1

Granica i ci¸

ag lo´

s´

c funkcji.

Przygotowa la Izabela Wardach

Zadania do samodzielnego rozwi¸

azania:

1) Oblicz:
a)

lim

x→0

tgx

x

odp.: 1

b)

lim

x→1

tg(x−1)

2

x−1

odp: 0

c)

lim

x→

π

4

cosx−sinx

cos2x

odp:

√

2

2

d)

lim

x→1

sinπx

x

2

−1

odp: −

π

2

2) Oblicz:

a)

lim

x→0

1+x−

√

1−2x−x

2

2x

odp.: 1

b)

lim

x→1



1

1−x

−

3

1−x

3



odp: −1

c)

lim

x→1

1−

√

x

x−1

odp: −

1
2

3) Oblicz:
a)

lim

x→∞

x

x+1

odp:1

b)

lim

x→−∞

x

x+1

odp:1

c)

lim

x→∞

x

2

x+1

odp:+∞

d)

lim

x→∞

x

3

+7

(x−1)

2

odp:0

e)

lim

x→∞



√

x

2

+ x − x



odp:

1
2

4) Oblicz:

a)

lim

x→0

−

√

1−cosx

sinx

odp:−

√

2

2

b)

lim

x→0

+

sinx

x

2

odp:+∞

c)

lim

x→1

−

1

√

x−1

odp:−∞

d)

lim

x→−3

+

x+3

x

2

−x−12

odp:−

1
7

5) Wyznacz a i b wiedz¸

ac, ˙ze:

lim

x→∞



√

4x

2

− 4x + 2 − ax + b



= 0

odp:a = 2, b = 1 lub a = −2, b = −1

6) Wykaza´

c, ˙ze nie istniej¸

a granice:

a)

lim

x→∞

cosx

1

b)

lim

x→0

sin

1

x

7) Wykaza´

c, ˙ze funkcja f (x) =

√

1−cosx

x

nie ma granicy w punkcie x

0

= 0.

8) Dla jakiej warto´

sci m funkcja

f (x) =



x

|x|

dla

x 6= 0

m

dla

x = 0

jest ci¸

ag la w punkcie x

0

= 0: a) lewostronnie, b) prawostronnie?

odp:a) m = −1, b) m = 1.

9) Wyka˙z, ˙ze funkcja

f (x) =



(x − 1)sin

1

x−1

dla

x 6= 1

0

dla

x = 1

jest ci¸

ag la w ka˙zdym punkcie x

0

∈ R.

10) Zbadaj ci¸

ag lo´

s´

c funkcji

f (x) =







x

2

+ 1

dla

x ≤ 0

1
x

dla

0 < x < 1

x − 1

dla

x ≥ 1

odp.: funkcja nieci¸

ag la w punktach x

0

= 0 i x

1

= 1

11) Wyznacz punkty nieci¸

ag lo´

sci funkcji: f (x) =



x+3

x

2

+x−6

dla

x 6= −3

i

x 6= 2

−

1
5

dla

x = −3

lub

x = 2

odp.: x

1

= 2

12) Dla jakiej warto´

sci a funkcja

f (x) =

(

x

2

−1

x+1

dla

x 6= −1

a

dla

x = −1

jest ci¸

ag la?

odp: a = −2.

2