32)

łączący moduły wypukłości i gładkości, odpowiednio, w przestrzeniach X i X

∗

(τ) = sup

τ ε

2 −

(ε) : ε ∈ [0, 2]

Moduł gładkości dla dowolnej przestrzeni unitarnej H wyraża się wzorem:

(τ) =

1 + τ

− 1.

Podobnie jak to stwierdziliśmy wcześniej dla jednostajnej wypukłości, przestrzenie unitarne
są „najbardziej jednostajnie gładkimi” przestrzeniami. Można pokazać, że dla dowolnej
przestrzeni unormowanej X (o wymiarze nie mniejszym niż 2) mamy

(τ)  ρ

(τ).

4.3 Zmiana normy

Ponieważ łatwiej jest badać przestrzenie unormowane, w których norma ma pewne dobre
geometryczne własności, pytamy o możliwość zmiany normy (renormingu). Chcielibyśmy
wiedzieć, w których przestrzeniach możliwe jest określenie równoważnej normy, z którą
rozważana przestrzeń jest ściśle wypukła, gładka, jednostajnie wypukła czy jednostajnie
gładka. A przy tym na ile to możliwe, aby z tą nowa normą moduły wypukłości i gładkości
były jak najlepsze.

Niech X będzie daną przestrzenią unormowaną i niech Y będzie przestrzenią unormo-

waną, ściśle wypukłą. Przypuśćmy, że T : X → Y jest operatorem liniowym, ciągłym i

injektywnym. Określmy:

k|xk| := kxk + kT xk,

∈ X.

Można sprawdzić, że k| · k| jest normą w X, równoważną wyjściowej i ściśle wypukłą. Po-

nadto, jeśli Y jest jednostajnie wypukła, a T jest izomorfizmem, to norma k|·k| jest również

jednostajnie wypukła. Korzystając z pierwszego faktu wykażemy poniższe twierdzenie.

4.20 Twierdzenie

W każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha można określić równoważną normę, która jest
ściśle wypukła.

Dowód:

Niech X będzie ośrodkową przestrzenią Banacha. Ustalmy dowolny zbiór {x

}

przeliczalny i gęsty na sferze jednostkowej. Z twierdzenia 3.1 (o wydobywaniu normy) dla
każdego n istnieje x

∗

∈ X

∗

, kx

∗

k = 1 taki, że x

∗

) = kx

k = 1. Zdefiniujmy operator

: X → l

(x) :=

∞

−n

∗

(x)e

∈ X

ROZDZIAŁ 4. GEOMETRYCZNE WŁASNOŚCI NORMY

gdzie e

= (δ

)

∞
i

∈ l

jest elementem bazy Schaudera w l

. Do zakończenia dowodu

pozostaje sprawdzić, że T jest operatorem liniowym, ciągłym i injektywnym, a następnie
definiując k|x|k := kxk

+ kT xk

otrzymać normę równoważną i ściśle wypukłą.

Pokazuje się, że w każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha można określić równoważną

normę, która jest gładka, a nawet taką, która jest jednocześnie ściśle wypukła i gładka.

Istnieją takie przestrzenie Banacha (nieośrodkowe) w których nie da się określić równo-

ważnych, ściśle wypukłych bądź gładkich, norm.

Jeśli szukamy równoważnej normy jednostajnie wypukłej bądź jednostajnie gładkiej,

to wyjściowa przestrzeń Banacha musi być refleksywna. Jednakże nie każda refleksywna
przestrzeń Banacha dopuszcza istnienie równoważnej normy jednostajnie wypukłej lub jed-
nostajnie gładkiej. Przestrzenie, w których to jest możliwe określa sie jako super-refleksywne.

Literatura — wybrane pozycje

[1] J. Acz´el, J. Dhombres, Functional Equations in Several Variables, Cambridge Univer-

sity Press, 1989.

[2] A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, Monografie Matematyczne t.40, PWN Warszawa,

1969.

[3] R. Badora, J. Chmieliński, Decomposition of mappings approximately inner product

preserving

, Nonlinear Anal., 62 (2005), 1015–1023.

[4] S. Banach, Oeuvres, vol.I,II, PWN, Warszawa, 1967.

[5] E. Bishop, R.R. Phelps, A proof that every Banach space is subreflexive, Bull. Amer.

