Wykład 15

Elektrostatyka

Obecnie wiadome są cztery fundamentalne oddziaływania: silne, elektromagnetyczne,

słabe i grawitacyjne. Silne i słabe oddziaływania odgrywają decydującą role w budowie jąder

atomowych i cząstek elementarnych. Oddziaływanie grawitacyjne jest odpowiedzialne za

budowę galaktyk, układów planetarnych czyli układów ciał o dużych masach. Oddziaływanie

elektromagnetyczne jest jednym z najważniejszych w fizyce i pozwala wyjaśnić nie tylko

zjawiska elektryczne i magnetyczne ale też siły zespalające materię na poziomie atomów,

cząsteczek.

Poznawanie zjawisk elektromagnetycznych zaczniemy od elektrostatyki. Elektrostatyka

zajmuje się badaniem właściwości i wzajemnego oddziaływania nieruchomych ładunków.

Fundamentalne właściwości ładunków

Elektryczne oddziaływania zachodzą między cząstkami, które posiadają tak zwany

ładunek elektryczny. Z doświadczeń wynika, że ładunki mogą być dwóch różnych znaków.

Ładunki dodatnie powstają np. na szkle potartym kawałkiem skóry, natomiast ładunki ujemne

powstają na bursztynie potartym kawałkiem wełny. W odróżnieniu od siły oddziaływania

grawitacyjnego, która zawsze jest siłą przyciągania, elektrostatyczna siła oddziaływania dwóch

ładunków może być lub siłą przyciągania lub siłą odpychania: ciała niosące ładunki

jednoimienne odpychają się natomiast ciała niosące ładunki różnoimienne przyciągają się.

Z doświadczeń wynikają trzy fundamentalne właściwości ładunku elektrycznego:

1. Ładunek elektryczny może przybierać jedynie wartości będące - co do modułu

-wielokrotnością ładunku elektronu:

e

n

q

⋅

=

, (15.1)

gdzie

n

jest ujemną lub dodatnią liczbą całkowitą, a

e

jest ładunkiem elektronu.

W układzie SI jednostką ładunku jest kulomb (

C

). Wartość ładunku elektronu w

układzie SI wynosi

C

e

19

10

6

.

1

−

⋅

=

.

Właściwość (15.1), czyli dyskretność ładunku elektrycznego nosi nazwę kwantyzacji

ładunku. Mówimy, że ładunek elektryczny jest wielkością skwantowaną.

185

2. Całkowity ładunek elektryczny układu odosobnionego, tzn. suma algebraiczna

ładunków ujemnych i dodatnich układu, jest wielkością inwariantną (niezmienniczą).

Właściwość ta nazywa się prawem zachowania ładunku elektrycznego.

Ładunki jednoimienne odpychają się a ładunki różnoimienne przyciągają się

3. Wartość ładunku elektrycznego nie zależy od tego czy ładunek jest ruchomy, czy

nieruchomy. Mówimy więc, że ładunek elektryczny jest wielkością relatywistycznie

niezmienniczą.

Pole elektryczne. Natężenie i linii pola elektrycznego. Prawo Coulomba.

Jedynym sposobem wykrycia i zmierzenia ładunków elektrycznych jest badanie

oddziaływania zachodzącego między ciałami naładowanymi. Istnienie w przestrzeni pola

elektromagnetycznego możemy wykryć obserwując zachowanie małego (punktowego)

ładunku elektrycznego - ładunku próbnego. Z doświadczeń wynika, że jeżeli w przestrzeni

istnieje pole elektryczne, to na mały próbny ładunek

q

działa siła wprost proporcjonalna do

q

)

,

,

(

)

,

,

(

z

y

x

E

q

z

y

x

F





⋅

=

. (15.2)

Wektor

)

,

,

(

z

y

x

E



jest funkcją współrzędnych

z

y

x ,

,

punktu w którym znajduje się ładunek

próbny

q

i nie zależy od

q

. Dla drugiego małego próbnego ładunku

/

q , umieszczonego w

tym samym punkcie o współrzędnych

z

y

x ,

,

na ładunek

/

q będzie działała siła

)

,

,

(

)

,

,

(

/

/

z

y

x

E

q

z

y

x

F





⋅

=

. (15.3)

Zgodnie z drugą zasadą Newtona pod wpływem siły (15.2) próbny ładunek będzie

poruszać się z przyspieszeniem, a zatem z obserwacji tego, że ładunek próbny umieszczony w

186

przestrzeni zaczyna poruszać się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do

q

,

wnioskujemy, że w przestrzeni istnieje pole elektryczne. Pole elektryczne działające na

nieruchomy ładunek będziemy nazywały polem elektrostatycznym.

