Analiza matematyczna 1

Notatki do wykªadu

Mateusz Kwa±nicki

5 Ci¡gi liczbowe

Denicja. Niech (a

n

)

b¦dzie ci¡giem liczbowym. Mówimy, »e:

•

ci¡g (a

n

)

jest rozbie»ny do niesko«czono±ci ( lim

n→∞

a

n

= ∞

), je±li

dla ka»dego K ∈ R istnieje N ∈ N takie, »e dla n ≥ N zachodzi a

n

> K;

•

ci¡g (a

n

)

jest rozbie»ny do minus niesko«czono±ci ( lim

n→∞

a

n

= −∞

), je±li

dla ka»dego K ∈ R istnieje N ∈ N takie, »e dla n ≥ N zachodzi a

n

< K.

Uwaga. Cz¦sto mówi si¦ o ci¡gach zbie»nych do ±∞. Bez dodatkowego komentarza jest to

niepoprawne. Mo»na jednak mówi¢ o granicach niewªa±ciwych; wtedy przez ci¡g zbie»ny

do ±∞ mo»na w domy±le rozumie¢ ci¡g zbie»ny do granicy niewªa±ciwej ±∞.

Mo»na te» rozwa»a¢ zbiór R

∗

= R ∪ {−∞, ∞}

i okre±li¢ na nim metryk¦ w odpowiedni sposób, na przykªad

nast¦puj¡co:

d

∗

(x, y) = |f (x) − f (y)|,

gdzie f : R

∗

→ R

, f(x) =

x

1+|x|

dla x ∈ R, f(∞) = 1, f(−∞) = −1. Mo»na udowodni¢, »e ci¡g liczbowy

(a

n

)

jest zbie»ny do granicy (wªa±ciwej lub niewªa±ciwej) g ∈ R

∗

wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbie»ny do g w

metryce d

∗

, cz¦±ciowo mówi o tym poni»sze twierdzenie.

Twierdzenie. Ci¡g (a

n

)

jest rozbie»ny do niesko«czono±ci wtedy i tylko wtedy, gdy

a

n

1+|a

n

|

jest zbie»ny do 1.

Podobnie lim

n→∞

= −∞

wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

a

n

1+|a

n

|

= −1

.

Dowód. Zauwa»my, »e:

1 −

x

1 + |x|

=

1

1 + x

,

x > 0.

St¡d je±li ε > 0, a

n

>

1
ε

, to





1 −

a

n

1+|a

n

|





<

1

1+ε

−1

< ε

, czyli je±li lim

n→∞

= ∞

, to lim

n→∞

arctan a

n

=

π

2

.

Podobnie je±li M > 0,





1 −

a

n

1+|a

n

|





<

1

M +1

, to a

n

> M

, co daje implikacj¦ w drug¡ stron¦.

Druga cz¦±¢ twierdzenia ma analogiczny dowód.

Przykªad 1. Ci¡g (a

n

)

dany wzorem a

n

= 3

n

+ (−2)

n

jest rozbie»ny do niesko«czono±ci. W

istocie, niech K ∈ R. Wybierzmy liczb¦ naturaln¡ N > K + 1. Dla n ≥ N mamy

a

n

≥ 3

n

− 2

n

≥ 3 · 2

n−1

− 2

n

= 2

n−1

> n − 1 > K.

Twierdzenie. Ci¡g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny. ‘ci±lej:

•

Ka»dy ci¡g niemalej¡cy jest zbie»ny (gdy jest ograniczony z góry) lub jest rozbie»ny do

niesko«czono±ci (gdy jest nieograniczony z góry). Je±li jest zbie»ny, to granic¡ jest kres

górny zbioru wyrazów ci¡gu.

•

Ka»dy ci¡g nierosn¡cy jest zbie»ny (gdy jest ograniczony z doªu) lub jest rozbie»ny do

minus niesko«czono±ci (gdy jest nieograniczony z doªu). Je±li jest zbie»ny, to granic¡ jest

kres dolny zbioru wyrazów ci¡gu.

1

Dowód. Niech (a

n

)

b¦dzie ci¡giem niemalej¡cym. Je±li A = {a

n

: n ∈ N}

jest nieograniczony

z góry, to dla ka»dego K ∈ R istnieje wyraz a

N

taki, »e a

N

> K

. Wówczas dla wszystkich

n ≥ N

zachodzi a

n

≥ a

N

> K

, zatem lim

n→∞

a

n

= ∞

. Je±li A jest ograniczony z góry, to niech

g = sup A

. Wówczas g − ε nie jest ograniczeniem górnym A, wi¦c dla ka»dego ε > 0 istnieje

wyraz a

N

taki, »e a

N

> g − ε

i wobec tego a

n

> g − ε

dla wszystkich n ≥ N. Z drugiej strony

a

n

≤ g < g + ε

i ostatecznie |a

n

− g| < ε

dla n ≥ N.

