- 1 -

10. STANY NIEUSTALONE W OBWODACH SLS

10.1. STAN NIEUSTALONY - WPROWADZENIE

Rozpatrzmy układ SLS, na który działamy zdeterminowanym

wymu-

szeniem x(t)

określonym dla t

∈

(-

∞

,+

∞

).

Jeśli interesuje nas funkcja określonej wielkości fizycznej w tym

układzie, to możemy nazywać ją

odpowiedzią r(t)

układu na istniejące

wymuszenie x(t) – rys.10.1.

x t

( )

r t

( )

układ

SLS

Rys.10.1.

Dotychczas rozpatrywaliśmy obwody w

stanie ustalonym

- co

oznaczało, że moment włączenia źródła wymuszającego do obwodu był
nieskończenie odległy od momentu obserwacji. Wówczas wszystkie na-
pięcia i prądy występujące w obwodzie miały ten sam charakter, co wy-
muszenie - rys.10.2.

x t

( )

r t

( )

t

t

x t

( )

r t

( )

t

obs

t

obs

Rys.10.2.

- 2 -

Jeśli w jakimś momencie czasu (t

k

) nastąpi

dowolna

zmiana warunków pracy układu

zmiana sygnału wymuszaj

ą

cego

(np. zmiana

parametrów sygnału, w tym także załączenia
lub wyłączenia)

zmiana struktury obwodu

(np. odłączenie ele-

mentu, dołączenie elementu dodatkowego)

zmiana parametrów obwodu

to nowe warunki wymuszają oczywiście inną funkcję odpowiedzi układu,
czyli inny stan ustalony.

Przejście od jednego stanu ustalonego do drugiego - przejście zapo-

czątkowane w chwili komutacji (t

k

) - trwa pewien określony czas, który

nazywamy czasem trwania stanu nieustalonego (t

∞

) a stan układu, w któ-

rym znajduje się on w przedziale czasu [t

k

,t

∞

], nazywamy

STANEM

NIEUSTALONYM

(odpowiedź ma charakter różny od wymuszenia) –

rys.10.3.

r t

( )

t

t

0 0

t

t

0 0

t =

k

0

r t

( )

t

k

stan

nieustalony

stan

nieustalony

I stan

ustalony

II stan

ustalony

II stan

ustalony

I stan

ustalony

Rys.10.3.

Przyjmujemy założenie, że czas trwania komutacji jest równy zeru, tzn.
wszystkie zmiany odbywają się bezzwłocznie.

KOMUTACA

- 3 -

10.2. PRAWA KOMUTACJI, WARUNKI POCZ

Ą

TKOWE

Komutacja może być przyczyną występowania skokowych zmian

prądów i napięć w obwodzie. Istnieją jednak ograniczenia, którym podlega
każdy obwód. Wynikają one z faktu, iż w realnych obwodach moc chwi-
lowa nie może być nieskończenie wielka

( )

( )

∞

<

=

dt

t

W

d

t

p

(10.1)

co oznacza ciągłość funkcji energii – ciągłość ta musi występować rów-
nież w chwili komutacji.

Na podstawie zasady ciągłości energii w obwodzie oraz pamiętając,

ż

e wartość energii nagromadzonej

w polu magnetycznym cewki o in-
dukcyjności L, przez którą prze-
pływa prąd i

L

wynosi (1.13)

( )

( )

t

i

L

2

1

t

W

2

L

L

=

w polu elektrycznym kondensatora
o pojemności C, naładowanego do
napięcia u

C

wynosi (1.10)

( )

( )

t

u

C

2

1

t

W

2

C

C

=

Możemy sformułować dwa prawa komutacji:

Pierwsze prawo komutacji

Prąd płynący przez cewkę nie mo-
ż

e ulec skokowej zmianie, co

oznacza, że prąd cewki w chwili
tuż przed komutacją równa się
prądowi tuż po komutacji

( ) ( )

+

−

=

0

i

0

i

L

L

(10.2)

Drugie prawo komutacji

Napięcie na kondensatorze nie mo-
ż

e zmienić się skokowo, co ozna-

cza, że napięcie na kondensatorze
w chwili tuż przed komutacją jest
równe napięciu tuż po komutacji

( ) ( )

+

−

=

0

u

0

u

C

C

(10.3)

UWAGA: Nie ma żadnych przesłanek wykluczających skokowe zmiany

pozostałych wielkości w obwodzie, tzn.: napięć na cewkach,
prądów kondensatorów lub też prądów i napięć rezystorów.

