5. Elementy liniowe układów automatyki.

5.1. Podstawowe elementy liniowe układów automatyki.

Elementy liniowe klasyfikuje się najczęściej ze względu na ich własności dynamiczne. Wyróżniamy następujące grupy elementów podstawowych:

5.1.1. Elementy bezinercyjne (proporcjonalne)

5.1.2. Elementy całkowe

5.1.3. Elementy różniczkujące

5.1.4. Elementy inercyjne pierwszego rzędu (jednoinercyjne)

5.1.5. Elementy oscylacyjne

5.1.6. Elementy inercyjne wyższych rzędów (wieloinercyjne)

5.1.7. Elementy opóźniające

Własności statyczne wszystkich elementów określać można przez podanie równania i wykresu charakterystyki statycznej y=f(x), a własności dynamiczne przez podanie równania różniczkowego i odpowiadającej mu transmitancji operatorowej oraz wykresu odpowiedzi y(t) na wymuszenie skokowe.

5.1.1. Element bezinercyjny.

Element bezinercyjny charakteryzuje się tym, że w każdej chwili jego sygnał wyjściowy Y(s) jest proporcjonalny do sygnału wejściowego X(s).

Ogólna postać równania elementu bezinercyjnego jest następująca:

(5.1)

gdzie: Y - wielkość wyjściowa, X - wielkość wejściowa,

k - współczynnik proporcjonalności (wzmocnienia).

(5.2)

(5.3)

Transmitancja elementu bezinercyjnego jest równa współczynnikowi proporcjonalności:

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

Odpowiedź jednostkowa:

(5.9)

Wykres odpowiedzi jednostkowej elementu proporcjonalnego:

Rys.5.1. Odpowiedź jednostkowa elementu proporcjonalnego.

(5.10)

(5.11)

(5.12)

(5.13)

Odpowiedź impulsowa:

(5.14)

Wykres odpowiedzi impulsowej elementu proporcjonalnego:

Rys.5.2. Odpowiedź impulsowa elementu proporcjonalnego.

Transmitancja widmowa:

(5.15)

(5.16)

(5.17)

(5.18)

Rys.5.3. Charakterystyki członu proporcjonalnego.

Charakterystyka amplitudowa:

(5.19)

(5.20)

Rys.5.4. Charakterystyka amplitudowa.

Charakterystyka fazowa:

(5.21)

(5.22)

Rys.5.5. Charakterystyka fazowa.

Rys.5.6. Oznaczenie elementu proporcjonalnego stosowane na schematach blokowych.

Przykłady elementów proporcjonalnych.

Przykład 1. Dźwignia.

Rys.5.7. Dźwignia dwustronna.

Jeżeli sygnał wejściowy F_x i wyjściowy F_y są siłami, to:

(5.23)

(5.24)

Przykład 2. Dźwignia.

Rys.5.8. Dźwignia jednostronna.

Jeżeli sygnał wejściowy F_x i wyjściowy F_y są siłami, to:

(5.25)

(5.26)

Dźwignia jest elementem proporcjonalnym o współczynniku wzmocnienia k.

Przykład 3. Czwórnik rezystancyjny.

Rys.5.9. Czwórnik rezystancyjny.

W pokazanym na schemacie nieobciążalnym czwórniku rezystancyjnym między napięciem wyjściowym U₂, a napięciem wejściowym U₁ występuje związek:

(5.27)

(5.28)

Przy założeniu stałych wartości rezystancji czwórnik jest elementem proporcjonalnym o współczynniku wzmocnienia k.

Przykład 4. Idealny wzmacniacz elektroniczny.

Rys.5.10. Układ i charakterystyka wzmacniacza elektronicznego

W zakresie prostoliniowej części charakterystyki (odcinek A'0A) wzmacniacza elektronicznego, przechodzącej przez środek układu współrzędnych, wzmacniacz idealny można traktować jako element proporcjonalny o współczynniku wzmocnienia k=tg

Przykład 5. Przekładnia zębata.

Rys.5.11. Przekładnia zębata: z₁, z₂ - ilość zębów kół zębatych;

n₁, n₂ - prędkości obrotowe (ilość obrotów w jednostce czasu)

(5.29)

(5.30)

Przekładnia zębata jest elementem proporcjonalnym o współczynniku wzmocnienia k.

Przykład 6. Dynamometr sprężynowy.

Rys.5.12. Schemat dynamometru sprężynowego: F -siła,

*l - zmiana długości sprężyny, k_spr - stała sprężyny

Jeżeli sprężyna jest idealna to masę można pominąć i wtedy zmiana jej długości jest proporcjonalna do siły.

przy F=0 (5.31)

(5.32)

Omawiany dynamometr jest członem proporcjonalnym, którego współczynnik wzmocnienia jest równy stałej sprężyny k_spr.

