XII. NIELINIOWE UKŁADY

XII. NIELINIOWE UKŁADY

REGULACJI

REGULACJI

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

2

W obiekcie nieliniowym

obiekcie nieliniowym

wielkości wyjściowe y są

związane z wielkościami wejściowymi u nieliniową
zależnością algebraiczną, różniczkową lub różnicową.
Dla obiektu nieliniowego nie jest spełniona zasada

superpozycji.
Sumie sygnałów sterujących, doprowadzonych na
wejście obiektu nieliniowego nie odpowiada suma
sygnałów wyjściowych, z których każdy jest wywołany
pojedynczym sygnałem wejściowym.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

3

Większość układów spotykanych w praktyce są

układami nieliniowymi. Traktowanie układów jako

liniowe jest wynikiem uproszczeń opisu procesów

regulacji.

W najogólniejszym przypadku sygnał sterujący u oraz

regulowanyy są, w przypadku układu ciągłego, związane

ze sobą zależnością opisującą niestacjonarny,

niestacjonarny,

nieliniowy układ dynamiczny

nieliniowy układ dynamiczny

:

W szczególnym przypadku, gdy nie występują

pochodne sygnału sterującego i sterowanego,

otrzymuje się nieliniowy, niestacjonarny układ

nieliniowy, niestacjonarny układ

statyczny

statyczny

:

0

t

,

dt

y

d

,

,

dt

dy

,

y

,

dt

u

d

,

,

dt

du

,

u

F

n

n

m

m

nd























0

t

,

y

,

u

F

ns



prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

4

Jeżeli w równaniu nie wystąpi czas w postaci
argumentu, to otrzymuje się nieliniowy,

nieliniowy,

stacjonarny układ dynamiczny

stacjonarny układ dynamiczny

:

0

dt

y

d

,

,

dt

dy

,

y

,

dt

u

d

,

,

dt

du

,

u

F

n

n

m

sd



















Analogicznie otrzymuje się stacjonarny układ

stacjonarny układ

statyczny

statyczny

:

F

ss

(u, y) = 0

opisany w postaci charakterystyki

charakterystyki

statycznej

statycznej

:

y =
f(u)

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

5

Elementy nieliniowe

Elementy nieliniowe

Przekaźnik dwupołożeniowy

Przekaźnik dwupołożeniowy

z histerezą

 

Przekaźnik trójpołożeniowy

Przekaźnik trójpołożeniowy z

histerezą

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

6

Element ze strefą nieczułości

Element z nasyceniem

Element ze strefą nieczułości

i nasyceniem

Element z luzem

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy

nieliniowe

7

Przykład: Przegub mechaniczny

Równanie charakterystyki statycznej:

u

sgn

a

u

y







prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy

nieliniowe

8

Zastępcze charakterystyki statyczne

Zastępcze charakterystyki statyczne

podstawowych połączeń układów

podstawowych połączeń układów

nieliniowych

nieliniowych

Szeregowe połączenie elementów

Szeregowe połączenie elementów

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

9

Równoległe połączenie

Równoległe połączenie

elementów

elementów

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

10

Połączenie ze sprzężeniem

Połączenie ze sprzężeniem

zwrotnym:

zwrotnym:

y = f

1

[y

z

- f

2

(y)]

y = f

1

(e)

x = f

2

(y)

e = y

z

- x

y=f

1

(y

z

- x)

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

11

Stabilność układów

Stabilność układów

nieliniowych

nieliniowych

Rodzaje

Rodzaje

stabilności

stabilności

Układ regulacji opisany jest układem równań stanu:





















































n

2

1

n

n

n

2

1

k

k

n

2

1

2

2

n

2

1

1

1

x

...,

,

x

,

x

f

dt

dx

...

x

...,

,

x

,

x

f

dt

dx

...

x

...,

,

x

,

x

f

dt

dx

x

...,

,

x

,

x

f

dt

dx

n-wymiarowy układ współrzędnych
o osiach (x

1

,x

2

,...,x

n

) nosi nazwę

przestrzeni stanu

przestrzeni stanu

.