- 4 -

Zakładając, że chwilę komutacji uważać będziemy za chwilę począt-

kową (t

K

=0) analizy obwodu w stanie nieustalonym, istotne jest wyzna-

czenie warunków początkowych procesu.

Warunki pocz

ą

tkowe

stanowi zbiór wartości prądów w indukcyj-
nościach i napięć na pojemnościach układu
w chwili początkowej. Warunki początko-
we określają całkowitą wartość energii
zgromadzonej w układzie w chwili t

K

=0.

Wyznaczenie warunków początkowych w obwodzie wiąże się z:

•

rozwiązaniem stanu ustalonego obwodu przed komutacją,

•

określeniem postaci czasowej tego rozwiązania na prądy cewek
i napięcia kondensatorów,

•

wyznaczeniem rozwiązania odpowiadającego chwili czasowej
komutacji.

Oznacza to, iż podstawą do ustalenia warunków początkowych obwo-

du są prawa komutacji.

UWAGA: Warunki początkowe mogą być (i często są) zerowe

10.3. ANALIZA STANÓW NIEUSTALONYCH

W celu zbadania zmian wartości danej wielkości obwodu (prądu, na-

pięcia) w stanie nieustalonym stosuje się w praktyce jedną z dwóch metod:
metodę klasyczną bądź metodę operatorową.

Wyznaczenie rozwiązań obwodów SLS w stanie nieustalonym

Metoda klasyczna

polegająca na bezpośrednim rozwią-
zaniu równań różniczkowych (zwy-
czajnych, liniowych o stałych współ-
czynnikach) opisujących obwód

Metoda operatorowa

wykorzystująca

właściwości

przekształcenia Laplace’a.

- 5 -

10.4. METODA KLASYCZNA

Modelem matematycznym obwodu elektrycznego klasy SLS, o do-

wolnej konfiguracji, jest układ równań różniczkowo-całkowych, wynika-
jących z praw Kirchhoffa i definicji elementów R, L i C. W celu wyzna-
czenia poszukiwanych prądów i napięć wszystkie równania należy spro-
wadzić do układu równań różniczkowych o postaci ogólnej

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )





















+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

t

f

t

r

a

t

r

a

t

r

a

dt

t

r

d

t

f

t

r

a

t

r

a

t

r

a

dt

t

r

d

t

f

t

r

a

t

r

a

t

r

a

dt

t

r

d

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

...

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1

M

(10.4)

gdzie: r

1

(t) ... r

n

(t) – zmienne oznaczające prądy cewek lub napięcia kondensatorów

(tzw. zmienne stanu); stałe współczynniki a

ij

stanowią kombinację wartości pa-

rametrów R, L, C; funkcje czasu f

1

(t) ... f

n

(t) związane z wymuszeniami x

1

(t) ...

x

n

(t); liczba równań n zależy od liczby reaktancji w obwodzie.

Rozwiązując układ równań z uwagi na poszukiwaną funkcję odpowie-

dzi r(t) przy znanym wymuszeniu x(t) otrzymujemy równanie różniczkowe
zwyczajne, liniowe o stałych współczynnikach n-tego rzędu o postaci:

( )

( )

( )

( ) ( )

t

x

t

r

a

dt

t

r

d

a

...

dt

t

r

d

a

dt

t

r

d

a

0

1

1

n

1

n

1

n

n

n

n

=

+

+

+

+

−

−

−

(10.5)

Rozwiązaniem równania (10.5) określającym analityczną postać od-

powiedzi r(t) jest tak zwana całka ogólna równania niejednorodnego
(C.O.R.N.)

.

N

.

R

.

O

.

C

)

t

(

r

=

(10.6)

Teoria równań różniczkowych mówi, że jest ona sumą dwóch składo-

wych: całki ogólnej równania jednorodnego (C.O.R.J.) i całki szczególnej
równania niejednorodnego (C.S.R.N.). Zatem

- 6 -

.

N

.

R

.

O

.

C

)

t

(

r

=

=

.

J

.

R

.

O

.

C

+

.

N

.

R

.

S

.