Dowód drugiego stwierdzenia jest analogiczny.

Przykªad 2. Niech a

1

= 2

, a

n+1

= a

n

+

1

a

n

− 1

. Wówczas a

n

≥ 1

(bo x+

1
x

≥ 2

) oraz a

n+1

< a

n

.

Zatem ci¡g (a

n

)

jest malej¡cy i ograniczony, przez co  zbie»ny.

Niech b

1

= 1

, b

n+1

=

√

2 + b

n

. Wówczas b

n

< 2

dla wszystkich n (dowód indukcyjny) oraz

b

n+1

=

p

2 + b

n

>

p

2b

n

> b

n

,

a wi¦c ci¡g (b

n

)

jest rosn¡cy i ograniczony. Wobec tego jest zbie»ny.

Niech c

n

= 1

, c

n+1

= (1 −

1

n

2

) c

n

+ 1

. Wówczas c

n

≤ n

(dowód indukcyjny), przez co

c

n+1

≥ c

n

, wi¦c (c

n

)

jest niemalej¡cy. Poni»ej dowiedziemy, »e nie jest zbie»ny, wi¦c nie jest

ograniczony.

Denicja. Niech (a

n

)

b¦dzie ci¡giem liczbowym. Okre±lamy granic¦ górn¡ oraz granic¦

doln¡ ci¡gu (a

n

)

wzorami

lim sup

n→∞

a

n

= lim

n→∞



sup {a

k

: k ≥ n}



;

lim inf

n→∞

a

n

= lim

n→∞



inf {a

k

: k ≥ n}



.

W przypadku, gdy która± z granic po prawej stronie jest niewªa±ciwa, mówimy o niewªa±ciwej

granicy górnej lub dolnej.

Stosuje si¦ równie» oznaczenie lim na granic¦ górn¡ oraz lim na granic¦ doln¡.

Uwaga. Na mocy twierdzenia poprzedzaj¡cego denicj¦, granice (wªa±ciwe lub nie) w denicji
lim sup

i lim inf istniej¡ i ponadto

lim sup

n→∞

a

n

= inf

n

sup {a

k

: k ≥ n} : n ∈ N

o

;

lim inf

n→∞

a

n

= sup

n

inf {a

k

: k ≥ n} : n ∈ N

o

.

W ten sposób mo»na zdeniowa¢ granic¦ górn¡ i granic¦ doln¡ ci¡gu liczbowego, a tak»e (na

mocy twierdzenia nieco poni»ej) jego granic¦, nie u»ywaj¡c kwantykatorów.

Podobnie jak granica, równie» granica górna i granica dolna ci¡gu nie zale»¡ od sko«czonej

liczby wyrazów ci¡gu.

Twierdzenie. Niech K ∈ R. Je±li a

n

≥ b

n

dla prawie wszystkich n, to równie» lim inf

n→∞

a

n

≥

lim inf

n→∞

b

n

oraz lim sup

n→∞

a

n

≥ lim sup

n→∞

b

n

Dowód. Zaªó»my, »e a

n

≥ b

n

dla wszystkich n ∈ N. Wtedy inf {a

k

: k ≥ n} ≥ inf {a

k

: k ≥ n}

dla n ∈ N, a wi¦c lim inf

n→∞

a

n

≥ lim inf

n→∞

b

n

. Poniewa» granica dolna ci¡gu nie zale»y od

jego pierwszych N wyrazów, teza jest prawdziwa równie» gdy a

n

≥ b

n

dla n ≥ N. Drugiego

stwierdzenia dowodzi si¦ podobnie.

Twierdzenie. Ci¡g liczbowy (a

n

)

jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy lim inf

n→∞

a

n

=

lim sup

n→∞

a

n

, i wówczas lim inf

n→∞

a

n

= lim sup

n→∞

a

n

= lim

n→∞

a

n

. Twierdzenie to mo»na

rozszerzy¢ na przypadek granic niewªa±ciwych.