Math. Soc. 67 (1961), 97–98.

[6] J. Chmieliński Analiza funkcjonalna. Notatki do wykładu (2. wydanie), WN AP Kra-

ków, 2004.

[7] J. Chmieliński, On a singular case in the Hyers–Ulam–Rassias stability of the Wigner

equation

, J. Math. Anal. Appl. 289 (2004), 571–583.

[8] J. Chmieliński, Stability of the orthogonality preserving property in finite-dimensional

inner product spaces

, J. Math. Anal. Appl. (2006).

[9] M. M. Day, Normed linear spaces, Academic Press Inc. Publishers, New York, 1973.

[10] J.R. Giles, Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces, Australian Mathe-

matical Society Lecture Series 13, University Press, Cambridge, 2000.

[11] R. Ger, On a characterization of strictly convex spaces, Atti Acad. Sci. Torino Cl. Sci.

Fis. Mat. Natur. 127 (1993), 131–138.

[12] R. Ger, Fischer-Musz´ely additivity on Abelian groups, Commentationes Math. (2004)

(tomus specialis in honorem Iuliani Musielak), 83–96.

[13] M. Gy˝ory, A new proof of Wigner’s theorem, Rep. Math. Phys. 54 (2004), 159–167.

[14] D.H. Hyers, S.M. Ulam, On approximate isometries, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945),

288–292.

[15] W.B. Johnson, J. Lindenstrauss (red.), Handbook of the Geometry of Banach Spaces

(vol. 1,2), Elsevier, 2001.

[16] M. Kuczma, An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities,

PWN – Uniwersytet Śląski, Warszawa–Kraków–Katowice, 1985.

[17] R.D. Mauldin (red.), The Scottish Book, Mathematics from the Scottish Caf´e,

Birkh¨auser Verlag, Boston 1981.

LITERATURA — WYBRANE POZYCJE

[18] J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa, 1976.

[19] M. Omladiˇc, P. ˇSemrl, On non linear perturbations of isometries, Math. Ann. 303

(1995), 617–628.

[20] J. R¨atz, On Wigner’s theorem: Remarks, complements, comments, and corollaries,

Aequationes Math. 52(1996), 1–9.

[21] Th.M. Rassias, C.S. Sharma, Properties of isometries, J. Natural Geometry 3(1993),

1–38.

[22] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw–Hill, New York, 1973.

[23] H. H. Schaefer, Topological Vector Spaces, Graduate Texts in Mathematics, Springer-

Verlag, New York–Heidelberg–Berlin 1970.

[24] C.S. Sharma, D.F. Almeida, The first mathematical proof of Wigner’s theorem, J. Na-

tural Geometry 2(1992), 113–124.

[25] J. V¨ais¨al¨a, A proof of the Mazur-Ulam theorem, Amer. Math. Monthly 110 (2003),

633–635.

[26] A. Vogt, Maps which preserve equality of distance, Studia Math. 45 (1973), 43–48.

[27] E.P. Wigner, Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atom-

spektren

, Vieweg, Braunschweig, 1931.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Analiza matematyczna Wykłady, GRANICE FUNKCJI
Analiza matematyczna. Wykłady GRANICE FUNKCJI
ANALIZA FUNKCJONALNA PACJENTA wykład 1 23, FIZJOTERAPIA, Diagnostyka funkcjonalna
Analiza Funkcjonalna II Wykład
Analiza matematyczna Wykłady, POCHODNE FUNKCJI
Lemańczyk M Analiza funkcjonalna Wykłady
Analiza matematyczna. Wykłady CIAGLOSC FUNKCJI
Analiza Funkcjonalna II Wykład
WYKLAD ANALIZA MATEMATYCZNA
analiza funkcjonalna kolokwium
Elementy analizy funkcjonalnej 1
Wykład analiza do zal 5
wyklad Mes funkcje ksztaltu, Budownictwo, Semestr V, Budownictwo komunikacyjne 1, most5
FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA, FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
Analiza funkcji dyskryminacyjnej - Opis, Psychologia, Statystyka, psychometria
Elementy analizy funkcjonalnej 2
AnaLIZA STATYSTYCZNA 8 wykład2, ANALIZA STATYSTYCZNA

więcej podobnych podstron