Uproszczenie przestrzeni stanu do
dwóch wymiarów prowadzi do

płaszczyzny fazowej

płaszczyzny fazowej

.

Punkt charakteryzujący chwilowy
stan układu wraz z upływem czasu
będzie się poruszał po

t

rajektorii

,

tworzącej portret fazowy

portret fazowy

.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

12

Każdy z punktów przestrzeni stanu, dla którego:

f

k

(x

1

,

x

2

,...,

x

n

) = 0

nosi nazwę punktu równowagi

punktu równowagi

układu.

Dla układu nieliniowego może być jeden lub więcej
punktów równowagi.

Dokonuje się przesunięcia środka układu współrzędnych
do punktu równowagi.

Wówczas na osiach n-wymiarowego układu
współrzędnych przestrzeni lub płaszczyzny stanu będą
odłożone składowe przejściowe zmiennych stanu.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

13

Punkt równowagi nazywa się punktem stabilnym

punktem stabilnym

w

sensie Lapunowa, jeżeli dla okręgu o dowolnie przyjętym

promieniu  można dobrać okrąg o promieniu  takim,

aby dla wszystkich punktów wewnątrz okręgu o

promieniu  przyjętych jako punkty początkowe

trajektorii, nie wychodziła z okręgu o promieniu .

Jeżeli dodatkowo trajektoria ze
wzrostem czasu dąży do środka układu
współrzędnych, a więc do punktu
równowagi, to punkt równowagi nosi
nazwę punktu stabilnego

punktu stabilnego

asymptotycznie

asymptotycznie

w sensie Lapunowa.

Lapunov Aleksandr Michajłowicz
(1857-1918)
Rosyjski matematyk.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

14

Układ nieliniowy jest stabilny lokalnie

stabilny lokalnie

w punkcie równowagi,

jeżeli jest stabilny dla warunków początkowych z
dostatecznie małego otoczenia

małego otoczenia

punktu równowagi.

Układ nieliniowy jest stabilny globalnie

stabilny globalnie

w obszarze

obszarze

ograniczonym

ograniczonym

, jeżeli jest stabilny dla warunków

początkowych, dla których punkt początkowy trajektorii leży
w tym obszarze.

Układ nieliniowy jest stabilny totalnie

stabilny totalnie

w obszarze

obszarze

nieograniczonym

nieograniczonym

, jeżeli jest stabilny dla dowolnych

warunków początkowych.

Stabilność układów nieliniowych w sposób istotny zależy

od

warunków początkowych oraz od rodzaju i wielkości

zakłóceń,

które wyprowadziły układ ze stanu równowagi.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

15

I metoda

I metoda

Lapunowa

Lapunowa

Nieliniowy układ jest stabilny asymptotycznie w punkcie
równowagi (stabilny lokalnie) wtedy, gdy jego liniowe przybliżenie
rozwinięcia w szereg Taylora jest stabilne asymptotycznie:

n

nn

2

2

n

1

1

n

n

x

a

...

x

a

x

a

dt

dx









Asymptotyczną stabilność liniowego przybliżenia

stwierdza się na podstawie lokalizacji pierwiastków

równania charakterystycznego przybliżenia:

0

s

a

...

a

a

...

a

...

s

a

a

a

...

a

s

a

nn

2

n

1

n

n

2

22

21

n

1

12

11









Jeżeli pierwiastki s

1

,

s

2

,

...,s

n

tego równania leżą w lewej

półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s, to liniowe

przybliżenie jest stabilne asymptotycznie.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

16

II metoda

II metoda

Lapunowa

Lapunowa

Jeżeli dla pewnej funkcji V(x

1

, x

2

, ..., x

n

) zwanej funkcją

Lapunowa:
• dodatnio określonej w pewnym obszarze zawierającym środek

układu współrzędnych n-wymiarowej przestrzeni

• dążącej do nieskończoności dla (x

1

, x

2

, ...,x

n

)

dążących do

nieskończoności,

• jej pochodna względem czasu dV/dt jest funkcją ujemnie

określoną w tym obszarze,

to wtedy nieliniowy układ jest stabilny asymptotycznie

stabilny asymptotycznie

w tym

obszarze (stabilność globalna lub totalna).

