ANALIZA
SZEREGÓW
CZASOWYCH

Analiza szeregów
czasowych

polega na określeniu i wyodrębnieniu z szeregu

występujących w nim prawidłowości, tendencji
oraz na oddzieleniu ich od niesystematycznych,
przypadkowych

wahań.

W

szeregach

czasowych wyróżnia się zatem dwie składowe:



składową systematyczną, będącą efektem
oddziaływań stałego zestawu czynników na
szereg czasowy oraz



składową

przypadkową

(zwaną

często

składnikiem

losowym

lub

wahaniami

przypadkowymi).

Składowa systematyczna
szeregu

może mieć postać jednego lub złożenia

kilku spośród elementów:



tendencji rozwojowej (trendu),



stałego (przeciętnego) poziomu szeregu,



składowej okresowej (składowej
periodycznej), która występuje w postaci
wahań cyklicznych lub sezonowych.

Zatem rozwój zjawiska w czasie może być
wynikiem nakładania się na siebie
następujących czynników:



trend – długookresowa skłonność do jednokierunkowych

zmian (wzrostu lub spadku) wartości badanej zmiennej, jest

rozpatrywany jako konsekwencja działania stałego zestawu

czynników, takich jak np. w przypadku sprzedaży – wzrostu

liczby potencjalnych klientów, zmian w technologii czy

preferencjach konsumentów,



wahania sezonowe – regularne odchylenia od ustalonego

poziomu lub od linii trendu, mające skłonność do

powtarzania się w określonym czasie, nie przekraczającym

jednego

roku,

odzwierciedlają

wpływ

pogody

lub

"kalendarza" na działalność gospodarczą,



wahania

cykliczne

wyrażają

się

w

postaci

długookresowych, rytmicznych wahań wartości zmiennej

wokół tendencji rozwojowej lub stałego (przeciętnego)

poziomu tej zmiennej, w ekonomii są one na ogół związane

z cyklem koniunkturalnym,



wahania przypadkowe – wszystkie zmiany o charakterze

nieregularnym z punktu widzenia przebiegu szeregu.



Identyfikację poszczególnych
składowych szeregu czasowego
konkretnej zmiennej umożliwia - w wielu
przypadkach - ocena wzrokowa
sporządzonego wykresu. Wykres
szeregu czasowego umożliwia ponadto
wykrycie obserwacji nietypowych oraz
punktów zwrotnych.

Szereg czasowy bez
składowej systematycznej

charakteryzuje się zazwyczaj nieregularnym

oscylowaniem wartości zjawiska wokół

pewnego

stałego

poziomu.

Nie

obserwujemy tu systematycznych zmian w

czasie ani regularnych odchyleń, mają

miejsce wyłącznie odchylenia przypadkowe.

Nie można przewidzieć losowych wahań

szeregu.

Dobrą metodą określenia przewidywanej

wartość zjawiska jest wyznaczenie średniej

arytmetycznej z wartości zaobserwowanych

w przeszłości.

Liczba sprzedanych samochodów
marki OPEL w Łodzi w kolejnych
tygodniach

Nr tygodnia

Liczba sprzedawanych samochodów w

szt.

1

15

2

17

3

19

4

16

5

15

6

11

7

18

8

14

9

16

10

9

Razem

150

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nr tygodnia

L

ic

zb

a

s

p

rz

e

d

a

n

yc

h

s

a

m

o

c

h

o

d

ó

w

w

s

zt

.

Szereg czasowy z trendem



jest to szereg, w którym obserwujemy
systematyczne zmiany w czasie o
stałym charakterze (trend) oraz
towarzyszące im zmiany przypadkowe.

0

5

10

15

20

25

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

y

wygładzanie szeregu



Wyodrębnienie trendu wiąże się z tzw.
wygładzaniem szeregu. Jest to także
często pierwszy krok w analizie szeregu
czasowego z większą liczbą składowych.
Szereg

wygładzony

pozwala

obserwować dane z pominięciem wahań
krótkookresowych, zwłaszcza wahań
przypadkowych i sezonowych.

