WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

1

WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

1.

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest doświadczalne zbadanie zjawiska

wypływu cieczy przez mały otwór ze zbiornika i porównanie
wyników pomiarów z obliczeniami.

2.

Podstawy teoretyczne

Ruchem swobodnym cieczy nazywamy takie zjawiska,

w czasie których poddana badaniu ciekła bryła nie podlega
w całej rozciągłości wydatniejszemu oddziaływaniu ścian stałych,
lecz jest ograniczona na swych krańcach częściowo pozostałymi
partiami

płynącej

cieczy

,

częściowo

zaś

ośrodkiem

nie oddziałującym w wyczuwalny sposób na przebieg zjawiska.

Wypływ cieczy przez mały ostrobrzeżny otwór można

traktować jako ruch swobodny . Zjawiska te można opisywać przy
pomocy metod dynamiki cieczy doskonałej , a przy przejściu
do analogicznych zjawisk cieczy rzeczywistych wprowadzamy
jedynie współczynniki doświadczalne , nie wpływające na postać
wzorów teoretycznych.

Aby wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór był

ustalony, zwierciadło cieczy w zbiorniku musi pozostawać
w niezmiennej wysokości, a ciśnienia na zwierciadło i na strumień
wypływający z otworu musza być stałe . Aby utrzymać zwierciadło
na stałym poziomie należy dostarczać do zbiornika tyle samo
cieczy, ile w tym czasie z niego przez otwór wypływa.

Rys. 1.

Wypływ cieczy przez mały otwór w obszernym zbiorniku

F -

powierzchnia zwierciadła cieczy w zbiorniku

f -

swobodny przekrój przepływowy otworu

h - różnica poziomów pomiędzy zwierciadłem cieczy

a środkiem geometrycznym otworu

v - prędkość wypływu cieczy ze zbiornika
v

0

- prędkość z jaką zwierciadło cieczy poczęłoby się

obniżać, gdybyśmy odcięli dopływ cieczy do
zbiornika

(w

przypadku

wypływu

ustalonego

prędkość v

o

jest średnią prędkością przepływu

cieczy przez zbiornik)

p

b

, p

b

’-

ciśnienia atmosferyczne w przekrojach F i f .

Warunek ciągłości ruchu:

v

*

f

v

*

F

0

=

(1)

Stosując twierdzenie Bernoulliego:

γ

γ

/

b

2

b

2

o

p

g

2

v

p

g

2

v

h

+

=

+

+

(2)

WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

2

2

b

b

F

f

1

p

p

h

g

2

v













−













−

′

−

=

γ

(3)

Jeżeli otwór jest bardzo mały w porównaniu z powierzchnią

zwierciadła oraz różnica pomiędzy poziomami otworu i zwierciadła
cieczy jest niewielka, to : (f/F)

2

→0 oraz p

b

'

-p

b

→0. Uwzględniając

te założenia równanie na prędkość wypływu cieczy ze zbiornika
można zapisać następująco:

h

g

2

v

⋅

=

(4)

Równanie to nazywamy równaniem Torricelliego.

Natężenie przepływu możemy określić zależnością:

gh

2

f

v

f

Q

⋅

=

⋅

=

(5)

Otworem swobodnym nazywamy otwór, przez który

strumień cieczy wypływa w powietrze lub inny ośrodek gazowy.
W zjawiskach wypływu cieczy rzeczywistych wskutek istnienia
oporów ruchu prędkość wypływu jest mniejsza od teoretycznej
prędkości

wypływu,

obliczonej

na

podstawie

wzoru

TORTICELLIEGO. Uwzględniamy to za pomocą współczynnika
doświadczalnego ϕ, zwanego współczynnikiem prędkości, którego
wartość liczbowa zależy głównie od lepkości wypływającej cieczy,
a ponadto od wielkości i kształtu otworu oraz od wysokości
napełnienia zbiornika.

Prędkość w przekroju wypływowym otworu

gh

2

v

ϕ

=

(6)

przy czym współczynnik prędkości dla wody i innych cieczy o tej
samej lepkości wynosi

ϕ = 0,97 ÷ 0,98

W zagadnieniach technicznych chodzi nie tyle o prędkość

wypływu co natężenie wypływu, tj. objętość cieczy wypływającej
przez otwór w jednostce czasu.

Gdyby wypływający strumień cieczy miał ten sam przekrój

co otwór, wówczas natężenie wypływu Q = f v.

W rzeczywistości strumień wypływający przez otwór

ostrobrzeżny zwęża się, tak iż jego przekrój f

c

jest mniejszy

od przekroju otworu f. Zjawisko to wywołane jest niemożnością
nagłej zmiany kierunku przepływu cząstek, poruszających się
wzdłuż ścian zbiornika przez otwór na zewnątrz oraz dławieniem
strumienia wzdłuż krawędzi otworu. Stosunek przekroju strugi
w miejscu

przewężenia

do

przekroju

otworu

nazywamy

współczynnikiem zwężenia (kontrakcji):

f

f

c

=

ℵ

(7)

Rys. 2.

