2. Równanie kinetyczne Boltzmanna i czas relaksacji.

Rozwiązując równanie Schrödingera, Boltzmann uwzględnił oddziaływania z defektami. Stworzył
klasyczne równanie transportu.

Rozład równowagowy z poziomem Fermiego:

1

1

)

(

0

−

=

−

kT

E

E

F

e

E

f

Modyfikujemy funkcję rozkładu:

)

(

)

(

)

(

1

0

E

f

E

f

E

f

+

=

, gdzie

)

(

)

(

1

0

E

f

E

f

>>

Zakłada się, że ta nowa funkcja będzie stacjonarna.
Energia w zależności od wektora falowego:

(

)

*

2

2

2

2

*

2

2

2

2

m

k

k

k

m

k

E

z

y

x

+

+

=

=

h

h

Po przyłożeniu zewnętrznego pola elektr. zmienia się rozkład – następuje przesunięcie kuli Fermiego.
Zmiana funkcji rozkładu w czasie:

zd

dryf

dt

df

dt

df

dt

df













+













=

|

|

człon dryfowy człon zderzeniowy

Aby opisać klasycznie cząstkę, trzeba podać jej położenia i prędkości:

z

y

x

k

k

k

z

y

x

,

,

,

,

,

- współrzędne

w 6-wymiarowej przestrzeni fazowej. Dryf odbywa się w przestrzeni fazowej. Możemy z niej wydzielić
jedną komórkę i rozważyć przepływ cząstek. Po czasie t

∆

do komórki wpłyną cząstki, które były przed

nią, stąd przed wyrażeniem

t

v

∆

⋅

stawiamy minus:

(

)

z

y

x

z

z

y

y

x

x

z

y

x

k

k

k

z

y

x

f

t

k

k

t

k

k

t

k

k

t

v

z

t

v

y

t

v

x

f

f

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

−













∆

−

∆

−

∆

−

∆

−

∆

−

∆

−

=

∆

•

•

•

wartość funkcji w czasie

t

t

∆

+

Obliczamy pochodną z definicji:

dryf

k

r

t

dt

df

f

k

f

r

dt

dx

x

f

t

f

dt

df













=

∇

−

∇

−

=

+

∂

∂

−

=

∆

∆

=

•

•

→

∆

....

lim

0

To był człon dryfowy, teraz człon zderzeniowy:

(

) (

)

'

'

k

k

b

k

k

a

dt

df

zd

→

−

→

=













,

gdzie

b

a,

- całki zderzeniowe

|

|

zderzenia, które przejścia

ze stanów

'

k

w odwrotnym

przeprowadzają kierunku

do stanów

k

Stąd:

b

a

dt

df

dt

df

dryf

−

+













=

Boltzmann założył, że zmiany są wolne w czasie – ustala się stan stacjonarny: człon dryfowy zrównuje
się ze zderzeniowym i pochodna się zeruje.

Stąd równanie Boltzmanna ma postać:

b

a

f

k

f

r

k

r

−

+

∇

−

∇

−

=

•

•

0

Przybliżenie czasu relaksacji:

( ) ( ) ( )

( )

(

)

∫

−

=

SB

k

d

k

f

k

f

k

k

k

w

a

'

'

1

'

'

,

'

3

ρ

|

|

|

|

prawdopodobień- gęstość stan stan
stwo przejścia stanów zajęty wolny
ze stanu

'

k

do

k

Podobnie:

( ) ( ) ( )

( )

(

)

∫

−

=

SB

k

d

k

f

k

f

k

k

k

w

b

3

1

'

,

ρ

Całka

a

zwiększa obsadzenie stanu

k

, z kolei całka b zmniejsza. SB – strefa Brillouina.

W mechanice kwantowej prawdopodobieństwo przejścia w jedną stronę jest równe
prawdopodobieństwu przejścia w drugą stronę:

(

) ( )

'

ˆ

ˆ

'

2

~

'

,

,

'

k

H

k

k

H

k

k

k

w

k

k

w

zb

zb

h

π

=

Stąd:

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

∫

−

=

−

SB

k

d

k

f

k

f

k

k

k

w

b

a

'

'

'

,

'

3

ρ

( ) ( ) ( )

k

f

k

f

k

f

1

0

+

=

↑ wpływ sił zewnętrznych

Przybliżenie:

( ) ( ) (

)

'

,

'

,

k

k

k

k

k

w

−

Θ

=

δ

ϑ

,

gdzie

ϑ

- kąt między osią a tworzącą stożka

Zakładamy, że prawdopodobieństwo nie zależy
od energii (przy pojedyńczym procesie przejścia
energia zmienia się tak nieznacznie, że możemy
tą zmianę zaniedbać).