Metody wygładzania



Najczęściej stosowane metody
wygładzania szeregu czasowego to:



mechaniczna - średnia ruchoma,



analityczna - funkcja trendu – prosty
model regresyjny, w którym zmienną
niezależną jest czas.



Najprostszą z metod wygładzania
mechanicznego jest średnia ruchoma,
czyli krocząca. Jest to średnia
arytmetyczna wyznaczona z k kolejnych
elementów szeregu, zazwyczaj
bezpośrednio poprzedzających moment
obserwacji t (t>k):











1

1

t

k

t

i

i

t

y

k

y

średnia krocząca 15-okresowa

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

2

4

4

7

7

0

9

3

1

1

6

1

3

9

1

6

2

1

8

5

2

0

8

2

3

1

2

5

4

2

7

7

3

0

0

3

2

3

3

4

6

3

6

9

3

9

2

4

1

5

4

3

8

4

6

1

4

8

4

5

0

7

5

3

0

5

5

3

5

7

6

5

9

9

6

2

2

6

4

5

Czas

W

a

rt

o

ś

c

k

u

rs

u

średnia
kurs akcji



Średnia

ruchoma

może

być

wykorzystywana także jako prosta metoda

prognozowania

przyszłych

wartości

szeregu czasowego. Przy jej użyciu

przewiduje się, że wartość yt w momencie

t

będzie

równa

wartości

średniej

ruchomej . Jest to metoda prognozowania

skuteczna dla niektórych szeregów, jednak

wadą średniej ruchomej (zwłaszcza dla

dużego k, np. k=15) jest przypisywanie

takiego samego znaczenia obserwacjom

odległym i najnowszym.



W celu uwzględnienia postulatu
większego wpływu na średnią
obserwacji najnowszych stosuje się tzw.
średnią ważoną liniowo, która jest
następującej postaci:

















1

1

t

k

t

i

k

t

i

i

t

w

y

y

1

...

0

2

1











k

w

w

w







k

i

i

w

1

1

Obliczanie średniej ważonej
i prostej

Nr

obserwacj
e

wagi wagi wagi średnia ważona

suma Prosta średnia

1

2

0,2

2

3

0,3

0,2

3,8

10

3,33

3

5

0,5

0,3

0,2

5,6

15

5,00

4

7

0,2

0,5

0,3

4,6

15

5,00

5

3

0,3

0,2

0,5

4,3

14

4,67

6

4

0,5

0,3

0,2

6,3

16

5,33

7

9

0,2

0,5

0,3

4,5

15

5,00

8

2

0,3

0,2

0,5

3,9

14

4,67

9

3

0,5

0,3

0,2

3,8

10

3,33

10

5

0,2

0,5

0,3

3,6

11

3,67

11

3

0,3

0,2

0,5

3,9

12

4,00

12

4

0,5

0,3

0,2

5,8

15

5,00

13

8

0,5

0,3

4,2

14

4,67

14

2

0,5

4,33

Porównanie średnich kroczących

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Czas

W

a

rt

o

ś

ć

z

m

ie

n

n

e

j

średnia ważona

wartości empiryczne

średnia prosta

średnia wykładnicza



którą stosuje się szczególnie w
przypadku zmiennych, których wartości
podlegają częstym, gwałtownym i
przypadkowym wahaniom.

1

1

)

1

(











t

t

t

y

y

y





1

1

1











t

t

t

y

y

q

1

1









t

t

t

q

y

y





Podstawowym problemem w przypadku
stosowania średnich wykładniczych jest
ustalenie wartości parametru
wygładzania. Dokonuje się tego
zazwyczaj eksperymentalnie, tj.
przyjmując różne wartości



sprawdzając, która z nich daje najlepsze
efekty (np. najmniejszy błąd prognozy).