Zwężenie strumienia przy wypływie przez mały otwór

WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

3

Wartość liczbowa współczynnika zwężenia dla otworów

ostrobrzeżnych o dowolnym konturze zawarta jest w granicach:

χ = 0,61 ÷ 0,64.

Rzeczywiste natężenie wypływu:

gH

2

f

gH

2

Q

µ

ϕ

=

ℵ

=

(8)

Iloczyn

χϕ=µ zwiemy współczynnikiem wypływu.

Wartość

współczynnika

wypływu

dla

otworów

ostrobrzeżnych µ=0.580-0,63 (wartości liczbowe współczynników
wypływu dla otworów o różnych kształtach można znaleźć
w poradnikach technicznych ).

Aby obliczyć czas wypływu cieczy ze zbiornika, należy

uwzględnić zmianę natężenia wypływu podczas opróżniania się
zbiornika. Ogólna postać równania do wyznaczenia czasu
wypływu:

dt

*

dQ

dV

=

gdzie dV jest zależne od kształtu zbiornika

( )

dz

z

A

dV

=

Rys. 3. Schemat wypływu cieczy ze zbiornika w kształcie stożka

Elementarny czas opróżniania zbiornika wynosi:

( )

c

d

dz

z

A

4

dt

2

µπ

=

w zależności czy wyznaczamy czas wypływu całej cieczy ze
zbiornika, czy też pewnej objętości tej cieczy zmieniają się granice
całkowania.

Dla zbiornika w kształcie walca czas wypływu wynosi:

1

2

h
h

2

2

z

g

2

d

D

2

t

=

Dla zbiornika w kształcie stożka czas wypływu wynosi:

1

2

h
h

5

2

2

2

z

g

2

H

d

D

5

2

t

=

WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR

4

3.

Opis stanowiska pomiarowego

Stanowisko pomiarowe składa się z następujących

elementów:

zbiorników

o

różnym

kształcie

z

otworem

wykonanym w dnie,

przeźroczystej rurki pomiarowej umieszczonej z

boku każdego ze zbiorników,

zaworu regulującego wypływ.

Rys. 4. Schemat stanowiska pomiarowego

4.

Przebieg ćwiczenia

Celem

ćwiczenia

jest

przeprowadzenie

analizy

porównawczej teoretycznego i rzeczywistego czasu wypływu
cieczy ze zbiornika.

Pomiar wartości niezbędnych do wykonania ćwiczenia obejmuje:

jednorazowy pomiar średnicy zbiornika D, średnicy otworu

wypływowego d oraz wysokości zbiornika H,

ustalenie wysokości lustra cieczy h

1

, h

2, ...

h

10

, pomiędzy

którymi będzie mierzony czas wypływu,

trzykrotny pomiar czasu wypływu określonej ilości cieczy

dla każdego ze zbiorników dla ustalonych wcześniej
punktów odniesienia.

Po wykonaniu pomiarów czasu należy wykonać obliczenia

teoretycznych

czasów

wypływu

dla

każdego

przypadku,

uwzględniając położenie początkowe i końcowe cieczy w zbiorniku.
Po wykonaniu obliczeń wartości teoretyczne i zmierzone czasu
wypływu nanieść na wykres t

rz

, t

t

= f(h), przeprowadzić analizę

wyników i sformułować wnioski końcowe.

5

Temat

Wypływ przez mały otwór

Data:

Nazwisko:

Imię:

Opracował

Rok:

*

/

Kierunek:

**

Podpis osoby prowadzącej zajęcia

*

s – stacjonarne, ns – niestacjonarne; ** - IŚ, MiBM, TRiL,

Lp.

Parametr

Oznaczenie

Jednostka

Wartość

1

Kształt zbiornika***

-

-

2

Wysokość zbiornika

H

[cm]

3

Średnica zbiornika

D

[cm]

4

Średnica otworu

wypływowego

d

[cm]

*** S – stożek, W – walec.

UWAGA: w czasie zajęć wypełnić pola szare

Poziom

cieczy w

zbiorniku

Czas

wypływu

cieczy

Czas

wypływu

cieczy

Czas

wypływu

cieczy

Średni

zmierzony

czas

wypływu

cieczy

Czas

wypływu

obliczony

Lp.

h

[cm]

t

1

[s]

t

2

[s]

t

3

[s]

t

rz

[s]

t

t

[s]

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

6

Zapisz przykładowe obliczenia (UWAGA: napisz równanie oraz podstawiane wartości lub
podaj źródło, z którego korzystałaś/eś)

I.

Średni zmierzony czas wypływu porcji cieczy t

rz

[s] (dla wybranego pomiaru np. 8):

II.

Czas wypływu obliczony t

t

[s] (dla wybranego pomiaru np. 8):

WNIOSKI:.....................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.................................................................................................................................

Załącznik:

1.

Wykres zależności t

rz,

t

t

= f(h) (Uwaga: sporządzając wykres należy sumować

odpowiednio wartości z wierszy od 6 do 15)