Ze wzoru (15.2) widać, że pole elektrostatyczne albo prosto pole elektryczne w

każdym punkcie przestrzeni jest określone przez wektor

)

,

,

(

z

y

x

E



. Wektor

)

,

,

(

z

y

x

E



nazywa

się wektorem natężenia pola elektrycznego i zgodnie z (15.2) natężenie pola elektrycznego

jest równe sile działającej na ładunek próbny q (umieszczony w danym punkcie przestrzeni)

podzieloną przez ten ładunek.

q

z

y

x

F

z

y

x

E

)

,

,

(

)

,

,

(





=

. (15.4)

Jeżeli ładunek

q

jest dodatni, to kierunek E



jest taki sam jak F



.

W 1785 roku Coulomb udowodnił doświadczalnie, że siła z której ładunek

1

q działa na

ładunek

2

q wynosi

12

2

12

2

1

12

e

r

q

q

k

F





⋅

⋅

=

, (15.5)

gdzie

12

r jest odległość między ładunkami

1

q i

2

q ;

12

e



jest jednostkowym wektorem

skierowanym od pierwszego ładunku ku drugiemu ładunkowi. Stała

k

we wzorze (15.5)

zależy wyłącznie od stosowanego układu jednostek. W układzie SI

0

4

1

πε

=

k

=

9

10

9

⋅

2

2

/ C

Nm

. (15.6)

W tym wzorze współczynnik

0

ε

= 8.854·10

-12

2

2

/ Nm

C

nosi nazwę przenikalności

elektrycznej próżni.

Pisząc równanie (15.5) zakładamy, że ładunki są punktami materialnymi. Podkreślimy

również, że rozważając ładunki nieruchome pomijamy istnienie sił magnetycznych. Siły

magnetyczne między ładunkami powstają przy ruchu ładunków i będą omawiane dalej.

Ze wzoru (15.5) wynika, że siła z której ładunek

2

q działa na ładunek

1

q wynosi

12

21

2

12

2

1

21

F

e

r

q

q

k

F







−

=

⋅

⋅

=

, (15.7)

187

Tu

12

21

e

e





−

=

jest jednostkowym wektorem skierowanym od drugiego ładunku ku pierwszemu

ładunkowi. Jak i powinno być, wzór (15.7) po prostu wyraża trzecią zasadę Newtona.

Umieścimy ładunek

1

q

q

≡

w początku układu odniesienia. Wtedy oznaczając

pr

q

q

≡

2

i biorąc pod uwagę, że w kierunku dowolnego wektora

r



jednostkowy wektor jest równy:

r

r

r

r

e









≡

=

,

wzór (15.5) możemy zapisać w postaci













⋅

⋅

⋅

=

e

r

q

k

q

F

pr





3

, (15.8)

Ze wzoru (15.8) widzimy, że ładunek

q

jest źródłem pola elektrycznego o natężeniu

r

r

q

k

q

F

z

y

x

E

pr







⋅

⋅

=

=

3

)

,

,

(

. (15.9)

Poglądowym sposobom graficznego przedstawienia pola elektrycznego jest rysowanie

linii natężenia pola. Linii natężenia pola elektrycznego rysujemy w następujący sposób: 1)

styczna do linii pola w dowolnym punkcie określa zwrot natężenia pola , który pokrywa się ze

strzałką linii pola; 2) linie pola wykreśla się tak, aby liczba linii na jednostkę powierzchni

przekroju była proporcjonalna do wielkości E



. Linii natężenia pola elektrycznego

wytworzonego przez dodatni ładunek są przedstawione na rysunku niżej.

Linii natężenia pola elektrycznego ładunku naładowanego dodatnie.