Jeżeli zaś pochodna dV/dt jest funkcją niedodatnio określoną w
tym obszarze, to rozpatrywany nieliniowy układ jest stabilny, ale
nie asymptotycznie.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

17

II metoda Lapunowa podaje jedynie warunki wystarczające,
które nie zawsze są warunkami koniecznymi stabilności

układu.

Dla tego samego stabilnego nieliniowego układu można dobrać
w ogólnym przypadku wiele różnych funkcji Lapunowa, przy
czym każdej z nich może odpowiadać inny warunek
wystarczający stabilności układu, określający pewien obszar
dopuszczalnych punktów początkowych trajektorii fazowej.

Często jako funkcję Lapunowa przyjmuje się:





2

n

2
2

2

1

x

...

x

x

2

1

V









Do szczegółowej analizy układów nieliniowych

najczęściej używane są metody:

• płaszczyzny fazowej,

• funkcji opisującej.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

18

Płaszczyzna

Płaszczyzna

fazowa

fazowa

Metoda polega na badaniu zachowania się układu na
płaszczyźnie, której osią odciętych jest uchyb e regulacji, a

osią

rzędnych jest pochodna uchybu względem czasu .

Metodę stosuje się w przypadku gdy charakterystykę
statyczną f(e) opisującą element nieliniowy można
aproksymować odcinkami prostymi oraz gdy część
liniowa układu opisana jest przez transmitancję G(j).

e

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

19

W każdej chwili czasowej uchyb i jego pochodna wyznaczają na
płaszczyźnie fazowej punkt.

W miarę upływu czasu punkt ten porusza się na płaszczyźnie
fazowej po krzywej, noszącej nazwę trajektorii fazowej.
Kształt trajektorii fazowej na płaszczyźnie fazowej umożliwia
dokonanie oceny własności rozpatrywanego układu
nieliniowego.

W przestrzeni fazowej można badać nie tylko przebiegi w
układach swobodnych, lecz także odpowiedzi układu na
wymuszenie skokowe, liniowo narastające oraz na
dowolne kombinacje tego typu wymuszeń.

Czas jest zawarty pośrednio w trajektorii fazowej i może
być odtworzony z wykresu.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

20

Prz

Prz

ykłady trajektorii fazowych

ykłady trajektorii fazowych

w przestrzeni

w przestrzeni

trójwymiarowej

trójwymiarowej

:

:

zakończonych

punktem równowagi

zdążających

do nieskończoności

zakończonych

cyklem

granicznym

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

21

Na płaszczyźnie fazowej można rozważać tylko układy

pierwszego rzędu oraz te układy drugiego rzędu, których

równanie:

i dają się sprowadzić do postaci:





0

e

,

e

,

e

F







 

,

e

,

e

P

dt

e

d







e

dt

de 



lub:

 

e

e

,

e

P

de

e

d









Osiami płaszczyzny fazowej są e
oraz .
Kierunek przesuwania się
punktu po krzywej całkowej
przy wzrastającym czasie t jest
zgodny z ruchem wskazówek
zegara.

e

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

22

Krzywe łączące na płaszczyźnie fazowej punkty o

jednakowym nachyleniu krzywych całkowych tworzą

izokliny

izokliny

:

 

C

const

e

e

,

e

P

tg













Zmieniając wartość stałej C, tzn. kąt , otrzymuje się

rodzinę izoklin dostatecznie gęsto pokrywających
płaszczyznę fazową tak, aby znane było nachylenie
krzywych całkowych w każdym punkcie płaszczyzny.
Na podstawie rodziny izoklin wykreśla się przebieg
krzywych całkowych jako portret fazowy

portret fazowy

.