C

(10.7)

składowa odpowiedzi

niezale

ż

na

od wymuszenia

składowa odpowiedzi

wywołana

przez wymuszenia

oznaczana r

S

(t) i nazywana

składow

ą

swobodn

ą

(przejściową) odpowiedzi

oznaczana r

W

(t) i nazywana

składow

ą

wymuszon

ą

(ustaloną) odpowiedzi

Czyli:

)

t

(

r

=

)

t

(

r

S

+

)

t

(

r

W

(10.8)

Składowa wymuszona r

W

(t) opisu-

je stan ustalony w obwodzie przy
działającym wymuszeniu, może być
zatem łatwo wyznaczona dowolną z
poznanych metod analizy obwodów.

Składowa swobodna r

S

(t) opisuje pro-

cesy zachodzące w obwodzie na skutek
niezerowych warunków początkowych
przy braku wymuszeń zewnętrznych.
Składowa przejściowa zależy jedynie od
warunków początkowych, struktury ob-
wodu i wartości parametrów tego obwo-
du. Cechą charakterystyczną r

S

(t) jest jej

zanikanie z biegiem czasu do zera

[

]

0

)

t

(

r

lim

S

t

=

+∞

→

(10.9)

Równanie składowej swobodnej r

S

(t) otrzymuje się zakładając wymu-

szenie x(t) we wzorze (10.5) równe zeru i zastępując zmienną r(t) poprzez
jej składową swobodną r

S

(t)

( )

( )

( )

( )

0

t

r

a

dt

t

r

d

a

...

dt

t

r

d

a

dt

t

r

d

a

S

0

S

1

1

n

S

1

n

1

n

n

S

n

n

=

+

+

+

+

−

−

−

(10.10)

Rozwiązanie równania jednorodnego (10.10) uzyskuje się za pośrednic-
twem równania charakterystycznego, które ma postać

0

a

s

a

...

s

a

s

a

0

1

1

n

1

n

n

n

=

+

+

+

+

−

−

(10.11)

jeśli wielomian ten posiada tylko pierwiastki pojedyncze s

i

(i=1,2, ... n), to

∑

=

=

n

1

i

t

s

i

S

i

e

A

)

t

(

r

(10.12)

gdzie współczynniki A

i

(i=1,2, ... n) są stałymi całkowania, których wartości wyzna-

cza się w oparciu o znajomość warunków początkowych.

- 7 -

PRZYKŁAD 2

Rozpatrzymy stan nieustalony w obwodzie

szeregowym RC przy zerowych warunkach po-
czątkowych i załączeniu napięcia stałego E
(rys.a).

Zerowe warunki początkowe oznaczają, że

0

)

0

(

u

C

=

−

Po przełączeniu wyłącznika w powstaje w obwo-
dzie stan nieustalony. Schemat obwodu dla stanu
nieustalonego ma postać przedstawioną na rys.b.

C

w

R

E

a)

u

C

(t)

C

R

E

b)

i

(t)

Stosując prawo napięciowe Kirchhoffa dla tego obwodu możemy napisać

0

)

t

(

u

)

t

(

i

R

E

C

=

−

−

i uwzględniając, że

dt

)

t

(

u

d

C

)

t

(

i

C

=

otrzymujemy równanie różniczkowe nie-

jednorodne o postaci [patrz (10.5)]

E

t

u

dt

t

u

d

RC

C

C

=

+

)

(

)

(

Stan nieustalony jest superpozycją stanu ustalonego i przejściowego.

)

(t

u

C

=

)

(

t

u

CS

+

)

(

t

u

CW

Stan ustalony przy wymuszeniu stałym ozna-

cza, że kondensator stanowi przerwę (rys.c).

Zgodnie z NPK napięcie ustalone kondensa-

tora jest równe

E

)

t

(

u

CW

=

u

CW

(t)

R

E

c)

Schemat obwodu dla stanu przejściowego (po

zwarciu źródła napięciowego) - rys.d.

Dla tego obwodu otrzymujemy równanie róż-

niczkowe jednorodne o postaci [patrz (10.10)]

0

)

t

(

u

dt

)

t

(

u

d

RC

CS

CS

=

+

i

S

(t)

u

CS

(t)

C

R

d)

- 8 -

Równanie charakterystyczne można zapisać jako [patrz (10.11)]

0

1

s

RC

=

+

Równanie to posiada jeden pierwiastek s

1

=-1/RC. W związku z powyższym jego

rozwiązanie wynikające ze wzoru (10.12) przyjmuje uproszczoną postać

C

R

t

1

CS

e

A

)

t

(

u

−

=

W rozwiązaniu tym współczynnik A

1

jest stałą całkowania, której wartość wyzna-

czamy w oparciu o znajomość warunków początkowych.