Obliczanie średniej
wykładniczej dla =0,5

Nr

obserwacje

y

t

średnia prosta

odchylenie

q

t-1

średnia

wykładnicza

1

31

2

32

32,33

-0,33

3

34

34,00

0,00

31,83

4

36

34,00

2,00

34,00

5

32

33,67

-1,67

37,00

6

33

34,33

-1,33

31,17

7

38

34,00

4,00

32,33

8

31

33,67

-2,67

40,00

9

32

32,33

-0,33

29,67

10

34

32,67

1,33

31,83

11

32

33,00

-1,00

34,67

12

33

34,00

-1,00

31,50

13

37

33,67

3,33

32,50

14

31

38,67

Porównanie średniej prostej i wykładniczej

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Czas

w

a

rt

o

ś

c

i

z

m

ie

n

n

e

j

średnia prosta

odchylenie

średnia wykładnicza

wartości empiryczne

Przykłady średnich
wykładniczych dla różnych
parametrów wygładzania

Modele trendu



są modelami regresji, w których rolę zmiennej

niezależnej pełni zmienna czasowa, czyli:

t

t

t

f

y







)

(

W zależności od postaci analitycznej funkcji f wyróżniamy
różne rodzaje trendu. Do najczęściej wykorzystywanych
należy funkcja liniowa, wykładnicza, potęgowa i wielomian
stopnia drugiego .

Trend liniowy można zapisać
jako:



w którym parametr 

1

wyraża stały przyrost z

okresu na okres wartości zmiennej
objaśnianej. W celu wykorzystania modelu
trendu do prognozowania należy w pierwszym
kroku oszacować za pomocą MNK parametry
tego modelu na podstawie szeregu
czasowego obejmującego dane z przeszłości,
czyli:

t

t

t

y













1

0

t

a

a

y

t

1

0

ˆ





Przykład



Ceny pewnego produktu zmieniały się w ciągu
roku, a ich poziom w kolejnych miesiącach
1997 roku był następujący:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y

t

30

31

33

33

32

34

33

34

35

36

36

37

Za pomocą liniowej funkcji trendu oszacuj ceny, jakich należy
się spodziewać.

Szeregi czasowe ze
składnikiem sezonowym



Szereg czasowy ze składnikiem
sezonowym (bez trendu) jest to
szereg, w którym występują zmiany w
czasie w postaci wahań sezonowych,
związane z cyklem rocznym,
tygodniowym, czasem miesięcznym itp.,
następujące wokół stałego poziomu
średniego zjawiska.

Przykład szeregu czasowego z
rocznymi wahaniami
sezonowymi.

0,0E+00

5,0E+07

1,0E+08

1,5E+08

2,0E+08

2,5E+08

3,0E+08

3,5E+08

st

y-

9

8

lu

t-

9

8

m

a

r-

9

8

kw

i-

9

8

m

a

j-

9

8

cz

e

-9

8

li

p

-9

8

si

e

-9

8

w

rz

-9

8

p

a

ź-

9

8

li

s-

9

8

g

ru

-9

8

st

y-

9

9

lu

t-

9

9

m

a

r-

9

9

kw

i-

9

9

m

a

j-

9

9

cz

e

-9

9

li

p

-9

9

si

e

-9

9

w

rz

-9

9

p

a

ź-

9

9

li

s-

9

9

g

ru

-9

9

st

y-

0

0

lu

t-

0

0

m

a

r-

0

0

kw

i-

0

0

m

a

j-

0

0

cz

e

-0

0

li

p

-0

0

si

e

-0

0

w

rz

-0

0

p

a

ź-

0

0

li

s-

0

0

g

ru

-0

0

st

y-

0

1

W szeregu z wahaniami sezonowymi występują
kolejne okresy k obserwacji (sezonów) o
powtarzającym się przebiegu (z dokładnością do
wahań przypadkowych).