188

Zasada superpozycji

Z doświadczeń wynika, że siła działająca na próbny ładunek

pr

q , umieszczony w

dowolnym punkcie (

z

y

x ,

,

) układu ładunków

n

q

q

q

,

,

,

2

1



jest wektorową sumą sił

przyłożonych do niego ze strony każdego z ładunków

i

q :

∑

∑

=

=

⋅

⋅

=

=

n

i

i

i

i

pr

n

i

i

r

r

q

k

q

z

y

x

F

z

y

x

F

1

0

3

0

1

)

,

,

(

)

,

,

(







, (15.10)

gdzie

0

i

r



jest wektorem łączącym

i

-ty ładunek układu z punktem (

z

y

x ,

,

).

Wzór (15.10) wyraża ważną w elektrostatyce zasadę superpozycji sił. Ze wzoru (15.10)

wynika, że natężenie pola elektrycznego wytwarzanego w dowolnym punkcie (

z

y

x ,

,

)

ładunkami

n

q

q

q

,

,

,

2

1



jest równe

∑

∑

=

=

⋅

=

=

n

i

i

i

i

n

i

i

r

r

q

k

z

y

x

E

z

y

x

E

1

0

3

0

1

)

,

,

(

)

,

,

(







, (15.11)

Jeżeli rozkład ładunku jest ciągły, pole wytworzone przez ciało naładowane możemy

obliczyć dzieląc ciało na nieskończenie małe kawałki o ładunku dq . Traktując każdy taki

ładunek jako ładunek punktowy obliczamy wytworzone przez niego pole

r

r

dq

k

E

d





⋅

⋅

=

3

, (15.12)

gdzie

r

jest odległością ładunku dq od punktu (

z

y

x ,

,

). Wypadkowe pole w punkcie (

z

y

x ,

,

)

znajdujemy całkując wkłady od wszystkich elementów ciała naładowanego

∫

∫

⋅

=

=

dq

r

r

k

E

d

z

y

x

E







)

,

,

(

. (15.13)

Przy wyliczeniu całki we wzorze (15.13), w zależności od geometrii naładowanego

ciała, wprowadzamy pojęcie gęstości ładunku.

Przy ciągłym rozkładzie ładunków wzdłuż linii mówimy o gęstości liniowej ładunków

elektrycznych

λ

, równej

dl

dq

l

q

l

=

∆

∆

=

∆

lim

λ

, (15.14)

189

gdzie q

∆

oznacza całkowity ładunek rozłożony wzdłuż odcinka linii o długości

l

∆

.

Jeżeli rozważamy naładowany kawałek powierzchni, to posługujemy się pojęciem

gęstości powierzchniowej ładunków

σ

, równej

S

q

S

∆

∆

=

∆

lim

σ

, (15.15)

gdzie q

∆

jest całkowitym ładunkiem elementu powierzchni

S

∆

.

W przypadku ciągłego rozkładu ładunków w pewnej objętości wprowadzamy gęstość

objętościową ładunków

ρ

, która jest równa

V

q

V

∆

∆

=

∆

lim

ρ

, (15.16)

gdzie q

∆

oznacza całkowity ładunek elementu objętości

V

∆

.

Jako przykład obliczenia pola elektrycznego w przypadku ciągłego rozkładu ładunku

rozważmy pole naładowanego pierścienia o promieniu

R

całkowity ładunek którego wynosi

Q . Znajdziemy pole elektryczne na osi pierścienia w odległości

0

x od środka.

R

x

0

r

P

dE

dE

x

α

Składowa pola wzdłuż osi

x

wytwarzane przez element

dl

pierścienia jest równe

r

x

dE

dE

dE

x

0

cos

⋅

=

⋅

=

α

.

Wprowadzając liniową gęstością ładunku

R

Q

π

λ

2

=

ze wzoru (15.12) mamy

190

2

d

d

r

l

k

E

λ

=

.

A więc

r

x

r

l

k

E

x

0

2

d

d

λ

=

.

Stąd

2

3

2

2

0

0

3

0

3

0

)

(

)

2

(

d

R

x

Q

kx

R

r

x

k

l

r

x

k

E

E

x

+

=

=

=

=

∫

π

λ

λ

.