2

Dowód. Zaªó»my, »e lim inf

n→∞

a

n

= lim sup

n→∞

a

n

= g

. Niech ε > 0. Wówczas dla prawie

wszystich n:

g − ε < inf {a

k

: k ≥ n} ≤ a

n

≤ sup {a

k

: k ≥ n} < g + ε,

czyli lim

n→∞

a

n

= g

.

Je±li (a

n

)

jest zbie»ny do g i ε > 0, to g − ε ≤ a

n

≤ g + ε

dla prawie wszystkich n, sk¡d

g − ε ≤ lim inf

n→∞

a

n

≤ g + ε

. St¡d lim inf

n→∞

a

n

= g

. Analogicznie post¦pujemy dla granicy

górnej.

Przypadek granic niewªa±ciwych jest analogiczny.

Wniosek. Je±li (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne i a

n

≤ b

n

dla prawie wszystkich n, to lim

n→∞

a

n

≤

lim

n→∞

b

n

.

Wniosek. Dla dowolnego ci¡gu liczbowego (a

n

)

, lim inf

n→∞

a

n

≤ lim sup

n→∞

a

n

.

Wniosek. Je±li |a

n

−g| < b

n

dla prawie wszystkich n, za± lim

n→∞

b

n

= 0

, to lim

n→∞

a

n

= g

.

Wniosek (twierdzenie o trzech ci¡gach). Je±li a

n

≤ b

n

≤ c

n

i ci¡gi (a

n

)

i (c

n

)

s¡ zbie»ne do tej

samej granicy g, to równie» (b

n

)

jest zbie»ny do g.

Wniosek (twierdzenie o dwóch ci¡gach). Je±li a

n

≤ b

n

i ci¡g (a

n

)

jest rozbie»ny do niesko«-

czono±ci, to równie» (b

n

)

jest rozbie»ny do niesko«czono±ci.

Denicja. Element g nazywamy punktem skupienia ci¡gu (a

n

)

, je±li istnieje podci¡g (a

k

n

)

ci¡gu (a

n

)

zbie»ny do g.

Twierdzenie. Granica górna i granica dolna ci¡gu (a

n

)

, je±li s¡ granicami wªa±ciwymi, s¡

punktami skupienia ci¡gu (a

n

)

.

Dowód. Przyjmijmy, »e lim sup

n→∞

a

n

= g

. Skonstruujemy ci¡g k

n

indukcyjnie. Niech k

1

= 1

.

Przypu±¢my, »e znana jest ju» warto±¢ k

n

. Okre±lamy k

n+1

nast¦puj¡co.

Istnieje N takie, »e dla wszystkich j ≥ N zachodzi

g ≤ sup {a

i

: i ≥ j} < g +

1

n

.

Niech j = max(N, k

n

+ 1)

. Istnieje wi¦c i ≥ j takie, »e

g −

1

n

< a

i

< g +

1

n

.

Okre±lamy k

n+1

= i

.

Z konstrukcji wynika, »e (k

n

)

jest rosn¡cym ci¡giem liczb naturalnych oraz |a

k

n

− g| <

1

n−1

dla wszystkich n ≥ 2. St¡d a

k

n

→ g

.

Wniosek (twierdzenie Bolzano-Weierstrassa). Z ka»dego ciagu ograniczonego mo»na wybra¢

podci¡g zbie»ny (np. do granicy górnej lub granicy dolnej).

Uwaga. Przestrze« metryczn¡ X o tej wªasno±ci, »e ka»dy ci¡g elementów X zawiera podci¡g zbie»ny, nazywa

si¦ przestrzeni¡ zwart¡. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa mówi, »e ka»dy ograniczony przedziaª domkni¦ty

jest zbiorem zwartym.

Wniosek. Niech (a

n

)

b¦dzie podstawowym ci¡giem liczbowym. Wówczas (a

n

)

jest ograniczony,

a wi¦c zawiera podci¡g zbie»ny. Wynika st¡d, »e (a

n

)

jest zbie»ny.

Uwaga. Je±li w przestrzeni metrycznej ka»dy ci¡g podstawowy jest zbie»ny, to przestrze« nazywamy zupeªn¡.

Zbiór liczb rzeczywistych z metryk¡ moduª ró»nicy jest wi¦c przestrzeni¡ zupeªn¡.

3

Przykªad 3. Niech

a

n

=

1

1

2

−

1

2

2

+

1

3

2

−

1

4

2

+ ... +

(−1)

n+1

n

2

.

