Systemy Liczbowe

Systemy Liczbowe

Podstawa p

System liczbowy

Cyfry używane w systemie

liczbowym

2

Dwójkowy

0, 1

3

Trójkowy

0, 1, 2

8

Ósemkowy

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

10

Dziesiętny

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

16

Szesnastkowy

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,
C, D, E, F

























1

0

0

0

1

1

2

2

1

1

...

n

i

i

i

n

n

n

n

p

a

p

a

p

a

p

a

p

a

lub w skróconej postaci:

lub w skróconej postaci:





p

n

n

a

a

a

a

0

1

2

1

...





gdzie:
p – podstawa systemu, którą jest liczbą
całkowitą dodatnią,
n – numer pozycji
a

i

– cyfry z zakresu od 0 do p – 1.

Algorytm zamiany liczby binarnej z systemu dwójkowego na

system dziesiętny:

(c

i

... c

1

c

0

,c

-1

c

-2

…c

-j

)

(nb)

=c

i

*2

i

+...+

c

1

*2

1

+c

0

*2

0

+c

-1

*2

-1

+c

-2

*2

-2

+…+c

-j

*2

-

j

= n

(10)

Przykład 1 

110011

2

= 1* 2

5

+ 1* 2

4

+ 0* 2

3

+ 0* 2

2

+ 1* 2

1

+

1* 2

0

= 32+16+2+1= 51

10

1001,1101

2

=(1 x 2

3

)+(0 x 2

2

)+(0 x 2

1

)+(1 x

2

0

)+(1 x 2

-1

) +(1 x 2

-

2

)+(0 x 2

-3

)+(1 x 2

-4

) =

8+1+0,5+0,25+0,0625=9,8125

10

Algorytm zamiany liczby naturalnej z systemu
dziesiętnego na system dwójkowy:

Przykład 1

N

10

=

83

83 : 2

=41 reszta

1 c

0

41 : 2

=20

1 c

1

20 : 2

=10

0 c

2

10 : 2

=5

0 c

3

5 : 2

=2

1 c

4

2 : 2

=1

0 c

5

1 : 2

=0

1 c

6

Ostatecznie otrzymujemy:
83

(10)

=1010011

(NB)

Przykład 2

N

10

= 9,8125

9 : 2 = 4 reszta

1 (LSB)

c

0

4 : 2 = 2

0

c

1

2 : 2 = 1

0

c

2

1 : 2 = 0

1 (MSB)

c

3

0,8125 x 2 = 1,625 0,625 nadmiar

1

(MSB)

c

-1

0,6250 x 2 = 1,250 0,25

1

c

-2

0,2500 x 2 = 0,500

0

c

-3

0,5000 x 2 = 1,000 0,0

1 (LSB)

c

-4

Ostatecznie otrzymujemy:
9,8125

10

= 1001,1101

2

Przykład 3

N

10

= 12,33

12 : 2 = 6 reszta

0 (LSB)

c

0

6 : 2 = 3

0

c

1

3 : 2 = 1

1

c

2

1 : 2 = 0

1 (MSB)

c

3

0,33 x 2 = 0,66

0 (MSB)

c

-1

0,66 x 2 = 1,32

0,32 nadmiar

1

c

-2

0,32 x 2 = 0,64

0

c

-3

0,64 x 2 = 1,28

0,28

1

c

-4

0,28 x 2 = 0,56

0

c

-5

0,56 x 2 = 1,12

0,12

1

c

-6

0,12 x 2 = 0,24

0

c

-7

0,24 x 2 = 0,48

0

c

-8

0,48 x 2 = 0,96

0

c

-9

0,96 x 2 = 1,92

0,92

1 (LSB)

c

-10

Ostatecznie otrzymujemy:
12,33

10

= 1100,0101010001

2

.

Algorytm zamiany liczby szesnastkowej na liczbę z systemu

dziesiętnego:

Niech liczba wyrażona w systemie szesnastkowym ma postać:

F3A,C8

16

Równoważną jej liczbą dziesiętną jest liczba o postaci:.

(15 x 16

2

) + (3 x 16

1

) + (10 x 16

0

) + (12 x 16

-1

) + (8 x 16

-2

) =

3898,78125

10

Konwersji dziesiętno - szesnastkowej można dokonać na drodze
wielokrotnego dzielenia na 16 części całkowitej oraz mnożenia
przez 16 części ułamkowej przetwarzanej liczby dziesiętnej

Algorytm zamiany liczby naturalnej z systemu
dziesiętnego na system szesnastkowy:

Przykład 1

N

10

=

3898

3898 : 16 =243

reszta

10=A

c

0

243 : 16=15

3=3 c

1

15 : 16=0

15=F c

2

Ostatecznie otrzymujemy:
3898

(10)

=F3A

(16)

Przykład 2

N10 = 2,33
2 : 16 = 0 reszta

2 c0

0,33 x 16 = 5,28

5

c-1

0,28 x 16 = 4,48

4

c-2

0,48 x 16 = 7,68

7

c-3

0,68 x 16 = 10,88

10=A

c-4
0,88 x 16 = 14,08

14=E

c-5
Ostatecznie otrzymujemy:
2,3310 = 2,547AE

16

Algebra Boole’a

.

