Analiza matematyczna 1

Notatki do wykªadu

Mateusz Kwa±nicki

1 Indukcja matematyczna

Przykªad 1. Pewnego popoªudnia Kubu± Puchatek kupiª pust¡ beczk¦, która mie±ci 20 sªoików

miodu, i wlaª do niej wszystkie swoje zapasy. Co dzie« rano Prosiaczek przynosi Kubusiowi

nowy sªoik miodu, który Kubu± dolewa do beczki (a sªoik oddaje Prosiaczkowi). Co dzie«

wieczorem Kubu± zjada 5% zawarto±ci beczki.

Popoªudniami Mi± o Bardzo Maªym Rozumku zastanawia si¦, czy kiedy± zabraknie mu

miejsca w beczce. Czy umiesz mu pomóc?
Rozwi¡zanie. W chwili, gdy Kubu± kupiª beczk¦, miejsca nie brakowaªo. Je±li którego± popªud-

nia beczka nie jest przepeªniona i zawiera x sªoików miodu (x ≤ 20), to w nocy jest tam

95

100

x

sªoików, a nast¦pnego popoªudnia 

95

100

x + 1

sªoików. Skoro x ≤ 20, to

95

100

x + 1 ≤

95

100

· 20 + 1 = 19 + 1 = 20,

czyli po upªywie jednego dnia beczka równie» nie jest przepeªniona. A wi¦c beczka wystarczy

na Kubusiowe potrzeby.

Zastosowany powy»ej argument nosi nazw¦ indukcji matematycznej. W skrócie: je±li

pewne twierdzenie: (1) jest prawdziwe pewnego dnia; oraz (2) jest prawdziwe jutro, je±li jest

prawdziwe dzisiaj; to automatycznie jest prawdziwe zawsze (od owego pocz¡tkowego dnia).

Gdy ponumerujemy dni liczbami naturalnymi, otrzymamy nast¦puj¡ce zupeªnie ±cisªe sformu-

ªowanie.
Zasada indukcji matematycznej. Je±li pewne twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej (kon-

kretnej) liczby naturalnej k, oraz dla dowolnego n ≥ k z prawdziwo±ci twierdzenia dla liczby n

wynika jego prawdziwo±¢ dla liczby n + 1, to twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb

naturalnych nie mniejszych od k.

Zasad¦ indukcji matematycznej zwykle uznaje si¦ za aksjomat (czyli zdanie prawdziwe, któ-

rego si¦ nie dowodzi) w teorii liczb naturalnych. Przedstawimy teraz kilka wa»nych zastosowa«.
Przykªad 2 (Wie»e z Hanoi). Trzy pionowe pr¦ty s¡ przytwierdzone do podªo»a. Na lewy

naªo»one jest jeden na drugim osiem kr¡»ków o coraz mniejszych ±rednicach. Zadanie polega na

przeniesieniu wszystkich kr¡»ków na prawy pr¦t przy zachowaniu dwóch zasad: (1) w jednym

ruchu wolno przenie±¢ tylko jeden kr¡»ek; oraz (2) wi¦kszy kr¡»ek nie mo»e znale¹¢ si¦ na

mniejszym. Ile ruchów jest potrzebnych do przeniesienia caªej wie»y?
Uwaga. Powy»sza ªamigªówka zostaªa sformuªowana przez francuskiego matematyka Edouarda

Lucasa w 1883 roku. Za Matematyk¡ konkretn¡:

Lucas ubarwiª swoje zadanie legend¡ o znacznie wy»szej Wie»y Brahmy, która miaªa

mie¢ 64 kr¡»ki z czystego zªota spoczywaj¡ce na 3 diamentowych igªach. U zarania

czasu Bóg umie±ciª te zªote kr¡»ki na pierwszej z igieª i poleciª grupie mnichów,

aby przeªo»yli je na igª¦ trzeci¡ zgodnie z podanymi reguªami. Mnisi pracuj¡ bez

wytchnienia dzie« i noc. Kiedy sko«cz¡, wie»a rozsypie si¦ i nast¡pi koniec ±wiata.