Rozwiązanie ostateczne, będące sumą składowej wymuszonej i swobodnej

przybiera postać [patrz (10.8)]

C

R

t

1

CS

CW

C

e

A

E

)

t

(

u

)

t

(

u

)

t

(

u

−

+

=

+

=

Ponieważ drugie prawo komutacji mówi, że

)

0

(

u

)

0

(

u

C

C

+

−

=

stąd wobec

0

)

0

(

u

C

=

−

otrzymujemy

1

A

E

0

+

=

oraz

E

A

1

−

=

Czyli rozwiązanie czasowe określające przebieg napięcia na kondensatorze

przyjmuje postać

















−

=

−

=

−

−

C

R

t

C

R

t

C

e

1

E

e

E

E

)

t

(

u

E

t

u

dt

t

u

d

RC

C

C

=

+

)

(

)

(

- 9 -

10.5. METODA OPERATOROWA

Bardziej efektywną metodą od metody klasycznej jest metoda operato-

rowa – jej efektywność polega na „algebraizacji” równania różniczkowe-
go, przy czym warunki początkowe wchodzą niejako automatycznie do
„zalgebraizowanego”. Mimo iż jest to okrężna droga rozwiązania, wynik
uzyskujemy znacznie szybciej niż metodą bezpośrednią.

Schemat dokonywanych operacji

Aby biegle posługiwać się metodą operatorową musimy poznać:

1. Przekształcenia Laplace’a

(transformaty sygnałów przyczynowych)

2. Podstawowe twierdzenia rachunku operatorowego

3. Schematy zastępcze i podstawowe prawa obwodów

w rachunku operatorowym

4. Metody wyznaczania oryginału funkcji operatorowej

rozwiązanie

algebraiczne

L

L

L

L

WYMUSZENIE

M

E

T

O

D

A

K

L

A

S

Y

C

Z

N

A

L

L

L

L

-1

x(t)

ODPOWIEDŹ

CZASOWA

r(t)

Odpowiedź operatorowa

R(s)

W.P.

Równanie

różniczkowo-całkowe

(w dziedzinie czasu)

OBWÓD

ELEKTRYCZNY

Operatorowy

schemat zastępczy

obwodu

Równanie

operatorowe

(algebraiczne w dziedzinie

zmiennej zespolonej s)

W.P.

W.P.

- 10 -

10.5.1.

PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE’A

Rozpatrywać będziemy funkcję f(t) zmiennej rzeczywistej t spełniają-

cą następujące warunki:

- funkcja f(t) jest określona dla t >0 i równa zeru, gdy t <0;

- wartość bezwzględna funkcji f(t) nie rośnie szybciej niż funkcja

wykładnicza, gdy t

→∞

(

t

b

e

M

)

t

(

f

≤

gdzie M>0 oraz b>0 )

Przekształcenie, które przyporządkowuje funkcji f(t) zmiennej

rzeczywistej t, funkcję F(s) będącą funkcją zmiennej zespolonej
s=

σσσσ

+j

ω

ωω

ω

za pomocą zależności

[

]

dt

e

)

t

(

f

)

s

(

F

)

t

(

f

0

t

s

∫

∞

−

=

=

L

(10.13)

nazywamy

prostym przekształceniem Laplace’a

lub

L

L

L

L

-transformatą

Funkcję F(s) zmiennej zespolonej s nazywamy transformatą funkcji f(t).

Wyznaczenie funkcji f(t) (nazywanej oryginałem) odpowiadają-

cej znanej funkcji F(s) umożliwia

odwrotne

przekształcenie Laplace’a

nazywane też

L

L

L

L

-1

-transformatą

[

]

)

s

(

F

ds

e

)

s

(

F

j

2

1

)

t

(

f

1

j

c

j

c

t

s

−

∞

+

∞

−

=

=

∫

L

π

(10.14)

Przekształcenia Laplace’a wyrażone wzorami (10.13) i (10.14) są

wzajemnie jednoznaczne, czyli

[

]

{

}

0

t

dla

)

t

(

f

)

t

(

f

1

>

=

−

L

L

(10.15)

f(t)

F(s)

L

-1

L

- 11 -

TRANSFORMATY SYGNAŁÓW PRZYCZYNOWCH

A) Funkcja jednostkowa







>

<

=

=

0

1

0

0

)