W przypadku takiego szeregu należy wyodrębnić wartości tzw.

wskaźników sezonowości (wskaźniki wahań okresowych),

czyli wartości k współczynników ci, i=1, ...,k, określających wpływ

i-tego sezonu na ogólną wartość szeregu. Wskaźniki te wyznacza

się jako stosunek średniej wartości szeregu w i-tym sezonie (dla

wszystkich kolejnych okresów) do średniej ogólnej szeregu:



gdzie:



jest średnią arytmetyczną wyznaczoną ze wszystkich ni

wartości szeregu, które reprezentują i-ty sezon, i=1, ..., k,



Ti – zbiór wszystkich numerów obserwacji (momentów w czasie)

reprezentujących i-ty sezon, i=1, ..., k,



– średnia arytmetyczna wszystkich wartości szeregu.

Wskaźniki sezonowości wyraża się w ułamkach lub procentach.

y

y

c

i

i









i

T

t

t

i

i

y

n

y

1







n

t

t

y

n

y

1

1

Przykład

Miesiąc

Pobór

Miesiąc

Pobór

styczeń 98

309071852

sierpień 99

183955780,5

luty 98

273171395

wrzesień 99

200431479,5

marzec 98

292342661,5

październik 99

246707880,4

kwiecień 98

237790335

listopad 99

280769012,3

maj 98

203923912,3

grudzień 99

305189752,3

czerwiec 98

186408775,7

styczeń 00

315302028,8

lipiec 98

175355381

luty 00

279768195,2

sierpień 98

194825496,2

marzec 00

286707360,6

wrzesień 98

211516599,9

kwiecień 00

219565277,8

październik 98

261640452,4

maj 00

198439116,7

listopad 98

294692366,9

czerwiec 00

189793412,4

grudzień 98

313031640,7

lipiec 00

185421361,2

styczeń 99

296295652

sierpień 00

195471272,9

luty 99

282152439

wrzesień 00

219975710,6

marzec 99

276877813

październik 00

239444130

kwiecień 99

224569205,1

listopad 00

264381672,7

maj 99

203184546,2

grudzień 00

288792049,5

czerwiec 99

185884209,6

styczeń 01

310979169,9

lipiec 99

176749136,6

Wskaźniki sezonowości

Miesiąc

Wskaźnik sezonowości

styczeń

1,26

luty

1,14

marzec

1,17

kwiecień

0,93

maj

0,83

czerwiec

0,77

lipiec

0,74

sierpień

0,79

wrzesień

0,86

październik

1,02

listopad

1,15

grudzień

1,24



Po obliczeniu wskaźników sezonowości
można wyznaczyć oczyszczone
(z wpływu sezonowości) wartości
szeregu jako:



gdzie ci jest wskaźnikiem sezonowości
odpowiadającym momentowi t.