Miªo±nicy Beskidu S¡deckiego z pewno±ci¡ zetkn¦li si¦ z t¡ ªamigªówk¡ w Schronisku na Niemco-

wej, gdzie znajduj¡ si¦ drewniane wie»e z Hanoi z siedmioma pi¦trami (do nabycia u bazowego!).

1

Rozwi¡zanie. W pewnym momencie trzeba przesun¡¢ najwi¦kszy kr¡»ek  wówczas caªa wie»a

bez najwi¦kszego kr¡»ka musi spoczywa¢ na trzecim, niewykorzystywanym pr¦cie. St¡d ªatwo

wywnioskowa¢, »e optymalnym rozwi¡zaniem jest

•

przeniesienie caªej wie»y bez najwi¦kszego kr¡»ka na ±rodkowy pr¦t;

•

przeniesienie najwi¦kszego kr¡»ka na prawy pr¦t;

•

przeniesienie wie»y ze ±rodkowego pr¦ta na prawy.

W ten sposób zredukowali±my zadanie do przeniesienia wie»y o jeden poziom mniejszej.

Wygl¡da wi¦c na to, »e wygodnie jest utrudni¢ rozwa»ane zadanie: niech na lewym pr¦cie

spoczywa nie 8, a n kr¡»ków. Oznaczmy najmniejsz¡ mo»liw¡ liczb¦ ruchów przez h

n

. Zgodnie

z powy»sz¡ strategi¡, h

n+1

= h

n

+ 1 + h

n

= 2h

n

+ 1

i oczywi±cie h

1

= 1

. St¡d h

2

= 3

, h

3

= 7

itd.; ªatwo policzy¢, »e h

8

= 255

. A co z indukcj¡?

Po chwili namysªu mo»na zgadywa¢, »e h

n

= 2

n

− 1

. Jak to udowodni¢? Indukcyjnie:

• h

1

= 1 = 2

1

− 1

, wi¦c twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1;

•

je±li h

n

= 2

n

− 1

, to

h

n+1

= 2h

n

+ 1 = 2 (2

n

− 1) + 1 = 2

n+1

− 1.

Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla ka»dego n ≥ 1.

W szczególno±ci z powy»szego rozumowania wynika, »e mnisi z Brahmy b¦d¡ musieli wyko-

na¢ a» 2

64

− 1 = 18 446 744 073 709 551 615

ruchów.

Przykªad 3. Dla dowolnego n ≥ 1 zachodzi

1

2

+ 2

2

+ 3

2

+ ... + n

2

=

n (n + 1) (2n + 1)

6

.

Dowód. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1, bowiem

1

2

=

1 · 2 · 3

6

.

Zaªó»my, »e twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego n. Wówczas

1

2

+ 2

2

+ 3

2

+ ... + n

2

+ (n + 1)

2

=

n (n + 1) (2n + 1)

6

+ (n + 1)

2

=

n + 1

6

n (2n + 1) + 6(n + 1)

=

n + 1

6

(2n

2

+ 7n + 6)

=

(n + 1) (n + 2) (2n + 3)

6

,

czyli twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n + 1. To ko«czy dowód na mocy zasady indukcji

matematycznej.
Przykªad 4 (wzór dwumianowy Newtona). Niech a, b b¦d¡ liczbami rzeczywistymi. Wiadomo,

»e

(a + b)

2

= a

2

+ 2 a b + b

2

,

(a + b)

3

= a

3

+ 3 a

2

b + 3 a b

2

+ b

3

,

(a + b)

4

= a

4

+ 4 a

3

b + 6 a

2

b

2

+ 4 a b

3

+ b

4

,

...

2

Mo»na zatem przypuszcza¢, »e

(a + b)

n

=

n

0



a

n

+

n

1



a

n−1

b +

n

2



a

n−2

b

2

+

n

3



a

n−3

b

3

+ ... +



n

n − 1



a b

n−1

+

n

n



b

n

,

gdzie

n
k

s¡ odpowiednimi wspóªczynnikami. Okazuje si¦, »e tak jest w istocie i ponadto

n

k



=

n!

k! (n − k)!

,

0 ≤ k ≤ n.