Wówczas dla k, l ∈ N, k ≤ l, zachodzi:

|a

k

− a

l

| =






(−1)

k+1

k

2

+

(−1)

k+2

(k + 1)

2

+

(−1)

k+3

(k + 2)

2

+ ... +

(−1)

l+1

l

2






=






1

k

2

−

1

(k + 1)

2

+

1

(k + 2)

2

+ ... +

(−1)

l−k

l

2






.

Wyra»enie pod warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡ jest nieujemne (mo»na to zauwa»y¢, ª¡cz¡c kolejne pary

wyrazów: suma ka»dej pary jest nieujemna); ponadto nie przekracza warto±ci pierwszego wy-

razu (znów ª¡czymy kolejne pary wyrazów, ale tym razem pomijaj¡c pierwszy wyraz). St¡d

|a

k

− a

l

| ≤

1

k

2

.

W ogólno±ci, dla wszystkich k, l ∈ N mamy zatem

|a

k

− a

l

| ≤

1

min(k

2

, l

2

)

.

Je±li wi¦c k, l >

1

√

ε

, to |a

k

− a

l

| < ε

, a wi¦c (a

n

)

jest ci¡giem podstawowym. Na mocy

wniosku, (a

n

)

jest zbie»ny. Granic¦ ci¡gu (a

n

)

wyznaczy¢ jednak bardzo trudno; zachodzi

lim

n→∞

a

n

=

π

2

12

.

Twierdzenie. Z ka»dego ci¡gu zbie»nego mo»na wybra¢ podci¡g monotoniczny.

Dowód. Niech (a

n

)

b¦dzie zbie»ny do g.

Co najmniej jeden ze zbiorów {n : a

n

> g}

,

{n : a

n

= g}

, {n : a

n

< g}

jest niesko«czony. Je±li jest to drugi z nich, (a

n

)

zawiera pod-

ci¡g staªy. Gdy niesko«czony jest trzeci zbiór, post¦pujemy podobnie, jak w przypadku, gdy

niesko«czony jest pierwszy. Zaªó»my zatem, »e a

n

> g

dla niesko«¢zenie wielu n.

Okre±lamy ci¡g k

n

indukcyjnie. Niech k

1

b¦dzie dowolnym indeksem, dla którego a

k

1

> g

.

Przypu±¢my, »e mamy ju» zdeniowane k

n

takie, »e a

k

n

> g

. Istnieje N takie, »e dla j ≥ N

zachodzi |a

j

− g| < a

k

n

− g

. Wybieramy k

n+1

≥ N

takie, »e a

k

n+1

> g

. Takie k

n+1

istnieje wobec

zaªo»enia, »e a

j

> g

dla niesko«czenie wielu j. Ponadto a

k

n+1

− g < a

k

n

− g

, czyli a

k

n+1

< a

k

n

.

W ten sposób wybrali±my podci¡g ±ci±le malej¡cy (a

k

n

)

ci¡gu (a

n

)

.

Wniosek. Ka»dy ci¡g zawiera podci¡g monotoniczny.

Dowód. Niech (a

n

)

b¦dzie ci¡giem liczbowym. Ci¡g (

a

n

1+|a

n

|

)

jest ograniczony, wi¦c ma podci¡g

zbie»ny, który ma podci¡g (

a

kn

1+|a

kn

|

)

monotoniczny. Ci¡g (a

k

n

)

jest wówczas monotonicznym

podci¡giem ci¡gu (a

n

)

.

6 Arytmetyka granic i funkcje ci¡gªe

Denicja. Niech d b¦dzie metryk¡ na X, a %  na Y . Funkcj¦ f : X → Y nazywamy ci¡gª¡,

je±li ze zbie»no±ci ci¡gu (x

n

)

do g w metryce d wynika zbie»no±¢ ci¡gu (f(x

n

))

do f(g) w

metryce %.

4

Twierdzenie. Dziaªania arytmetyczne s¡ funkcjami ci¡gªymi. ‘ci±lej,

R

2

3 (a, b) 7→ a + b ∈ R,

R

2

3 (a, b) 7→ a − b ∈ R,

R

2

3 (a, b) 7→ a · b ∈ R,

R × (R \ {0}) 3 (a, b) 7→

a

b

∈ R

s¡ funkcjami ci¡gªymi. Innymi sªowy, je±li lim

n→∞

a

n

= g

oraz lim

n→∞

b

n

= h

, to

lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = g + h,

lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = g − h,

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = g · h,

lim

n→∞

a

n

b

n

=

g

h

,

przy czym w ostatniej równo±ci zakªadamy, »e b

n

6= 0

oraz h 6= 0.