i

t

t

c

y

y 

ˆ

Przykład

Miesiąc

y

t

c

i

Miesią

c

y

t

c

i

sty 98 30907185

2

1,26 244446343

sie 99183955781 0,79 234036025

lut 98 27317139

5

1,14 238986346

wrz 99200431480 0,86 231725290

mar 98 29234266

2

1,17 249532578

paź 99246707880 1,02 241031690

kwi 98 23779033

5

0,93 254759219

lis 99280769012 1,15 244243631

maj 98 20392391

2

0,83 246032280

gru 99305189752 1,24 245826348

cze 98 18640877

6

0,77 242289997

sty 00315302029 1,26 249373818

lip 98 17535538

1

0,74 238337251

lut 00279768195 1,14 244757613

sie 98 19482549

6

0,79 247864920

mar

00

286707361 1,17 244722499

wrz 98 21151660

0

0,86 244541154

kwi 00219565278 0,93 235233609

paź 98 26164045

2

1,02 255620697

maj

00

198439117 0,83 239414926

lis 98 29469236

7

1,15 256355689

cze 00189793412 0,77 246689273

gru 98 31303164

1

1,24 252142887

lip 00185421361 0,74 252018600

sty 99 29629565

2

1,26 234341588

sie 00195471273 0,79 248686503

lut 99 28215243

9

1,14 246843489

wrz 00219975711 0,86 254321005

mar 99 27687781

3

1,17 236332371

paź 00239444130 1,02 233935062

kwi 99 22456920

5

0,93 240594620

lis 00264381673 1,15 229988128

maj 99 20318454

6

0,83 245140242

gru 00288792050 1,24 232618214

cze 99 18588421

0

0,77 241608178

sty 01310979170 1,26 245954849

lip 99 17674913

7

0,74 240231598

t

yˆ

t

yˆ

Szereg oczyszczony ze
składowej sezonowej

0,00E+00

5,00E+07

1,00E+08

1,50E+08

2,00E+08

2,50E+08

3,00E+08

3,50E+08

st

y-

9

8

lu

t-

9

8

m

a

r-

9

8

kw

i-

9

8

m

a

j-

9

8

cz

e

-9

8

li

p

-9

8

si

e

-9

8

w

rz

-9

8

p

a

ź-

9

8

li

s-

9

8

g

ru

-9

8

st

y-

9

9

lu

t-

9

9

m

a

r-

9

9

kw

i-

9

9

m

a

j-

9

9

cz

e

-9

9

li

p

-9

9

si

e

-9

9

w

rz

-9

9

p

a

ź-

9

9

li

s-

9

9

g

ru

-9

9

st

y-

0

0

lu

t-

0

0

m

a

r-

0

0

kw

i-

0

0

m

a

j-

0

0

cz

e

-0

0

li

p

-0

0

si

e

-0

0

w

rz

-0

0

p

a

ź-

0

0

li

s-

0

0

g

ru

-0

0

st

y-

0

1

Szereg czasowy z trendem i
sezonowością



Szereg czasowy z trendem i
sezonowością jest to szereg, w którym
nakładają się na siebie składnik trendu
oraz wpływ wahań sezonowych.

Przykład szeregu czasowego z
trendem i sezonowością

40

45

50

55

60

65

70

po

nie

dz

iał

ek

wt

or

ek

śr

od

a

cz

wa

rte

k

pią

tek

po

nie

dz

iał

ek

wt

or

ek

śr

od

a

cz

wa

rte

k

pią

tek

po

nie

dz

iał

ek

wt

or

ek

śr

od

a

cz

wa

rte

k

pią

tek

po

nie

dz

iał

ek

wt

or

ek

śr

od

a

cz

wa

rte

k

pią

tek

po

nie

dz

iał

ek

wt

or

ek

dzień tygodnia

ce

n

a

Metody dekompozycji



Do analizy i prognozowania szeregu
czasowego, w którym występuje złożona
składowa systematyczna wykorzystuje
się metody dekompozycji, polegające
na wyodrębnieniu poszczególnych
czynników określających zmienność
tego zjawiska w czasie.

W procesie dekompozycji
wyróżniamy następujące
etapy:



wygładzanie szeregu czasowego, w
wyniku którego otrzymujemy szereg
wygładzony



oczyszczenie szeregu z trendu, w wyniku
którego otrzymuje się szereg wt,



wyznaczenie czynnika sezonowego, w
wyniku którego oblicza się wskaźniki
sezonowości ci,



oddzielenie

trendu

i

czynnika

sezonowego z szeregu.

t

yˆ

Rodzaj modelu

Sposób wyznaczenia czynnika sezonowego zależy

od tego, czy mamy do czynienia z sezonowością

multiplikatywną czy addytywną.



W modelu multiplikatywnym przyjmuje się, że

obserwowane wartości zmiennej prognozowanej

są iloczynem (wszystkich lub niektórych)

składowych szeregu czasowego. Model

multiplikatywny jest najczęściej używanym

modelem w dekompozycji szeregów czasowych.