Przypominamy, »e 0! = 1 oraz (n + 1)! = (n + 1) · n! dla n ≥ 0.
Dowód. Dla n = 0 twierdzenie jest prawdziwe, bowiem

(a + b)

0

= 1 =

0

0



a

0

b

0

,

cho¢ mo»na mie¢ w¡tpliwo±ci, co je±li a = 0, b = 0 lub a + b = 0. Zacznijmy wi¦c od n = 1:

(a + b)

1

=

1

0



a +

1

1



b.

Zaªó»my, »e wzór dwumianowy Newtona zachodzi dla pewnego n. Wówczas:

(a + b)

n+1

= (a + b)

n

0

a

n

+

n

1

a

n−1

b +

n

2

a

n−2

b

2

+

n

3

a

n−3

b

3

+ ... +

n
n

b

n

=

n

0

a

n+1

+

n

1

a

n

b +

n

2

a

n−1

b

2

+

n

3

a

n−2

b

3

+ ... +

n
n

a b

n

+

+

n

0

a

n

b +

n

1

a

n−1

b

2

+

n

2

a

n−2

b

3

+ ... +

n

n−1

a b

n

+

n
n

b

n+1

=

n

0

a

n+1

+

n

0

+

n

1

a

n

b +

n

1

+

n

2

a

n−1

b

2

+ ... +

n

n−1

+

n
n

a b

n

+

n
n

b

n+1

.

Wystarczy teraz sprawdzi¢, »e:

n

0



= 1 =

n + 1

0



,

n

n



= 1 =

n + 1

n + 1



,

oraz



n

k − 1



+

n

k



=

n + 1

k



,

1 ≤ k ≤ n,

(1)

i teza wynika z zasady indukcji matematycznej.
Uwaga. Krócej wzór dwumianowy mo»na zapisa¢ nast¦puj¡co:

(a + b)

n

=

n

X

k=0

n

k



a

n−k

b

k

,

o ile zgodzimy si¦ wyj¡tkowo przyj¡¢, »e 0

0

= 1

.

‚wiczenie 1. Zapisa¢ dowód wzoru dwumianowego korzystaj¡c z notacji P.
‚wiczenie 2. Uzasadni¢ wzór (1).
‚wiczenie 3. Wywnioskowa¢ ze wzoru dwumianowego, »e:

n

0



+

n

1



+

n

2



+ ... +

n

n



= 2

n

;

n

0



−

n

1



+

n

2



−

n

3



+ ... + (−1)

n

n

n



= 0;

3

Przykªad 5. Dla dowolnego n ≥ 1, ostatnia cyfra zapisu dziesi¦tnego liczby 15

n

+ (−9)

n

to 6.

Dowód. Dla n = 1 rozwa»ana liczba to 6, ok. Zaªó»my, »e 15

n

+ (−9)

n

ko«czy si¦ szóstk¡.

Wyliczamy:

15

n+1

+ (−9)

n+1

= 15 · 15

n

− 9 · (−9)

n

= (15

n

+ (−9)

n

) + 14 · 15

n

− 10 · (−9)

n

= (15

n

+ (−9)

n

) + 210 · 15

n−1

− 10 · (−9)

n

,

a wi¦c liczba 15

n+1

+ (−9)

n+1

ma t¦ sam¡ ostatni¡ cyfr¦, co 15

n

+ (−9)

n

. Teza wynika z zasady

indukcji matematycznej.

2 Liczby rzeczywiste

Liczby naturalne (caªkowite dodatnie, ozn. N), caªkowite (ozn. Z) i wymierne (ozn. Q) s¡

stosunkowo proste w opisie i do±¢ ªatwo je skonstruowa¢ (b¦dzie to by¢ mo»e zrobione na kursie

Logika i struktury formalne). Zakªadamy, »e czytelnik zna podstawowe fakty z teorii liczb.

Liczby rzeczywiste (ozn. R) to du»o bardziej skomplikowany zbiór. Zwykle wyobra»a si¦, »e R

to o± liczbowa z zaznaczonymi punktami 0 i 1. Jest to bardzo dobra intuicja, ale na formaln¡

denicj¦ si¦ nie nadaje. S¡ dwa podej±cia: konstruktywne (np. konstrukcja Dedekinda) i

aksjomatyczne (np. to przedstawione poni»ej).