KODY

Kodem

nazywamy

reguły

uporządkowujące

poszczególne

kombinacje zmiennych. Parametry określające kod to:
długość m – jest to liczba bitów informacji albo liczba zmiennych,
pojemność P – jest to liczba kombinacji wartości zmiennych
występujących w kodzie.
Kody możemy podzielić na:
W zależności od parametru P

Kody zupełne i niezupełne:

kody zupełne, które zawierają wszystkie możliwe kombinacje
wartości zmiennych,
kody niezupełne, które nie wykorzystują wszystkich kombinacji.

Kody systematyczne i niesystematyczne:

kody systematyczne tworzy się na podstawie reguły formalnej, w
której każda kombinacja wartości zmiennych jest zdefiniowana w
sposób jednoznaczny, do kodów systematycznych zaliczamy m.in.
wszystkie kody wagowe,
kody niesystematyczne wymagają podania tabeli, która określa
kolejność poszczególnych kombinacji występujących w dowolnym
porządku, do kodów niesystematycznych zaliczamy kod Watha,
dalekopisowy i inne.

Kody dwójkowe wagowe i niewagowe.

Algebra Boole’a

Systemy Liczbowe

Systemy Liczbowe

.

Kod Dwójkowy

Kod BCD

Kod Graya

A B C D

8 4 2 1

8421

8421

X Y W Z

Niewagowy

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

10
11
12
13
14
15

0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

10
11
12
13
14
15

0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1

0001 0 0 0 0
0001 0 0 0 1
0001 0 0 1 0
0001 0 0 1 1
0001 0 1 0 0
0001 0 1 0 1

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

10
11
12
13
14
15

0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
1 0 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0

Algebra Boole’a

Systemy Liczbowe

Systemy Liczbowe

.

Jedną z postaci algebry Boole’a jest znany rachunek zdań, gdzie
zamiast znaków sumy + stosuje się łącznik lub, zamiast znaku iloczynu
– łącznik i, a do negacji używamy słowa nie. Algebra Boole’a posługuje
się szeregiem praw i tożsamości.
W algebrze Boole’a obowiązują następujące podstawowe prawa:
Prawo przemienności mnożenia i dodawania:
A+B = B+A

A · B = B · A

Prawo łączności:
A+B+C = A+(B+C) = (A+B)+C

A · B · C = A · (B · C) = (A · B) ·C

Prawo rozdzielczości:
A ·(B + C) = A · B + A · C

A + B · C = (A + B) · (A + C)

Prawa podstawowe:
A + 1 = 1 A · 1 = A A + 0=A A · 0 = 0 A + A = A A · A = A
Prawa de Morgana:

...

...















C

B

A

C

B

A

...

...















C

B

A

C

B

A

Algebra Boole’a

Układy kombinacyjne i sekwencyjne

Układy kombinacyjne i sekwencyjne

.

Do układów przełączających logicznych zaliczamy:
układy kombinacyjne,
układy sekwencyjne.
Cechą odróżniającą układy kombinacyjne i sekwencyjne jest
właściwość pamiętania stanów logicznych, które charakteryzują
się układy sekwencyjne, a której są pozbawione układy
kombinacyjne.

Układ kombinacyjny służy do przetwarzania informacji
dyskretnej dwuwartościowej. Informacja dyskretna składa się ze
znaków, którymi mogą być zarówno litery, cyfry, jak i inne
symbole.
W układzie kombinacyjnym każda kombinacja sygnałów
wejściowych określa jednoznacznie kombinację sygnałów
wyjściowych. Sygnały wejścia i sygnały wyjścia przyjmują
skończoną liczbę kombinacji i skończoną liczbę wartości.
Kombinacje sygnałów wejściowych są to stany wejść układu, a
kombinacje sygnałów wyjściowych – stany wyjść układu.

Algebra Boole’a

Układy kombinacyjne i sekwencyjne

Układy kombinacyjne i sekwencyjne

.

Układ sekwencyjny jest to układ dyskretny, którego stan
wyjścia nie tylko zależy od stanu wejścia, ale także od
wcześniejszego stanu wyjścia. Inaczej mówiąc stan wyjścia
zależy od stanu wejścia i stanu wyjścia w chwili T. Oprócz
zmiennych wejściowych i wyjściowych, istnieją tzw. stany
wewnętrzne Q, a zbiór stanów wewnętrznych określa pamięć
układu Q

1

, Q

2

,...

Układy sekwencyjne dzielimy na:
układy synchroniczne
układy asynchroniczne.
Układ synchroniczny to układ, w którym zmiany stanów
wewnętrznych i stanów wyjścia odbywa się w ściśle określonych
interwałach czasu, czyli w takt impulsu zegarowego.
Układ asynchroniczny to układ, w którym sygnały na wejściu
bezpośrednio oddziałują na stany wewnętrzne układu i stany na
wyjściu. Układ ten pracuje z szybkością wyznaczoną przez
opóźnienie elementów wewnętrznych układu.

Algebra Boole’a

Układy kombinacyjne i sekwencyjne

Układy kombinacyjne i sekwencyjne

.

00

01

11

10

00

1

1

1

0

01

0

1

1

0

11

0

0

0

0

10

0

0

1

1

Y

DCBA

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

BA

DC

B

C

D

A

C

D

A

D

B

C

D

Y









B

C

D

A

C

D

A

D

B

C

D

Y









Algebra Boole’a

Układy kombinacyjne i sekwencyjne

Układy kombinacyjne i sekwencyjne

A B C
D

B

C

D

A

C

D

A

D

B

C

D

Y