Z twierdzenia Cauchy’ego o jednoznaczności rozwiązania
układu równań różniczkowych z danymi warunkami
początkowymi wynika, że przez jeden punkt płaszczyzny
fazowej może przechodzić tylko jedna krzywa całkowa.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

23

Wyjątek stanowią punkty osobliwe

punkty osobliwe

, dla których

jednocześnie zachodzi: ,

 

0

e

,

e

P





0

e 



czyli: ,

0

de

e

d





0

dt

de



Punkty osobliwe reprezentują punkty równowagi układu

punkty równowagi układu

,

nazywane też punktami równowagi statycznej.

Układy nieliniowe mogą mieć więcej punktów równowagi,
a mianowicie tyle, ile jest pierwiastków równania:

 

0

e

,

e

P

0

e









prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

24

Punkty osobliwe:

Punkty osobliwe:

środek (stabilny)

siodło (niestabilne)

węzeł niestabilny

węzeł stabilny

ognisko niestabilne

ognisko stabilne

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

25

Jeżeli krzywa całkowa nie dochodzi do punktu równowagi, lecz

przechodzi w krzywą zamkniętą otaczającą ten punkt, to występuje

wówczas cykl graniczny jako zjawisko drgań nietłumionych układu

wokół położenia równowagi:

Cykl stabilny

Cykl
niestabilny

Jeżeli dla cyklu granicznego stabilnego warunki początkowe są tak

dobrane, że trajektoria fazowa rozpoczyna się wewnątrz cyklu, to

układ zachowuje się jak niestabilny i amplituda drgań rośnie, aż do

pokrycia się tej trajektorii z cyklem granicznym.
Jeżeli warunki początkowe wyznaczają punkt na zewnątrz cyklu

granicznego, to układ zachowuje się jak stabilny i amplituda drgań

maleje, aż do pokrycia się trajektorii fazowej z cyklem granicznym.
W stanie ustalonym istnieją drgania periodyczne i taki układ jest

stabilny dla dużych zakłóceń.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

26

Przykład

Przykład
Konstrukcja portretu fazowego metodą izoklin dla układu
regulacji kursu statku:

0

kMB

e

de

e

d

e

T





 





p

de

e

d





0

kMB

e

e

Tp





 



1

Tp

kMB

e









1

Tp

kB

e







1

Tp

kB

e









prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

27

Rodzinę izoklin stanowią proste równoległe do osi
odciętych, a każdej z prostych jest przyporządkowana
wartość nachylenia trajektorii fazowych:

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

28

Funkcja

Funkcja

opisująca

opisująca

Własności elementu
nieliniowego wyraża

funkcja opisująca

jako

stosunek wartości zespolonej
amplitudy pierwszej
harmonicznej sygnału
wyjściowego do wartości
zespolonej amplitudy
sinusoidalnego sygnału
wejściowego:

 

e

u

harm

I

A

J



prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

29

Zazwyczaj używa się tę metodę gdy nieliniowy element
(np. regulator przekaźnikowy) jest elementem
statycznym, opisanym nieliniową charakterystyką
statyczną, a część liniowa układu posiada własności filtru
dolnoprzepustowego (inercyjny obiekt regulacji):

e(t) = A sinψ
ψ = ωt

Rozwinięcie w szereg Fouriera wielkości
wyjściowej:

  

























1

k

k

k

0

k

cos

C

k

sin

B

B

sin

A

f

t

u

















2

0

0

d

sin

A

f

2

1

B



















d

k

sin

sin

A

f

1

B

2

0

k



















2

0

k

d

cos

sin

A

f

1

C

Fourier Joseph
(1768-1830)
Francuski matematyk.