Dowód. Udowodnimy tylko najtrudniejszy przypadek  ci¡gªo±¢ ilorazu. Ustalmy ε > 0. Dla

dowolnego δ > 0 istnieje N(δ) takie, »e dla n ≥ N(δ) zachodzi |a

n

− g| < δ

oraz |b

n

− h| < δ

.

Wobec tego






a

n

b

n

−

g

h






=

|h a

n

− g b

n

|

|h| · |b

n

|

≤

|h| · |a

n

− g| + |g| · |h − b

n

|

|h| · |b

n

|

.

Zaªó»my, »e δ ≤

|h|

2

. Wtedy






a

n

b

n

−

g

h






<

|h| · δ + |g| · δ

|h| · |h − δ|

≤ δ

|h| + |g|

|h| ·

|h|

2

.

Je±li dodatkowo δ ≤

ε |h|

2

2|h|+2|g|

, to prawa strona nie przekracza ε. Ostatecznie dla n ≥ N(δ) dla

δ = min(

|h|

2

,

ε |h|

2

2|h|+2|g|

)

otrzymujemy






a

n

b

n

−

g

h






< ε .

To dowodzi tezy.
Uwaga. Nie jest konieczne jawne wskazanie wielko±ci δ w powy»szym dowodzie, zupeªnie wy-

starczy uzasadni¢, »e δ speªniaj¡ce odpowiednie warunki istnieje.

Wniosek. Indukcyjnie mo»na udowodni¢, »e lim

n→∞

a

k
n

= (lim

n→∞

a

n

)

k

dla wszystkich k ∈ N

i wszystkich ci¡gów zbie»nych (a

n

)

. Innymi sªowy, funkcja R 3 x 7→ x

k

∈ R

jest ci¡gªa dla

ka»dego k ∈ N.

Przykªad 4. Niech a

n

=

p n+q
r n+s

, r 6= 0. Wówczas

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

p +

q

n

n +

s

n

=

p + q lim

n→∞

1

n

n + s lim

n→∞

1

n

=

p

s

.

Analogicznie mo»na obliczy¢ wiele podobnych granic.

Przykªad 5. Rozwa»my ci¡g (a

n

)

z przykªadu 2. Wiemy, »e jest on zbie»ny  nazwijmy

granic¦ g. Poniewa» a

n+1

= a

n

+

1

a

n

− 1

, wi¦c

g = lim

n→∞

a

n+1

= lim

n→∞

a

n

+

1

lim

n→∞

a

n

− 1 = g +

1

g

− 1,

sk¡d ªatwo g = 1.

5

Przykªad 6. Rozwa»my ci¡g (c

n

)

z przykªadu 2. Zaªó»my (nie wprost), »e jest on zbie»ny 

nazwijmy granic¦ g. Poniewa» c

n+1

= (1 −

1

n

2

) c

n

+ 1

, wi¦c

g = lim

n→∞

c

n+1

=



1 + lim

n→∞

1

n

2



lim

n→∞

a

n

+ 1 = g + 1,

sprzeczno±¢. Zatem ci¡g c

n

nie jest zbie»ny (i wobec tego jest rozbie»ny do niesko«czono±ci).

Twierdzenie. Pot¦gowanie liczb dodatnich jest funkcj¡ ci¡gª¡. ‘ci±lej,

(0, ∞) × R 3 (a, b) 7→ a

b

∈ R

jest funkcj¡ ci¡gª¡. Innymi sªowy, je±li lim

n→∞

a

n

= g

, lim

n→∞

b

n

= h

, a

n

> 0

oraz g > 0, to

lim

n→∞

a

b

n

n

= g

h

.

Podobnie logarytmowanie, tj. funkcja

(0, ∞) \ {1}

× (0, ∞) 3 (a, b) 7→ log

a

b ∈ R

jest funkcj¡ ci¡gª¡.

Dowód tego twierdzenia zamieszczony b¦dzie wraz z wygodn¡ denicj¡ pot¦gowania i logarytmowania w

rozdziale o szeregach.

Przykªad 7. Rozwa»my ci¡g b

n

z przykªadu 2. Niech g b¦dzie jego granic¡. Poniewa» b

n+1

=

√

2 + b

n

, otrzymujemy g =

√

2 + g

, sk¡d g > 0 i g

2

= 2 + g

. Ostatecznie g = 2.