Zwróćmy uwagę, że w środku pierścienia (x

0

= 0) E = 0, a dla x

0

>> R pole

2

0

/ x

kQ

E

→

i jest

takie samo jak pole ładunku punktowego w tej odległości.

Strumień pola elektrycznego

Rozważmy zamkniętą powierzchnie, coś w rodzaju balonu o dowolnym kształcie, w

przestrzeni gdy istnieje pole elektryczne. Podzielmy całą powierzchnie na tak małe kawałki

i

S

∆

, że na każdym z tych kawałków powierzchnię możemy uważać za płaską, a wektor

natężenie pola elektrycznego

i

E



jest prawie stałe. Przedstawmy pole takiej małej elementarnej

powierzchni wektorem

i

i

i

n

S

S





⋅

∆

=

∆

, gdzie

i

n



jest jednostkowym wektorem normalnym do

powierzchni

i

S

∆

i skierowanym na zewnątrz. Iloczyn skalarny

)

(

i

i

S

E





∆

⋅

nazywamy

strumieniem pola elektrycznego

i

∆Φ

przez element powierzchni

i

S

∆

:

191

i

i

i

S

E





∆

⋅

=

∆Φ

.

Strumień pola elektrycznego przez całą powierzchnie otrzymujemy sumując strumieni przez

wszystkie elementy powierzchni

i

i

i

i

i

S

E





∆

⋅

=

∆Φ

=

Φ

∑

∑

. (15.17)

Zmniejszając rozmiary i zwiększając liczbę elementów

i

S

∆

przechodzimy w granice w

równaniu (15.17) do całki powierzchniowej

∫

∑

∑

⋅

=

∆

⋅

=

∆Φ

=

Φ

∞

→

∞

→

i

powierzchn

po

i

i

i

i

i

i

i

S

d

E

S

E









lim

lim

. (15.18)

Jako przykład obliczmy strumień pola elektrycznego ładunku punktowego

q

przez dowolną

powierzchnie zamkniętą

S

, obejmującą ten ładunek.

Strumień pola elektrycznego

Φ

d

przez element

dS

tej powierzchni wynosi

)

cos

(

cos

2

α

α

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

Φ

dS

r

q

k

dS

E

S

d

E

d





.

Wielkość

)

cos

(

α

⋅

dS

jest polem rzutu elementu

dS

na płaszczyznę prostopadłą do wektora

r



.

Z dokładnością do nieskończenie małych wielkości można uważać, że

)

cos

(

α

⋅

dS

równa się

polu powierzchni

0

dS , którą wyznacza stożek na powierzchni kuli o promieniu

r

. A zatem

192

2

0

2

)

cos

(

r

dS

kq

dS

r

q

k

d

⋅

≅

⋅

⋅

=

Φ

α

. (15.19)

W matematyce stosunek pola powierzchni

0

dS , wyznaczonego na powierzchni kuli o

promieniu

r

przez stożek do kwadratu promienia kuli

2

0

r

dS

d

=

Ω

(15.20)

nazywa się kątem bryłowym. Kąt bryłowy określa powierzchnie

0

dS na powierzchni

wewnętrznej sfery, wyświetlanej latarką znajdującej się w początku sfery. Kąt bryłowy

mierzymy w steradianach. Jednemu steradianowi odpowiada pole powierzchni

2

0

r

dS

=

.

Ponieważ całkowite pole powierzchni kuli wynosi

2

4

r

⋅

π

, przeto pełny kąt bryłowy

odpowiadający całej powierzchni kuli wynosi

π

4

=

Ω

steradianów.

Podstawiając (15.20) do wzoru (15.19) otrzymujemy

Ω

⋅

=

⋅

=

Φ

d

kq

r

dS

kq

d

2

0

. (15.21)

Całkując to wyrażenie względem całej powierzchni

S

, tj. względem

Ω

od 0 do

π

4

znajdujemy

0

0

4

0

4

4

ε

π

ε

π

π

q

q

d

kq

=

⋅

⋅

=

Ω

⋅

=

Φ

∫

. (15.22)

Otrzymaliśmy ważny wynik: strumień pola elektrycznego ładunku punktowego

q

przez

dowolną powierzchnie zamkniętą

S

, obejmującą ten ładunek nie zależy od kształtu

powierzchni. Ze wzoru (15.22) wynika, że całkowita liczba linii pola elektrycznego

wychodzących (albo wchodzących) od ładunku jest równa

0

/

ε

q

i linie te ciągną się do

nieskończoności.