Zanim omówimy podstawowe wªasno±ci liczb rzeczywistych, podkre±lmy, »e ich formalnie

poprawna konstrukcja powstaªa dopiero w XX w., natomiast poprawnie posªugiwano si¦ tym

poj¦ciem co najmniej kilkadziesi¡t lat wcze±niej. Wniosek: dobre intuicje s¡ w matematyce co

najmniej równie wa»ne, co formalne dowody.

Przede wszystkim w zbiorze liczb rzeczywistych mo»na wykonywa¢ dodawanie. W zbiorze

R

jest wyró»niona liczba 0. Dodawanie ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:

dla wszystkich a, b, c : (a + b) + c = a + (b + c)

(ª¡czno±¢),

(2)

dla wszystkich a, b : a + b = b + a

(przemienno±¢),

(3)

dla wszystkich a : a + 0 = a,

(4)

dla ka»dego a istnieje b takie, »e : a + b = 0.

(5)

W zbiorze liczb rzeczywistych mo»na równie» mno»y¢. Wyró»niona jest liczba 1, ró»na od 0.

Mno»enie ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:

dla wszystkich a, b, c : (a · b) · c = a · (b · c)

(ª¡czno±¢),

(6)

dla wszystkich a, b : a · b = b · a

(przemienno±¢),

(7)

dla wszystkich a : a · 1 = a,

(8)

dla ka»dego a 6= 0 istnieje b takie, »e : a · b = 1.

(9)

Zachodzi prawo rozdzielno±ci:

dla wszystkich a, b, c : (a + b) · c = a · c + b · c.

(10)

Ponadto liczby rzeczywiste uporz¡dkowane s¡ przez relacj¦ bycia mniejszym, która ma nast¦-

puj¡ce wªasno±ci:

dla wszystkich a, b : a = b lub a < b lub b < a,

(11)

dla wszystkich a, b : je±li a < b, to nieprawda, »e b < a,

(12)

dla wszystkich a, b, c : je±li a < b oraz b < c, to a < c,

(13)

dla wszystkich a, b, c : je±li a < b, to a + c < b + c,

(14)

dla wszystkich a, b, c : je±li a < b oraz 0 < c, to a · c < b · c.

(15)

4

Wreszcie ostatnia wªasno±¢, nazywana zasad¡ ci¡gªo±ci

ka»dy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny;

ka»dy niepusty i ograniczony z doªu zbiór liczb rzeczywistych ma kres dolny.

(16)

Wyja±nienie: zbiór A nazywamy ograniczonym z góry, je±li istnieje liczba m taka, »e a ≤ m

dla wszystkich a ∈ A; liczb¦ m nazywamy ograniczeniem górnym. Kres górny zbioru A to

najmniejsze z ogranicze« górnych (o ile najmniejsza taka liczba istnieje). Analogicznie okre±la

si¦ poj¦cie zbioru ograniczonego z doªu i kresu dolnego. Zbiór nazywamy ograniczonym, je±li

jest ograniczony z doªu i z góry.

Kres górny zbioru A oznaczamy przez sup A, a kres dolny przez inf A. Gdy A jest nieogra-

niczony z góry, to zapisujemy to w postaci sup A = ∞; analogicznie gdy A jest nieograniczony

z doªu, to piszemy inf A = −∞. Podkre±lmy, »e ∞ oraz (−∞) nie s¡ liczbami.
Uwaga. Kres górny to co innego ni» element najwi¦kszy! Kresem górnym zbioru {x : x < 0}

jest 0, cho¢ nie ma on elementu najwi¦kszego.

Przypomnijmy, »e je±li a < b lub a = b, to piszemy a ≤ b. Je±li b < a, to piszemy a > b;

analogicznie je±li b ≤ a, to piszemy a ≥ b. T¦ liczb¦ b, dla której a + b = 0, oznaczamy
(−a)

. Odejmowanie deniujemy poprzez a − b = a + (−b). Analogicznie gdy a 6= 0, to t¦

liczb¦ b, dla której a · b = 1, oznaczamy a

−1

, za± dzielenie deniujemy wzorem a/b = a · b

−1

.

