WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest doświadczalne zbadanie zjawiska

wypływu cieczy przez mały otwór ze zbiornika i porównanie

wyników pomiarów z obliczeniami.

2. Podstawy teoretyczne

Ruchem swobodnym cieczy nazywamy takie zjawiska,

w czasie których poddana badaniu ciekła bryła nie podlega

w całej rozciągłości wydatniejszemu oddziaływaniu ścian stałych,

lecz jest ograniczona na swych krańcach częściowo pozostałymi

partiami płynącej cieczy , częściowo zaś ośrodkiem

nie oddziałującym w wyczuwalny sposób na przebieg zjawiska.

Wypływ cieczy przez mały ostrobrzeżny otwór można

traktować jako ruch swobodny . Zjawiska te można opisywać przy

pomocy metod dynamiki cieczy doskonałej , a przy przejściu

do analogicznych zjawisk cieczy rzeczywistych wprowadzamy

jedynie współczynniki doświadczalne , nie wpływające na postać

wzorów teoretycznych.

Aby wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór był

ustalony, zwierciadło cieczy w zbiorniku musi pozostawać

w niezmiennej wysokości, a ciśnienia na zwierciadło i na strumień

wypływający z otworu musza być stałe . Aby utrzymać zwierciadło

na stałym poziomie należy dostarczać do zbiornika tyle samo

cieczy, ile w tym czasie z niego przez otwór wypływa.

Rys. 1.

Wypływ cieczy przez mały otwór w obszernym zbiorniku

F -

powierzchnia zwierciadła cieczy w zbiorniku

f -

swobodny przekrój przepływowy otworu

h - różnica poziomów pomiędzy zwierciadłem cieczy

a środkiem geometrycznym otworu

v - prędkość wypływu cieczy ze zbiornika

v

0

- prędkość z jaką zwierciadło cieczy poczęłoby się

obniżać, gdybyśmy odcięli dopływ cieczy do

zbiornika (w przypadku wypływu ustalonego

prędkość v

o

jest średnią prędkością przepływu

cieczy przez zbiornik)

p

b

, p

b

’-

ciśnienia atmosferyczne w przekrojach F i f .

Warunek ciągłości ruchu:

v

*

f

v

*

F

0

=

(1)

Stosując twierdzenie Bernoulliego:

γ

γ

/

b

2

b

2

o

p

g

2

v

p

g

2

v

h

+

=

+

+

(2)

1

WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

2

b

b

F

f

1

p

p

h

g

2

v













−









−

′

−

=

γ

(3)

Wysokość rozporządzalną H przedstawić można jako:

γ

γ

b

b

p

p

h

H

′

−

+

=

(4)

Podstawiając tą wysokość do równania (3) otrzymujemy

zależność:

2

)

F

/

f

(

1

gH

2

v

−

=

(5)

Jeżeli otwór jest bardzo mały w porównaniu z powierzchnią

zwierciadła,oraz różnica pomiędzy poziomami otworu i zwierciadła

cieczy jest niewielka, to : (f/F)

2

→

0 oraz p

b

/

-p

b

→

0. Uwzględniając

te założenia równanie na prędkość wypływu cieczy ze zbiornika

można zapisać następująco:

h

g

2

v

⋅

=

(6)

Równanie to nazywamy równaniem Torricelliego.

Natężenie przepływu możemy określić zależnością:

gh

2

f

v

f

Q

⋅

=

⋅

=

(7)

Otworem swobodnym nazywamy otwór, przez który

strumień cieczy wypływa w powietrze lub inny ośrodek gazowy.

W zjawiskach wypływu cieczy rzeczywistych wskutek istnienia

oporów ruchu prędkość wypływu jest mniejsza od teoretycznej

prędkości wypływu, obliczonej na podstawie wzoru

TORTICELLIEGO. Uwzględniamy to za pomocą współczynnika

doświadczalnego

ϕ

, zwanego współczynnikiem prędkości, którego

wartość liczbowa zależy głównie od lepkości wypływającej cieczy,

a ponadto od wielkości i kształtu otworu oraz od wysokości

napełnienia zbiornika.

Prędkość w przekroju wypływowym otworu

gh

2

v

ϕ

=

(8)

przy czym współczynnik prędkości dla wody i innych cieczy o tej

samej lepkości wynosi

ϕ

= 0,97

÷

0,98

W zagadnieniach technicznych chodzi nie tyle o prędkość

wypływu co natężenie wypływu, tj. objętość cieczy wypływającej

przez otwór w jednostce czasu.