W modelu addytywnym zakłada się, że

obserwowane wartości zmiennej prognozowanej

są sumą (wszystkich lub niektórych) składowych

szeregu czasowego.

Wyznaczanie wskaźników sezonowości rozpoczyna
się od obliczenia indywidualnych wskaźników
sezonowości wt, będących ciągiem wartości szeregu
uwolnionych od wpływu trendu:



w modelu z sezonowością
multiplikatywną oblicza się ilorazy:

dla

t=1,2,..,n,



dla modelu z sezonowością addytywną
wyznacza się różnice:

dla

t=1,2,..,n.

t

t

t

y

y

w

ˆ



t

t

t

y

y

w

ˆ





Surowe wskaźniki
sezonowości



Następnie wyznacza się surowe
wskaźniki sezonowości jako średnie
arytmetyczne indywidualnych
wskaźników sezonowości obliczone dla
każdego sezonu osobno, czyli ze zbioru
momentów jednoimiennych pod
względem sezonu:

s

w

c

s

j

jk

i

i









0

'

gdzie:
s- liczba jednoimiennych sezonów,
k - liczba faz wahań w cyklu.

Surowe wskaźniki
sezonowości



Surowe wskaźniki sezonowości
informują, o ile poziom zjawiska jest
wyższy lub niższy od poziomu, jaki
byłby osiągnięty, gdyby nie było wahań,
a rozwój następowałby zgodnie z
trendem.

Czyste wskaźniki
sezonowości



Czyste wskaźniki sezonowości
otrzymuje się jako iloraz surowych
wskaźników sezonowości przez średnią
arytmetyczną wszystkich wskaźników
surowych:







k

i

i

i

i

c

k

c

c

1

'

'

Suma otrzymanych wskaźników jest równa liczbie faz wahań
okresowych.

Przykład

Lp.

Data

Dzień tygodnia

Cena

1

95-10-02

poniedziałek

68,5

2

95-10-03

wtorek

65,6

3

95-10-04

środa

64,7

4

95-10-05

czwartek

65

5

95-10-06

piątek

67

6

95-10-09

poniedziałek

64,7

7

95-10-10

wtorek

57,4

8

95-10-11

środa

55,6

9

95-10-12

czwartek

54,7

10

95-10-13

piątek

57,2

11

95-10-16

poniedziałek

55,6

12

95-10-17

wtorek

51,2

13

95-10-18

środa

49,2

14

95-10-19

czwartek

49,4

15

95-10-20

piątek

52

16

95-10-23

poniedziałek

54,7

17

95-10-24

wtorek

50,7

18

95-10-25

środa

48,5

19

95-10-26

czwartek

48

20

95-10-27

piątek

51,4

21

95-10-30

poniedziałek

53

22

95-10-31

wtorek

49,9

Lp.

Data

Dzień tygodnia

Cena

średnia ruchoma 5-

okresowa

w

t

1

95-10-02

poniedziałek

68,5

2

95-10-03

wtorek

65,6

3

95-10-04

środa

64,7

4

95-10-05

czwartek

65

5

95-10-06

piątek

67

66,16

1,013

6

95-10-09

poniedziałek

64,7

65,4

0,989

7

95-10-10

wtorek

57,4

63,76

0,900

8

95-10-11

środa

55,6

61,94

0,898

9

95-10-12

czwartek

54,7

59,88

0,913

10

95-10-13

piątek

57,2

57,92

0,988

11

95-10-16

poniedziałek

55,6

56,1

0,991

12

95-10-17

wtorek

51,2

54,86

0,933

13

95-10-18

środa

49,2

53,58

0,918

14

95-10-19

czwartek

49,4

52,52

0,941

15

95-10-20

piątek

52

51,48

1,010

16

95-10-23

poniedziałek

54,7

51,3

1,066

17

95-10-24

wtorek

50,7

51,2

0,990

18

95-10-25

środa

48,5

51,06

0,950

19

95-10-26

czwartek

48

50,78

0,945

20

95-10-27

piątek

51,4

50,66

1,015

21

95-10-30

poniedziałek

53

50,32

1,053

22

95-10-31

wtorek

49,9

50,16

0,995

W kolejnej tabeli obliczamy surowe wskaźniki
sezonowości sumując dla każdego z dni tygodnia (faz w
cyklu tygodniowym) ilorazy wt. Wskaźniki sezonowości
otrzymujemy dzieląc wskaźniki surowe przez ich średnią.