Dla a ∈ R i n ∈ N oznaczamy przez a

n

iloczyn n liczb a, tj. a

1

= a

oraz a

n+1

= a · a

n

.

Ponadto oznaczamy a

−n

= (a

−1

)

n

= (a

n

)

−1

. Je±li a 6= 0, to przyjmujemy a

0

= 1

. Nie nadajemy

znaczenia symbolowi 0

0

.

Zbiór z dziaªaniami speªniaj¡cymi (2)(10) nazywamy ciaªem liczbowym. Je±li speªnione s¡ warunki (2)(15),

to mamy do czynienia z uporz¡dkowanym ciaªem liczbowym. Przykªadem uporz¡dkowanego ciaªa liczbowego jest

zbiór liczb wymiernych; nie speªnia on jednak warunku (16). Uporz¡dkowane ciaªo liczbowe speªniaj¡ce

zasad¦ ci¡gªo±ci musi by¢ identyczne ze zbiorem liczb rzeczywistych. Bardzo istotne w dowodzie tego

faktu jest nast¦puj¡ce, z pozoru banalne twierdzenie.

Twierdzenie (o g¦sto±ci liczb wymiernych). Niech A b¦dzie zbiorem dodatnich liczb wymiernych. Wówczas
inf A = 0

.

Dowód. Niech a = inf A. Oczywi±cie a ≥ 0, wi¦c a+a ≥ a. Ponadto dla ka»dej liczby wymiernej q > 0 zachodzi
a ≤

q
2

, a wi¦c a + a ≤ q. St¡d wynika, »e a + a ≤ sup A = a. Ostatecznie a + a = a, sk¡d a = 0.

Przykªad 6. Zasada ci¡gªo±ci pozwala udowodni¢, »e istnieje pierwiastek z dwóch, tj. taka

liczba a > 0, »e a · a = 2.
Dowód. Wystarczy okre±li¢

a = sup {b : b · b ≤ 2

oraz b > 0} .

Dla dowolnej liczby wymiernej q > 0 istnieje liczba wymierna r > 0 taka, »e 2 − q ≤ r · r ≤ 2 (jak j¡ znale¹¢?).

Wobec denicji a, zachodzi a ≥ r, sk¡d a · a ≥ r · r ≥ 2 − q, czyli 2 − a · a ≤ q. Z twierdzenia o g¦sto±ci liczb

wymiernych wynika wi¦c, »e 2 − a · a ≤ 0.

Z drugiej strony dla dowolnej liczby wymiernej q > 0 istnieje liczba wymierna r > 0 taka, »e 2 ≤ r·r ≤ 2+q.

Je±li teraz b · b ≤ 2 i b > 0, to b · b ≤ r · r, sk¡d b ≤ r. Wynika st¡d, »e r jest ograniczeniem górnym zbioru,

którego supremum wynosi a, czyli a ≤ r. St¡d a · a ≤ r · r ≤ 2 + q, czyli a − 2 ≤ q. Z twierdzenia o g¦sto±ci

liczb wymiernych wynika, »e a − 2 ≤ 0.

Ostatecznie stwierdzamy, »e 0 ≤ a − 2 ≤ 0, czyli a = 2.

Analogicznie mo»na okre±li¢ pot¦gowanie dodatnich liczb rzeczywistych. Wygodniej b¦dzie jednak wprowa-

dzi¢ inn¡ denicj¦ znacznie pó¹niej, w rozdziale o szeregach.

Jak wiadomo,

√

2

nie jest liczb¡ wymiern¡. Istotnie, gdyby byªo, to mieliby±my

√

2 =

m

n

dla pewnych m, n bez wspólnego czynnika pierwszego (tj. wzgl¦dnie pierwszych). Ale wtedy
m

2

= 2n

2

, czyli m jest podzielne przez 2, i wobec tego n

2

= 2(

m

2

)

2

, czyli n te» jest parzyste.

Sprzeczno±¢.

5

Przykªad 7. Wyznaczymy kres dolny zbioru

A =



m

n

+

n

n+m

: n, m ∈ N

.