(

1

)

(

t

dla

t

dla

t

t

f

t

f(t)

0

1

[ ]

s

1

s

1

0

e

s

1

dt

e

1

)

t

(

1

)

s

(

F

0

st

0

t

s

=













−

−

=

−

=

==

=

∞

−

∞

−

∫

L

B) Funkcja wykładnicza

)

t

(

1

e

A

)

t

(

f

t

a

−

=

t

f(t)

0

A

a 0

>

a 0

<

[

]

(

)

(

)

a

s

A

e

a

s

1

A

dt

e

A

dt

e

e

A

dt

e

e

A

)

t

(

f

)

s

(

F

0

t

a

s

0

t

a

s

0

t

s

t

a

0

t

s

t

a

+

=

+

=

=

=

=

=

=

∞

+

−

∞

+

−

∞

−

−

∞

−

−

∫

∫

∫

L

C) Funkcje harmoniczna

)

t

(

1

t

sin

A

)

t

(

f

⋅

=

ω

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

0

t

j

s

0

t

j

s

0

t

j

s

t

j

s

0

t

s

t

j

t

j

s

A

s

j

2

j

2

A

s

j

s

j

s

j

2

A

j

s

1

j

s

1

j

2

A

1

0

j

s

1

1

0

j

s

1

j

2

A

e

j

s

1

e

j

s

1

j

2

A

dt

e

e

j

2

A

dt

e

j

2

e

e

A

)

s

(

F

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

=

+

=

+

+

−

+

=

=













+

−

−

=













−

+

+

−

−

−

=

=















+

+

−

−

=

=

−

=

−

=

∞

+

−

∞

−

−

∞

+

−

−

−

∞

−

−

∫

∫

- 12 -

10.5.2.

PODSTAWOWE TWIERDZENIA
RACHUNKU OPERATOROWEGO

A) Twierdzenie o liniowości

Jeżeli funkcje f

1

(t) i f

2

(t) posiadają transformaty, tzn.

[

]

[

]

)

s

(

F

)

t

(

f

i

)

s

(

F

)

t

(

f

2

2

1

1

=

=

L

L

to dla dowolnych liczb a oraz b zachodzi

[

]

)

s

(

F

b

)

s

(

F

a

)

t

(

f

b

)

t

(

f

a

2

1

2

1

+

=

+

L

(10.16)

B) Twierdzenie o transformacie pochodnej

Jeśli funkcja f(t) i jej pochodna f

’(t) są

L

-transformowalne, to trans-

formatę pochodnej możemy wyrazić przez transformatę samej funkcji na-
stępująco

[

]

[

]

)

0

(

f

)

s

(

F

s

)

0

(

f

)

t

(

'

f

s

)

t

(

'

f

+

+

−

=

−

=

L

L

(10.17)

gdzie: f(0

+

) – prawostronna granica funkcji f(t) w punkcie t=0

(wartość początkowa funkcji f(t))

Transformatę pochodnej n-tego rzędu funkcji f(t) obliczamy ze wzoru

( )

[

]

(

) ( )

)

0

(

f

s

)

s

(

F

s

)

t

(

f

k

1

n

0

k

1

k

n

n

n

+

−

=

−

−

∑

−

=

L

(10.18)

Jeśli warunki początkowe są zerowe to widać wyraźnie, że

różniczkowanie funkcji w dziedzinie czasu
odpowiada mnożeniu

L

-transformaty samej funkcji przez s

w potędze równej rzędowi pochodnej.

- 13 -

C) Twierdzenie o transformacie całki

Jeśli funkcja f(t) jest

L

-transformowalna, to transformatę całki może-

my wyrazić przez transformatę samej funkcji następująco

[

]

( )

s

)

0

(

f

s

)

s

(

F

)

t

(

f

1

−

−

+

=

∫

L

(10.19)

gdzie: f

(-1)

(0

+

) – oznacza wartość całki w chwili t=0

-

(można ją rozumieć jako wartość początkową - warunek początkowy)

Jeśli warunek początkowy jest zerowy to

całkowanie funkcji w dziedzinie czasu
odpowiada dzieleniu

L

-transformaty funkcji podcałkowej przez s

D)

Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie rzeczywistej (czasu)

Jeżeli dana jest funkcja przyczynowa f(t)1(t)