dzień

liczba dni

suma w

t

surowe wskaźniki czyste wskaźniki

poniedziałek

4

4,100

1,025

1,059

wtorek

4

3,819

0,955

0,986

środa

3

2,766

0,922

0,952

czwartek

3

2,799

0,933

0,964

piątek

4

4,025

1,006

1,039

suma

4,841

5

średnia

 

0,968



Ceny są w poniedziałek wyższe od
wyznaczonych na podstawie średniej
ruchomej średnio o 5,9%, we wtorek,
środę i czwartek są niższe odpowiednio
o 1,4%, 4,8% i 3,6%, zaś w piątek są
wyższe średnio o 3,9%.

Błędy prognozy



błąd średniokwadratowy – MSE,



pierwiastek błędu średniokwadratowego
- RMSE



średnie odchylenie bezwzględne – MAD,



systematyczne odchylenie –BIAS,

Błąd średniokwadratowy –

MSE



MSE jest błędem powszechnie wykorzystywanym w

programach komputerowych. Można powiedzieć, że

błąd średniokwadratowy jest pomiarem wariancji

znanej ze statystyki. Średnia kwadratów błędu MSE

ma znaczenie pomocnicze do oceny stopnia

dopasowania. Można jednak na podstawie jej

składowych ocenić, w jakim stopniu do wysokości

tego błędu przyczynia się zły sposób odwzorowania

badanego zjawiska a w jakim zakłócenia związane

z

nieprzewidywalnym

składnikiem

losowym

modelu.

n

MSE

n

i

i

i

y

y









1

2

)

ˆ

(

Pierwiastek błędu

średniokwadratowego -
RMSE



Błąd średniokwadratowy, podobnie jak wariancja,

mianowany jest w kwadratach jednostek zmiennej

objaśnianej, a przez to nie jest wygodny do

interpretacji.

W

praktyce

preferuje

się

wykorzystanie

pierwiastka

z

błędu

średniokwadratowego, mówiącego o ile jednostek,

przeciętnie rzecz biorąc, wartości zmiennej y

odchylają się na plus lub minus od wyniku

rzeczywistego.

MSE

n

RMSE

n

i

i

i

y

y









1

2

)

ˆ

(

Średnie odchylenie

bezwzględne – MAD



Średnie odchylenie bezwzględne podobnie jak

błąd średniokwadratowy jest wyliczany przez

programy komputerowe. We wzorze, brana jest

pod uwagę wartość bezwzględna odejmowania

prognozy od wyniku rzeczywistego. MAD jest

popularny w praktyce, gdyż można go policzyć

bez uciekania się do żmudnych rachunków. MAD

jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych

odchyleń

wartości

cechy

od

średniej

arytmetycznej. Określa o ile jednostki danej

zbiorowości różnią się średnio, ze względu na

wartość cechy, od średniej arytmetycznej.

n

MAD

n

i

i

i

y

y









1

ˆ

Systematyczne odchylenie –

BIAS



BIAS wskazuje wielkość błędu systematycznego.
W jego wzorze, w liczniku następuje odejmowanie
wartości prognozy od wyniku rzeczywistego. Gdy
jego wartość jest dodatnia, prognozy są zaniżone
względem wyników rzeczywistych, gdy jest
ujemny, prognozy są zawyżone.





n

BIAS

n

i

i

i

y

y









1

ˆ