Zauwa»my, »e

m

n

+

n

n+m

≥

m

n+m

+

n

n+m

= 1

, zatem A jest ograniczony z doªu i inf A ≥ 1. Ponadto

je±li przyjmiemy n = k m, to otrzymamy

m

k m

+

k m

m+k m

=

1
k

+

k

1+k

≤ 1 +

1
k

.

Wobec tego inf A ≤ 1 +

1
k

dla ka»dego k ∈ N. St¡d inf A ≤ 1 i ostatecznie inf A = 1.

Uwaga. Ostatni krok rozumowania formalnie powinien wygl¡da¢ nast¦puj¡co. Dla dowolnej liczby wymiernej
q > 0

istnieje k ∈ N taka, »e

1
k

< q

. Ponadto A zawiera element nie wi¦kszy od 1 +

1
k

≤ 1 + q

. Wobec tego

inf A ≤ 1 + q

, czyli inf A − 1 ≤ q. Z twierdzenia o g¦sto±ci liczb wymiernych wynika, »e inf A − 1 ≤ 0.

Przykªad 8. Zachodzi 0, 99999... = 1.

Dowód. Šatwo zawua»y¢, »e 0, 99999... ≥ 1 − q dla ka»dej liczby wymiernej q > 0. St¡d, wobec twierdzenia o

g¦sto±ci liczb pierwszych, 0, 99999... ≥ 1. Nierówno±¢ w drug¡ stron¦ jest oczywista.

Uwaga. ‘cisªy sens nadamy symbolowi 0, 99999... pó¹niej, w rozdziale o szeregach.

Najwa»niejsz¡ nierówno±ci¡ jest x

2

≥ 0

(x ∈ R). Caªkiem elementarnie mo»na z niej

wywnioskowa¢ wiele interesuj¡cych twierdze«.

Przykªad 9. Rozwa»my trójmian kwadratowy p x

2

+ q x + r

(p > 0). Gdy q

2

− 4 p r < 0

to ,

za± p x

2

+ q x + r > 0

dla wszystkich x. Gdy q

2

− 4 p r = 0

, to p x

2

+ q x + r ≥ 0

dla wszystkich

x

. Gdy q

2

− 4 p r > 0

, to p x

2

+ q x + r

przyjmuje zarówno dodatnie, jak ujemne warto±ci.

Dowód. Teza wynika wprost z równo±ci p x

2

+ q x + r = p



(x +

q

2p

)

2

−

q

2

−4 p r

4p

 oraz z najwa»-

niejszej nierówno±ci.

Liczba q

2

− 4 p r

nazywana jest wyró»nikiem trójmianu kwadratowego p x

2

+ q x + r

.

Przykªad 10 (nierówno±¢ Cauchy'ego-Schwarza-Buniakowskiego). Dla dowolnych liczb rze-

czywistych a

1

, a

2

, a

3

, ..., a

n

oraz y

1

, y

2

, y

3

, ..., y

n

zachodzi

(a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

+ ... + a

n

b

n

)

2

≤ (a

2
1

+ a

2
2

+ a

2
3

+ ... + a

2
n

) (b

2
1

+ b

2
2

+ b

2
3

+ ... + b

2
n

).

Dowód. Zachodzi:

0 ≤ (a

1

x − b

1

)

2

+ (a

2

x − b

2

)

2

+ (a

3

x − b

3

)

2

+ ... + (a

n

x − b

n

)

2

= (a

2
1

+ a

2
2

+ ... + a

2
n

) x

2

+ 2(a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ ... + a

n

b

n

)x + (b

2
1

+ b

2
2

+ b

2
3

+ ... + b

2
n

).

Oznacza to, »e wyró»nik trójmianu kwadratowego po prawej stronie jest niedodatni.

Wa»nymi pozdbiorami R s¡ przedziaªy. Je±li a < b, to oznaczamy:

(a, b) = {c : a < c < b} ,

[a, b] = {c : a ≤ c ≤ b} ,

[a, b) = {c : a ≤ c < b} ,

(a, b] = {c : a < c ≤ b} .

Ponadto deniujemy przedziaªy nieograniczone:

(a, ∞) = {c : a < c} ,

[a, ∞) = {c : a ≤ c} ,

(−∞, b) = {c : c < b} ,

(−∞, b] = {c : c ≤ b} .

6