Gdyby wypływający strumień cieczy miał ten sam przekrój

co otwór, wówczas natężenie wypływu Q = f v

W rzeczywistości strumień wypływający przez otwór

ostrobrzeżny zwęża się, tak iż jego przekrój f

c

jest mniejszy

od przekroju otworu f. Zjawisko to wywołane jest niemożnością

nagłej zmiany kierunku przepływu cząstek, poruszających się

wzdłuż ścian zbiornika przez otwór na zewnątrz oraz dławieniem

strumienia wzdłuż krawędzi otworu. Stosunek przekroju strugi

w miejscu przewężenia do przekroju otworu nazywamy

współczynnikiem zwężenia (kontrakcji)

2

WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

Rys. 2.

Zwężenie strumienia przy wypływie przez mały otwór

f

f

c

=

ℵ

(9)

Wartość liczbowa współczynnika zwężenia dla otworów

ostrobrzeżnych o dowolnym konturze zawarta jest w granicach:

χ

= 0,61

÷

0,64.

Rzeczywiste natężenie wypływu:

gH

2

f

gH

2

Q

µ

ϕ

=

ℵ

=

(10)

Iloczyn

χϕ

=

µ

zwiemy współczynnikiem wypływu.

Wartość współczynnika wypływu dla otworów

ostrobrzeżnych

µ

=0.580-0,63 (wartości liczbowe współczynników

wypływu dla otworów o różnych kształtach można znaleźć

w poradnikach technicznych ).

Aby obliczyć czas wypływu cieczy ze zbiornika, należy

uwzględnić zmianę natężenia wypływu podczas opróżniania się

zbiornika. Ogólna postać równania do wyznaczenia czasu

wypływu:

dt

*

dQ

dV

=

gdzie dV jest zależne od kształtu zbiornika

( )

dz

z

A

dV

=

Rys. 3. Schemat wypływu cieczy ze zbiornika w kształcie stożka

Elementarny czas opróżniania zbiornika wynosi:

( )

c

d

dz

z

A

4

dt

2

µ π

=

3

WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

w zależności czy wyznaczamy czas wypływu całej cieczy ze

zbiornika, czy też pewnej objętości tej cieczy zmieniają się granice

całkowania.

Dla zbiornika w kształcie walca czas wypływu wynosi:

1

2

h
h

2

2

z

g

2

d

D

2

t

=

Dla zbiornika w kształcie stożka czas wypływu wynosi:

1

2

h
h

5

2

2

2

z

g

2

H

d

D

5

2

t

=

3. Opis stanowiska pomiarowego

Stanowisko pomiarowe składa się z następujących

elementów:

 zbiorników o różnym kształcie z otworem

wykonanym w dnie,

 rurki pomiarowej umieszczonej z boku każdego ze

zbiorników,

 zaworu regulacyjnego (do zmiany natężenia

przepływu)

Rys. 4. Schemat stanowiska pomiarowego

4. Przebieg ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy

porównawczej teoretycznego i rzeczywistego czasu wypływu

cieczy ze zbiornika.
Dane, które powinny znajdować się w sprawozdaniu:

 jednorazowy pomiar średnicy zbiornika D, średnicy otworu

wypływowego d oraz wysokości zbiornika H,

 ustalenie wysokości lustra cieczy H

1

i H

2

, pomiędzy którymi

będzie mierzony czas wypływu,

4

WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

 trzykrotny pomiar czasu wypływu określonej ilości cieczy

dla każdego ze zbiorników dla ustalonych wcześniej

punktów odniesienia.

Po wykonaniu pomiarów czasu należy wykonać obliczenia

teoretycznych czasów wypływu dla każdego przypadku,

uwzględniając położenie początkowe i końcowe cieczy w zbiorniku.

Po wykonaniu obliczeń wartości teoretyczne i zmierzone czasu

wypływu nanieść na wykres f(t

r

)=t

t

.

Na zakończenie przeprowadzić analizę wyników

i sformułować wnioski końcowe.

5

WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

KARTA POMIAROWA

Imię i nazwisko ..............................................................................................................................................................................

Imię i nazwisko ..............................................................................................................................................................................

Kierunek

...........................................................................................

Rok.....................................

Grupa.......................

Ćw..........

...............................

(nr)

(data)

Średnica zbiornika[cm]

.......................................

Średnica otworu wylot. [mm]

.......................................

Wysokość zbiornika [cm]

.......................................

Kształt zbiornika

.......................................

6

Lp.

Wysokości

lustra cieczy

Czas wypływu

H

p

-H

k

[cm]

t

1

[s]

t

2

[s]

t

3

[s]

1
2
3
4
5