*

2

2

2m

k

E

h

=

(

) (

) ( ) ( )

(

)

∫ ∫

∫

∞

→

−

−

Θ

=

−

π

π

ϑ

ϑ

δ

ϑ

ϕ

π

0

0

2

2

0

3

sin

'

'

'

,

'

4

1

k

k

d

d

k

k

f

k

f

k

k

k

d

b

a

(

) ( ) ( )

(

)

∫

−

Θ

=

−

π

ϑ

ϑ

ϑ

π

0

2

2

sin

'

'

,

'

2

1

d

k

k

f

k

f

k

b

a

Rozbijamy funkcję w szereg Maclaurina i bierzemy pierwszy wyraz:

( )

)

(

1

E

V

k

f

χ

=

(

)

( ) ( )

(

)

∫

−

Θ

=

−

π

ϑ

ϑ

ϑ

χ

π

0

2

2

sin

'

,

)

(

2

1

d

k

k

V

k

V

k

E

b

a

( ) ( ) ( )

(

)

1

cos

'

−

=

−

ϑ

k

V

k

V

k

V

- zostają tylko rzuty na kierunek

k

(po wycałkowaniu znikną prędkości

prostopadłe)

( )

(

)(

)

∫

−

Θ

−

=

−

π

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

π

χ

0

2

2

sin

cos

1

,

2

)

(

d

k

k

E

k

V

b

a

↑

( )

k

f

1

Możemy powyższe równanie zapisać w postaci:

( )

τ

k

f

b

a

1

−

=

−

, gdzie

(

)(

)

∫

−

Θ

=

π

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

π

τ

0

2

2

sin

cos

1

,

2

1

1

d

k

k

τ

jest czasem relaksacji.

Rówanie Boltzmanna przyjmuje postać:

( )

0

1

=

−

∇

−

∇

−

•

•

τ

k

f

f

k

f

r

k

r

, gdzie

1

0

f

f

f

+

=

Gdy wyłączamy pole zewnętrzne, pozostaje nam tylko człon zderzeniowy:

τ

1

f

dt

df

−

=

→

τ

1

1

f

dt

df

−

=

→

τ

dt

f

df

−

=

1

1

→

τ

t

e

f

t

f

−

⋅

=

0

1

1

)

(

Czas relaksacji zależy od energii (liczonej od dna pasma):

2

1

)

(

−

⋅

=

p

E

A

E

τ

- fonony akustyczne:

0

=

p

- fonony optyczne:

1

=

p

- domieszki neutralne:

2

1

=

p

- domieszki zjonizowane:

2

=

p

Ś

rednia droga swobodna między zderzeniami:

v

l

τ

=

;

2

1

~ E

v

→

p

AE

l

=

Widać, że dla fononów akustycznych średnia droga między zderzeniami nie zależy od energii.

Ruchliwość:

ε

µ

v

=

, gdzie

v

- prędkość unoszenia,

ε

- pole elektryczne

Istnieją materiały, które w temperaturach ciekłego helu mają

V

cm

10

3

7

=

µ

. W metalach

µ

jest rzędu

V

cm

10

3

1

- to dlatego, że metale są substancjami polikrystalicznymi – występuje rozpraszanie na

granicach krystalitów. Z kolei półprzewodniki można wytworzyć w postaci dużych monokryształów.

W pomiarach bardzo często uzyskuje się czas relaksacji rzędu

7

10

−

, co oznacza, że między zderzeniami

elektron pokonuje tysiące stałych sieciowych. Wynika to z niepoprawności klasycznego opisu kryształu.


3.

Prawo Ohma.

Klasyczne prawo Ohma: stosunek napięcia do natężenia prądu jest stały i równy oporowi elektrycznemu

I

U

R

=

gęstość prądu:

S

I

j

=

=

ε

σ

l

U

⋅

=

ε

→

S

I

l

U

=

σ

R

I

U

S

l

=

=

σ

1

→

S

l

R

ρ

=

, gdzie

σ

ρ

1

=

- opór właściwy

Prawo Ohma półkwantowo:

wychodzimy od

( )

0

1

=

−

∇

−

∇

−

•

•

τ

k

f

f

k

f

r

k

r

Zakładamy, że nie ma gradientu przestrzennego:

0

=

∇

r

;

0

=

∇

−

•

f

r

r

h

h

h

F

k

k

=

=

•

•

1

0

1

=

+

∇

τ

f

f

F

k

h

E

E

f

E

E

f

E

E

f

f

k

k

k

k

∇

∂

∂

+

∇

∂

∂

=

∇

∂

∂

=

∇

1

0

robimy pierwsze przybliżenie:

0

1

=

∇

∂

∂

E

E

f

k

V

E

f

E

E

f

E

E

f

f

k

k

k

∂

∂

=













∇

∂

∂

=

∇

∂

∂

=

∇

0

0

0

1

h

h

h

Wstawiamy to do

0

1

=

+

∇

τ

f

f

F

k

h

:

0

1

0

=

+

∂

∂

τ

f

V

E

f

F

ε

q

F

=

(siła elektrostatyczna)

0

1

0

=

+

∂

∂

τ

ε

f

V

E

f

q

Podobnie jak poprzednio:

( )

)

(

1

E

V

k

f

χ

=

0

)

(

0

=















+

∂

∂

V

E

E

f

q

τ

χ

ε

Stąd:

ε

τ

χ













∂

∂

−

=

E

f

q

E

0

)

(

ε

τ

V

E

f

q

f













∂

∂

−

=

0

1

- znaleźliśmy funkcję określającą odchylenie od położenia równowagi

Funkcja ta zależy od czasu relaksacji.