L

-transformowalna o

transformacie F(s), to transformata funkcji przesuniętej f(t-t

0

)1(t-t

0

) dla t

≥

0

określona jest następująco

[

]

0

t

s

0

0

1

e

)

s

(

F

)

t

t

(

1

)

t

t

(

f

−

=

−

⋅

−

L

(10.20)

Przykład:

Dana jest funkcja wymuszenia napięciowego w postaci impulsu prosto-
kątnego. Należy wyznaczyć transformatę tej funkcji

t

f(t)

0

U

t

0

t

f(t)

0

U 1(t)

-U 1(t-t )

0

U

-U







<

<

<

≤

=

0

0

0

)

(

0

0

t

t

dla

t

t

dla

U

t

f

inny opis

)

t

t

(

1

U

)

t

(

1

U

)

t

(

f

0

−

⋅

−

⋅

=

Zgodnie z twierdzeniem o liniowości oraz o przesunięciu w dziedzinie czasu napi-
szemy:

[

]

[

] [

]

0

t

s

0

0

e

s

U

s

U

)

t

t

(

1

U

)

t

(

1

U

)

t

t

(

1

U

)

t

(

1

U

)

s

(

F

−

−

=

−

⋅

−

⋅

=

−

⋅

−

⋅

=

L

L

L

- 14 -

E) Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej

Jeżeli F(s) jest transformatą funkcji f(t) oraz a jest dowolną liczbą ze-

spoloną bądź rzeczywistą, to transformata o argumencie przesuniętym
spełnia następującą zależność

[

]

)

t

(

f

e

)

a

s

(

F

t

a

−

=

+

L

(10.21)

F)

Twierdzenie o transformacie funkcji okresowej

(o okresie T)

Jeżeli f(t) = f(t+kT) , k=1,2 ... ; to

t

s

T

e

1

)

s

(

F

)

s

(

F

−

−

=

(10.xx)

gdzie:

dt

e

)

t

(

f

)

s

(

F

t

s

T

0

T

−

∫

=

10.5.3.

PODSTAWOWE PRAWA I SCHEMATY ZASTĘPCZE

OBWODÓW W RACHUNKU OPERATOROWYM

Najefektywniejszą drogą postępowania w metodzie operatorowej jest

określenie transformat prądów i napięć bezpośrednio na podstawie obwo-
du bez konieczności układania równań różniczkowo całkowych. Aby to
uzyskać należy opracować

operatorowy schemat zastępczy danego ob-

wodu - w tym celu każdy element obwodu zastępuje się odpowiednim mo-
delem w dziedzinie operatorowej.

Modele operatorowe idealnych elementów obwodu określamy na

podstawie:

-

operatorowych zależności między napięciem i prądem elementu;

-

praw Kirchhoffa w postaci operatorowej

- 15 -

I prawo Kirchhoffa

∑

=

=

K

1

k

k

k

0

)

t

(

i

λ

gdzie: i

k

(t) – natężenie prądu w k-tej gałęzi; K – liczba gałęzi dołączonych do danego węzła

λ

k

– współczynnik o wartości 1 lub –1, zależnie od zwrotu prądu względem węzła

Po zastosowaniu do powyższego równania przekształcenia Laplace’a i

wykorzystaniu twierdzenia o liniowości tego przekształcenia (10.16)
otrzymujemy

∑

=

=

K

1

k

k

k

0

)

s

(

I

λ

(10.22)

Równanie (10.22) wyraża

I prawo Kirchhoffa w postaci operatorowej

Algebraiczna suma transformat prądów we wszystkich gałę-
ziach dołączonych do danego węzła schematu operatorowego
jest równa zeru

II prawo Kirchhoffa

∑

=

=

J

1

j

j

j

0

)

t

(

u

λ

gdzie: u

j

(t) – napięcie na j-tym elemencie oczka; J – liczba elementów w oczku

λ

j

– współczynnik o wartości 1 lub –1, zależnie od zwrotu napięcia względem przyję-

tego obiegu po oczka

Po zastosowaniu do ww. równania przekształcenia Laplace’a i wyko-

rzystaniu twierdzenia o liniowości otrzymujemy

∑

=

=

J

1

j

j

j

0

)

s

(

U

λ

(10.23)

Równanie (4.14) wyraża

II prawo Kirchhoffa w postaci operatorowej

Algebraiczna suma transformat napięć na wszystkich elemen-
tach wchodzących w skład danego oczka schematu operato-
rowego jest równa zeru

- 16 -