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

30

W praktyce część liniowa układu jest filtrem
dolnoprzepustowym, więc można w przybliżeniu przyjąć,
że poza składową stałą i pierwszą harmoniczną
wszystkie dalsze harmoniczne zostaną na tyle stłumione,
że można je pominąć.

Jeżeli założyć ponadto, że charakterystyka statyczna
nieliniowego elementu jest charakterystyką symetryczną
względem środka układu współrzędnych, to w układzie nie
wystąpi składowa stała.









cos

C

sin

B

)

t

(

u

1

1

B

C

B

2

1

2

1











cos

C

B

B

2

1

2

1

1







sin

C

B

C

2

1

2

1

1

 























j

j

e

Be

Im

sin

B

t

u

 









j

Ae

Im

t

e

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

31

Funkcja opisująca J(A)

Funkcja opisująca J(A)

charakteryzuje w sposób przybliżony

własności elementu nieliniowego i jest odpowiednikiem
transmitancji widmowej elementu liniowego G(j).

Opis własności elementu nieliniowego za pomocą funkcji
opisującej J(A) jest wynikiem linearyzacji harmonicznej

linearyzacji harmonicznej

.

Jeżeli charakterystyka statyczna elementu nieliniowego jest
funkcją jednoznaczną, to funkcja opisująca J(A) staje się

funkcją

rzeczywistą, gdyż C

1

=0.

 





























2

0

j

1

1

j

d

e

sin

A

f

A

j

A

jC

B

e

A

B

A

J

prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

32

Przykład

Przykład
Wyznaczenie funkcji opisującej elementu nieliniowego
o charakterystyce statycznej histerezy:

 









1

1

m

2

j

j

0

j

m

2

0

j

sin

j

cos

A

u

4

d

e

d

e

d

e

A

ju

d

e

sin

A

f

A

j

A

J

1

1

1

1































































































prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

33

1

sin

A

a





A

a

sin

1





2

2

1

A

a

1

cos







 

)

A

(

j

2

2

m

e

)

A

(

B

A

a

j

A

a

1

A

u

4

A

J



























prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

34

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista

Dla amplitudy A wymuszenia sinusoidalnego elementu

nieliniowego o jednoznacznej i symetrycznej

charakterystyce statycznej, zgodnie z opisaną metodą

linearyzacji harmonicznej, można go zastąpić członem

proporcjonalnym o nachyleniu charakterystyki J(A).

Układ nieliniowy stanie się wtedy układem liniowym,

dzięki czemu można zastosować znane dla układów

liniowych kryterium stabilności Nyquista.

Zgodnie z tym kryterium, w układzie powstaną drgania

sinusoidalne o amplitudzie A, o ile charakterystyka

amplitudowo-fazowa układu otwartego będzie

przechodziła przez punkt krytyczny (-1, j0), czyli gdy

będzie spełniona zależność:

   

0

1

j

G

A

J







czyli

 

 

A

J

1

j

G







prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

35

Jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa części

liniowej G(jω) nie obejmuje wykresu krytycznego

wykresu krytycznego

(

), wówczas zgodnie z kryterium Nyquista układ jest
zawsze stabilny

stabilny

dla dowolnych amplitud wymuszenia:

 

A

J

1



prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

36

Jeżeli krzywa G(jω) obejmuje w całości krzywą ( ), to układ
jest niestabilny dla dowolnych amplitud wymuszenia początkowego:

 

A

J

1



prof. Józef Lisowski

PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe

37

Jeżeli krzywa G(jω) przecina się z krzywą ( ) w dwóch
punktach P

1

i P

2

, którym odpowiadają amplitudy i pulsacje A

1

i

ω

1

oraz A

2

i ω

2

, to można wykazać, że punktowi P

1

odpowiadają

drgania niestabilne w układzie, punktowi P

2

zaś drgania stabilne.

 

A

J

1