Gęstość prądu: suma po wszystkich nośnikach:

(

)

=

+

=

=

=

∫

∫

∑

=

SB

SB

N

i

k

d

f

f

V

q

k

d

k

f

k

q

V

q

V

q

j

3

1

0

3

3

1

4

1

)

(

)

(

π

∫

∫

+

=

SB

SB

k

d

f

V

q

k

d

f

V

q

3

1

3

3

0

3

4

1

4

1

π

π

0

4

1

3

0

3

=

∫

SB

k

d

f

V

q

π

(równowaga termodynamiczna – prąd nie płynie)

Pozostaje tylko całka

∫

SB

k

d

f

V

q

3

1

3

4

1

π

, do której

wstawiamy

ε

τ

V

E

f

q

f













∂

∂

−

=

0

1

:

∫













∂

∂

−

=

SB

k

d

V

E

f

q

j

3

2

0

3

2

4

ε

τ

π

Przyjmujemy kierunek pola elektrycznego z i rzutujemy
wektor prędkości na dwa kierunki – równoległy i
prostopadły.

(

)

∫ ∫∫

∞

⊥













∂

∂

−

+

=

π π

ϑ

ϕ

ϑ

ϑ

ε

τ

π

2

0 0 0

3

2

0

||

3

2

sin

cos

4

k

d

d

d

k

v

E

f

v

v

e

j

⊥

v

- zmiana prędkości niezależna od pola (równe prawdopodobieństwo skierowania się w obie strony,

stąd całka = 0)

||

v

- zmiana prędkości wymuszona polem,

ϑ

cos

||

v

v

=

∫∫

∞













∂

∂

−

=

π

ϑ

ϑ

ϑ

τ

π

ε

0 0

3

2

2

2

0

2

2

sin

cos

2

k

d

d

k

v

E

f

e

j

3

2

sin

cos

0

2

=

∫

π

ϑ

ϑ

ϑ

d

(podstawienie:

dx

d

x

=

−

=

ϑ

ϑ

ϑ

sin

cos

,...)

∫

∞













∂

∂

−

=

0

3

2

2

0

2

2

3

k

d

k

v

E

f

e

j

τ

π

ε

k

v

m

h

=

*

→

*

m

k

v

h

=

;

( )

dk

k

m

dk

k

v

4

2

*

2

2

2

h

=

Chcemy całkować po

dE

:

*

2

2

2m

k

E

h

=

→

*

2

m

k

dk

dE

h

=

→

dE

k

m

dk

2

*

h

=

( )

( )

dE

m

k

dE

k

m

k

m

dk

k

m

*

3

2

*

4

2

*

2

4

2

*

2

=

=

h

h

h

∫

∞













∂

∂

−

=

0

3

0

*

2

2

3

dE

k

E

f

m

e

j

τ

ε

π

Niech

∫

∞













∂

∂

−

=

0

3

0

2

)

(

3

1

dE

k

E

f

E

X

X

π

będzie średnią statystyczną z pewną wagą

Podstawiamy 1:

=

+

=

+







−

=













∂

∂

−

=

∫

∫

∫

∞

∞

+∞

∞

0

2

2

0

0

2

0

2

0

2

3

0

0

3

0

2

0

3

3

1

3

3

1

1

dk

k

f

dE

dE

dk

k

f

k

f

dE

k

E

f

π

π

π

π

n

k

d

k

f

dk

k

f

=

=

=

∫

∫

∞

∞

0

3

0

0

3

2

0

)

(

4

4

ρ

π

π

- liczba wszystkich nośników

| |

prawdopodobieństwo gęstość
obsadzenia (z poziomem
Fermiego)

dE

E

k

E

f

E

)

(

)

(

3

1

0

3

0

2

∫

∞













∂

∂

−

=

τ

π

τ

(wstawiając

1

=

τ

otrzymamy liczbę nośników)

Stąd:

ε

τ

*

2

m

e

j

=

Jednocześnie

ε

σ

=

j

A więc przewodność właściwa:

*

2

m

e

τ

σ

=

Na podstawie pomiarów można wyciągnąć wnioski co do zmian czasu relaksacji.