5.1.2. Elementy całkujące

5.1.2.a. Element całkujący idealny

Ogólna postać równania różniczkowego elementu całkującego jest następująca:

(5.33)

W elemencie całkującym idealnym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do całki sygnału wejściowego:

(5.34)

(5.35)

(5.36)

Stąd (przy zerowym warunku początkowym) znajdujemy transmitancję operatorową:

(5.37)

Odpowiedź jednostkowa:

(5.38)

Rys.5.13. Odpowiedź jednostkowa elementu całkującego idealnego.

Rys.5.14. Oznaczenie członu całkującego idealnego.

Odpowiedź impulsowa:

(5.39)

Rys.5.15. Odpowiedź impulsowa elementu całkującego idealnego.

Transmitancja widmowa ma postać:

(5.40)

(5.41)

stąd:

(5.42)

Moduł transmitancji widmowej

(5.43)

(5.44)

 kąt fazowy

(5.45)

(5.46)

a)

b)

c)

Rys.5.16. Charakterystyki elementu całkującego idealnego:

a)amplitudowo-fazowa, b)amplitudowa, c)fazowa.

Przykład 1. Kondensator idealny.

Rys.5.17. Schemat obwodu z kondensatorem idealnym: I(t) - sygnał wejściowy, U(t) - sygnał wyjściowy.

Jeżeli w obwodzie z kondensatorem pominiemy rezystancję i indukcyjności przewodów i założymy, że kondensator jest idealny, to wtedy zależność między prądem dopływającym do kondensatora a napięciem U na jego okładkach jest:

(5.47)

Kondensator idealny jest elementem całkującym o transmitancji:

(5.48)

Przykład 2. Układ napędowy pozycyjny.

Rys.5.18. Schemat układu napędowego pozycyjnego

Układ napędowy składa się z obcowzbudnego silnika elektrycznego prądu stałego, przekładki i mechanizmu napędowego.

Pomijając wpływ napędu na dynamikę wypadkowego biegunowego momentu bezwładności oraz nie uwzględniając elektromagnetycznych stanów przejściowych w silniku, prędkość kątowa _p(t) na wale wyjściowym przekładni jest proporcjonalna do siły elektromotorycznej:

(5.49)

Zakładając, że siła elektromotoryczna E(t) równa jest w przybliżeniu napięciu U(t) na zaciskach silnika, pomijając spadki napięcia w obwodzie twornika, to:

(5.50)

k=const - współczynnik proporcjonalności

Pomijając wpływ bezwładności mechanicznej otrzymujemy:

(5.51)

  położenie kątowe wału wyjściowego przekładni

(5.52)

U(t) - sygnał wejściowy - napięcie zasilające silnik,

(t) - sygnał wyjściowy - położenie kątowe wału wyjściowego przekładni

Transmitancja układu wynosi:

(5.53)

Rozważany napęd pozycyjny jest, przy założeniach upraszczających, elementem całkującym idealnym.

Przykład 3. Zbiornik cieczy.

Rys.5.19. Zbiornik cieczy: g(t) - sygnał wejściowy - objętość cieczy dopływająca w jednostce czasu, h(t) - sygnał wyjściowy - poziom cieczy, A = const. - pole przekroju zbiornika

Do zbiornika dopływa na jednostkę czasu objętość cieczy równa g(t). Objętość cieczy V(t) w zbiorniku zmienia się zgodnie z równaniem:

(5.54)

a poziom cieczy w zbiorniku

(5.55)

(5.56)

Transmitancja wynosi:

(5.57)

Zbiornik z cieczą jest idealnym elementem całkującym.

Przykład 4. Serwomotor hydrauliczny.

Rys.5.20. Serwomotor hydrauliczny.

Olej pod stałym ciśnieniem jest wtłaczany do przestrzeni między tłokami Tł₁ i Tł₂. Jeżeli zespół tłoków zostanie przesunięty o odcinek l₁(t) w dół, to do siłownika hydraulicznego z tłokiem Tł₃ będzie dopływał olej powodując jego ruch (w kierunku przeciwnym do tego, w jakim nastąpiło przesunięcie tłoków Tł₁ i Tł₂). Pomijając opory przepływu oleju, opór tarcia przy ruchu tłoka Tł₃ oraz masę tego tłoka i masę oleju, można w przybliżeniu przyjąć, że w jednostce czasu dopływa do siłownika ilość oleju równa:

(5.58)

a prędkość v(t) ruchu tłoka Tł₃ jest

(5.59)

k₁,k₂ - współczynniki stałe

Położenie l₂(t)tłoka Tł₃ powinno spełniać równanie

(5.60)

lub
(5.61)

l₁(t) - sygnał wejściowy - przesunięcie zespołu tłoków Tł₁ i Tł₂

l₂(t) - sygnał wyjściowy - położenie tłoka Tł₃

Transmitancja:

(5.62)

Serwomotor jest elementem całkującym idealnym.

Nowoczesne metody prezentacji wiedzy w dydaktyce automatyki

Str.126

Elementy liniowe układów automatyki

---