Prawo Gaussa

Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki

1

q i

2

q . Korzystając z zasady

superpozycji dla całkowitej liczby linii pola przecinającej powierzchnię zamkniętą wokół

ładunków

1

q i

2

q możemy zapisać

193

0

2

1

2

1

2

1

d

d

d

)

(

ε

q

q

S

E

S

E

S

E

E

S

d

E

+

=

+

=

⋅

+

=

⋅

=

Φ

∫

∫

∫

∫



















. (15.23)

Otrzymaliśmy, że całkowita liczba linii pola jest równa całkowitemu ładunkowi podzielonemu

przez

0

ε

. Podobnie można pokazać , że dla dowolnej liczby

n

q

q

q

,

,

,

2

1



ładunków

0

.

d

ε

wewn

Q

S

E

=

∫





, (15.24)

gdzie

∑

=

=

n

i

i

wewn

q

Q

1

.

jest całkowitym ładunkiem.

Wzór (15.24) wyraża prawo Gaussa: strumień pola wychodzący z naładowanego ciała jest

równy wypadkowemu ładunkowi podzielonemu przez

0

ε

. Jeżeli

.

wewn

Q

jest ujemne strumień

wpływa do ciała.

W sytuacji gdy na zewnątrz zamkniętej powierzchni są ładunki wypadkowy

wewnętrzny ładunek

0

.

=

wewn

Q

, a zatem ilość linii pola wchodząca do zamkniętej powierzchni

równa się ilości linii wychodzących.

c

b

a

d

Rozpatrzmy kilku przykładów obliczania pola elektrycznego na podstawie prawa

Gaussa.

1.Pole elektryczne jednorodnie naładowanej kuli o promieniu

R

.

194

r

R

E (r)

Zgodnie z kulistą symetrią zadania w dowolnym punkcie sfery o promieniu

r

wektor natężenia

pola elektrycznego ma taką samą wartość, a kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora

r



.

Wtedy korzystając z prawa Gaussa dla pola wewnątrz kuli na sferze o promieniu

r

możemy

zapisać:

.

2

4

)

4

(

wewn

Q

k

r

E

⋅

=

π

π

,

gdzie

)

3

4

(

4

3

)

3

4

(

3

3

3

r

R

Q

r

Q

wewn

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

π

π

π

ρ

)

/

(

3

3

R

r

Q

⋅

=

.

A zatem

r

R

Q

k

E

3

=

. (15.25)

2. Pole elektryczne od nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.

Ładunek otoczony przez powierzchnię walca jest równy

S

Q

wewn

⋅

=

σ

.

, gdzie

σ

jest

gęstością powierzchniową ładunku, a

S

- powierzchnią podstawy walca. Korzystając z prawa

Gaussa otrzymujemy

0

2

ε

σ

S

ES

⋅

=

,

gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca.

195

Ostatecznie otrzymujemy

0

2

ε

σ

=

E

. (15.26)

3. Pole elektryczne wewnątrz kondensatora płaskiego.

+
+
+
+
+
+
+
+

-
-
-
-
-
-
-
-

I

II

III

Płaski kondensator składa się z dwóch równoległych płyt. Pole wytwarzane przez płytę

"po lewej stronie" (rysunek) jest równe

0

min

2

/

ε

σ

=

us

E

i skierowane ku płycie. Pole

wytwarzane przez płytę po prawej stronie jest równe

0

2

/

ε

σ

=

plus

E

i skierowane jest od płyty.

196

Zatem w obszarze I

0

2

2

0

0

=









−

+

=

ε

σ

ε

σ

I

E

,

w obszarze II

0

0

0

2

2

ε

σ

ε

σ

ε

σ

−

=









−

+

−

=

II

E

,

w obszarze III

0

2

2

0

0

=

+









−

=

ε

σ

ε

σ

III

E

.

197