Przykªad 8. Niech a

n

=

√

n (

√

n + 1 −

√

n − 1)

. Wówczas:

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

√

n ·

((n + 1) − (n − 1))

√

n + 1 +

√

n − 1

= lim

n→∞

2

q

1 +

1

n

+

q

1 −

1

n

=

2

q

1 + lim

n→∞

1

n

+

q

1 − lim

n→∞

1

n

= 1.

W przypadku, gdy nie da si¦ zastosowa¢ twierdze« o rachunku granic, potrzebne s¡ inne

metody. Poni»sze twierdzenie dostarcza u»ytecznej techniki.

Twierdzenie. Niech (a

n

)

b¦dzie ci¡giem liczb dodatnich. Je±li dla pewnego g ∈ (0, ∞) zacho-

dzi

lim sup

n→∞

a

n+1

a

n

< g,

to a

n

< g

n

dla prawie wszystkich n i lim sup

n→∞

n

√

a

n

< g

. Analogicznie je±li

lim inf

n→∞

a

n+1

a

n

> g,

to a

n

> g

n

dla prawie wszystkich n i lim inf

n→∞

n

√

a

n

> g

. Podobnie z warunku

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= g

wynika, »e lim

n→∞

n

√

a

n

= g

.

6

Dowód. Zaªó»my, »e zachodzi pierwszy z warunków. Niech h speªnia lim sup

n→∞

a

n+1

a

n

< h < g

.

Istnieje N ∈ N takie, »e

a

n+1

a

n

< h

dla n ≥ N. Niech M ∈ N b¦dzie tak du»e, »e

h

M

g

m

< a

N

g

N

.

Wówczas dla n ≥ M + N zachodzi:

a

n

= a

N

·

a

N +1

a

N

· ... ·

a

n−1

a

n

≤ a

N

h

n−N

≤ a

N

h

M

h

n−M −N

< g

M +N

h

n−M −N

.

W szczególno±ci a

n

< g

n

dla n ≥ M + N. St¡d te»

lim sup

n→∞

n

√

a

n

≤ lim sup

n→∞

n

p

g

M +N

h

n−M −N

= h · lim sup

n→∞

n

r

g

M +N

h

M +N

= h < g.

Analogicznie dowodzi si¦ drugiej cz¦±ci twierdzenia, a trzecia wynika z dwóch poprzednich.

Wniosek. Dla ka»dego K > 1, lim

n→∞

n

K

n

= 0

.

Dowód. Niech a

n

=

n

K

n

. Wówczas

a

n+1

a

n

=

n+1

K n

=

1

K

+

1

K n

, a wi¦c lim sup

n→∞

a

n+1

a

n

=

1

K

<

1+K

2K

i wobec tego 0 < a

n

< (

1+K

2K

)

n

dla prawie wszystkich n. Z twierdzenia o trzech ci¡gach wynika,

»e lim

n→∞

a

n

= 0

.

Wniosek. Zachodzi lim

n→∞

n

√

n = 1

.

Dowód. Wystarczy zastosowa¢ trzeci¡ cz¦±¢ twierzdenia do ci¡gu a

n

= n

.

Twierdzenie. Niech (a

n

)

b¦dzie ci¡giem liczbowym. Je±li dla pewnego g ∈ R zachodzi

lim sup

n→∞

(a

n+1

− a

n

) < g,

to a

n

< n g

dla prawie wszystkich n i lim sup

n→∞

a

n

n

< g

. Analogicznie je±li

lim inf

n→∞

(a

n+1

− a

n

) > g,

to a

n

> n g

dla prawie wszystkich n i lim inf

n→∞

a

n

n

> g

. Podobnie z warunku

lim

n→∞

(a

n+1

− a

n

) = g

wynika, »e lim

n→∞

a

n

n

= g

.

Dowód. Wystarczy zastosowa¢ poprzednie twierdzenie do ci¡gu 2

a

n

i liczby 2

g

oraz skorzysta¢

z ci¡gªo±ci pot¦gowanie i logarytmowania.
Wniosek. Je±li ci¡g liczbowy (a

n

)

jest zbie»ny do g, to ci¡g (A

n

)

±rednich:

A

n

=

a

1

+ a

2

+ ... + a

n

n

równie» jest zbie»ny do g.
Dowód. Niech x

n

= n A

n

= a

1

+ a

2

+ ... + a

n

. Zachodzi:

lim

n→∞

(x

n+1

− x

n

) = lim

n→∞

a

n+1

= g,

wi¦c na mocy poprzedniego twierdzenia,

lim

n→∞

A

n

= lim

n→∞

x

n

n

= g .

7